東大数理院試2024年度専門B問17解答

(1)
$X_1$は$(0,1)$に値を取る．任意の$x\in (0,1)$に対し
$$P(X_1\le x)=E[X_1{1}_{(0,x)}]=\frac{1}{2}E[U_2{1}_{(0,x)}]+\frac{1}{2}E[U_1{1}_{(0,x)}]=P(U_1\le x)$$
だから，$X_1\sim U(0,1)$である．よって$Y_1$は$(0,\mathrm{\infty })$に値を取り，任意の$x>0$に対し
$$P(Y_1\le x)=P(X_1\ge e^{-x})=1-e^{-x}$$
だから，$Y_1$の確率密度関数は$e^{-x}{1}_{(0,\mathrm{\infty })}(x).$また$k\in \mathbb{N}$に対し
$$E[Y_1^k]={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^k{e}^{-x}dx=\mathrm{\Gamma }(k+1)=k!$$
だから$E[Y_1]=1,V[Y_1]=E[Y_1^2]-E[Y_1{]}^2=1.$
(2)
$\bullet$ $|i-j|\ge 2$の時：
仮定から$X_i$と$X_j$は独立なので$Y_i$と$Y_j$も独立．よって$\mathrm{Cov}[Y_i,Y_j]=0.$
$\bullet$ $|i-j|=1$の時：
$j=i+1$として良い．
$$\begin{array}{rl}E[Y_i{Y}_{i+1}]& =E[\log (U_i{V}_i+U_{i+1}(1-V_i))\log (U_{i+1}{V}_{i+1}+U_{i+2}(1-V_{i+1}))]\\ & =\frac{1}{4}E[\log U_{i+1}\log U_{i+2}]+\frac{1}{4}E[\log U_{i+1}\log U_{i+1}]+\frac{1}{4}E[\log U_i\log U_{i+2}]+\frac{1}{4}E[\log U_i\log U_{i+1}]\\ & =\frac{1}{4}E[Y_i{]}^2+\frac{1}{4}E[Y_i^2]+\frac{1}{4}E[Y_i^2]+\frac{1}{4}E[Y_i^2]=\frac{7}{4}\end{array}$$
より
$\mathrm{Cov}[Y_i,Y_{i+1}]=E[Y_i{Y}_{i+1}]-E[Y_i]E[Y_{i+1}]=3/4.$
(3)
任意に$\epsilon >0$を取ると，$E[M_n]=1$と Chebyshev の不等式から
$$P(|M_n-1|\ge \epsilon )\le \frac{1}{{\epsilon }^2}V[M_n]$$
である．これと
$$\begin{array}{rl}V[M_n]& =E[M_n^2]-1=\frac{1}{n^2}(\sum _{i=1}^{n}E[Y_i^2]+\sum _{|i-j|=1}E[Y_i{Y}_j]+\sum _{|i-j|\ge 2}E[Y_i{Y}_j])-1\\ & =\frac{1}{n^2}(n\cdot 2+2(n-1)\cdot \frac{7}{4}+(n^2-2(n-1)-n)\cdot 1)-1\to 0(n\to \mathrm{\infty })\end{array}$$
より示された．
(4)
$$\log L_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\log X_i=-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i=-M_n$$
より$L_n=e^{-M_n}$である．関数$f(x)=e^{-x}$は$\mathbb{R}$上連続だから，(3) とあわせて$L_n$は$n\to \mathrm{\infty }$の時$e^{-1}$に確率収束する．