"PID上の自由加群の部分加群は自由"の簡潔な証明

$\lambda <\kappa$に対し、$M_{\lambda }\subset M$ を$A^{\oplus \lambda }$と定め, $\lambda$成分の射影$A^{\oplus \lambda }\to A$を$p_{\lambda }$で表わす. また, イデアル$I_{\lambda }$を$p_{\lambda }(N\cap M_{\lambda })$とする.
$\mathrm{\Lambda }=\{\lambda |I_{\lambda }\ne (0)\}$と置く. $\lambda \in \mathrm{\Lambda }$ごとに, $p_{\lambda }(n_{\lambda })$が$I_{\lambda }$の生成元になるような$N\cap M_{\lambda +1}\ni n_{\lambda }$を一つとり, 固定する. $B=\{n_{\lambda }|\lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$が$N$の基底になることを示す.

まず線形独立性を示す. すなわち, $0\ne (a_{\lambda }{)}_{\lambda }\in A^{\oplus \mathrm{\Lambda }}$が$\sum _{\lambda }{a}_{\lambda }{n}_{\lambda }=0$を満たすとして矛盾を導く.
$a_{\lambda }\ne 0$となる最大の$\lambda$を$\mu$と置く. $p_{\mu }$を上の式に適用して, $a_{\mu }{p}_{\mu }(n_{\mu })=0$となり, $p_{\mu }(n_{\mu })=0$. これは, $p_{\mu }(n_{\mu })$が$I_{\mu }\ne (0)$の生成元であることに矛盾する.

次に$B$が$N$を生成することを示す. $N\cap M_{\mu }\subset ⟨B⟩$を$\mu$の帰納法で示す. $\mu$が極限順序数なら, $N\cap M_{\mu }=\bigcup _{{\mu }^{\prime }\in \mu }(N\cap M_{{\mu }^{\prime }})$よりよい. $\mu$での成立を仮定し, $\mu +1$での成立をしめす. $n\in N\cap M_{\mu +1}$なら, 定義より$p_{\mu }(n)\in I_{\mu }=(p_{\mu }(n_{\mu }))$. よって, $p_{\mu }(n)=a{p}_{\mu }(n_{\mu })$となる$a$がとれて, $n-a{n}_{\mu }\in (N\cap M_{\mu +1})\cap \ker (p_{\mu })=N\cap M_{\mu }$となる. よって, $n=(n-a{n}_{\mu })+a{n}_{\mu }\in ⟨B⟩$で帰納法が回る.

上の定理と整列可能性定理より明らか.