"PID上の自由加群の部分加群は自由"の簡潔な証明

$\lambda<\kappa$に対し、$M_{\lambda}\subset M$ を$A^{\oplus \lambda}$と定め, イデアル$I_{\lambda}$を$p_{\lambda}(N\cap M_{\lambda})$とする.
$\Lambda=\{\lambda | I_{\lambda}\neq (0) \}$と置く. $\lambda\in \Lambda$ごとに, $p_{\lambda}(n_{\lambda}) $が$I_{\lambda}$の生成元になるような$N\cap M_{\lambda+1}\ni n_{\lambda}$を一つとり, 固定する. $B=\{n_{\lambda}|\lambda\in\Lambda\}$が$N$の基底になることを示す.

まず線形独立性を示す. すなわち, $0\neq(a_{\lambda})_{\lambda}\in A^{\oplus \Lambda}$が$\sum_{\lambda} a_{\lambda}n_{\lambda}=0$を満たすとして矛盾を導く.
$a_{\lambda}\neq 0$となる最大の$\lambda$を$\mu$と置く. $p_\mu$を上の式に適用して, $a_{\mu}p_{\mu}(n_\mu)=0$となり, $p_\mu(n_\mu)=0$. これは, $p_{\mu}(n_{\mu})$が$I_{\mu}\neq (0)$の生成元であることに矛盾する.

次に$B$が$N$を生成することを示す. $N\cap M_{\mu}\subset \gen{B}$を$\mu$の帰納法で示す. $\mu$が極限順序数なら, $N\cap M_{\mu}=\bigcup_{\mu'\in \mu} (N\cap M_{\mu'})$よりよい. $\mu$での成立を仮定し, $\mu+1$での成立をしめす. $n\in N\cap M_{\mu+1}$なら, 定義より$p_{\mu}(n)\in I_{\mu}=(p_{\mu}(n_{\mu}))$. よって, $p_{\mu}(n)=ap_{\mu}(n_{\mu})$となる$a$がとれて, $n-an_{\mu}\in (N\cap M_{\mu+1})\cap \ker(p_{\mu})=N\cap M_{\mu}$となる. よって, $n=(n-an_{\mu})+an_{\mu}\in \gen{B}$で帰納法が回る.

上の定理と整列可能性定理より明らか.