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大学数学基礎解説
文献あり

射影多様体X(N)を見る

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本記事では広義楕円曲線とそのNレベル構造を司るモジュラー曲線X(N)を考えていきます。初めに基本的な定義・性質をおさらいして、次節でX(3)を構成し、最後にX(N)のカスプを見ていきます。

わたしの記事は全て院試の解答と趣味のどちらかです(尤も院試の解答も趣味ですが...)。趣味の記事を書くに当たっては、ゆくゆくはフェルマーの最終定理の証明をわたしの記事のみで追えるようにすることを目標にしています。本記事もその目標に向けての足掛かり的な記事ですが、今の時点ではX(3)の性質を軽く述べただけのメモ的な内容に終始しています。なのであまり参考になる箇所はないかもしれませんがご了承ください。今後中身のある記事にしていきたいと思っているので期待しないで待っていただけると幸いです。

関手M(N)及びM(N)について

SchQQスキームの圏、Setを小さな集合の圏とする。

関手M(N):SchQSetQスキームTに対して、T上の楕円曲線E/T及びその群スキームの同型α:(Z/NZ)2ENの組全体の集合{(E/T,α)}を出力する関手と定義する。

また関手M(N):SchQSetQスキームTに対して、T上の広義楕円曲線E/T及びそのΓ(N)構造α:(Z/NZ)2ENsmの組全体の集合{(E/T,α)}を出力する関手と定義する。

このとき次の定理が成り立ちます。

Nを自然数とする。

  1. M(N)及びM(N)は粗モジュライを持つ。N3のときこれらは精モジュライになっている。
  2. M(N)の粗モジュライX(N)Q上の固有スムーズな代数曲線である。またM(N)の粗モジュライY(N)X(N)の稠密開部分スキームである。

ST命題2.21

Nは自然数とする。

  1. X(N)は連結多様体で、定数体はQ(ζN)である。
  2. 代数曲線X(N)/Q(ζN)の種数g(N)
    g(N)={0(N=1,2)Nφ(N)ψ(N)24φ(N)ψ(N)4+1(N3)
    である。

ST命題2.22

両者ともSTに載っていますが、前者は証明が省略されている箇所があり、後者に至っては方針だけ述べて証明が完全に省略されているので、あるNが存在してN年以内にこれらの証明についての記事を書こうと思います。

小さいNについては実際に計算することで、次がわかります。

Nφ(N)ψ(N)g(N)
1110
2130
3240
4260
5460
62121
7683
84125
961210
1041813

ここで次の事実があります。

K有理点を持つ種数0の連結固有スムーズ曲線/KPK1に限る。

stacks project Proposition 53.10.4 (8)→(1)から従う。

ここで各Nに対して、NeronのN角形とそれに付随するΓ(N)構造を構成することで、X(N)のQ(ζN)有理点を構成でき、これによって上記の補題及び例から
X(1)=X(2)=PQ1
X(3)=PQ(ζ3)1
X(4)=PQ(i)1
X(5)=PQ(ζ5)1
がわかる(但しζN1の原始N乗根である)。

モジュラー曲線X(3)

ここではモジュラー曲線X(3)を見ていきます。これはSTに於いて命題2.21(本記事の定理1)を示すための足掛かりになっているので、前節の内容は一旦忘れて議論を進めていきます。

X(3)=PQ(ζ3)1及びY(3)=PQ(ζ3)1{1,ζ3,ζ32,}である。

tPQ(ζ3)1の非斉次座標とする。ここでX(3)=PQ(ζ3)1上の平面曲線EX(3)
EX(3):X3+Y3+Z33tXYZ=0
とおく。更にこの切断
O=[0,1,1]
P1=[0,1,ζ3]
P2=[0,1,ζ32]
をとっておく。ここでEX(3)Y(3)上ではスムーズ平面3次曲線なので、切断Oを原点とする楕円曲線と見れる。

ここでe1及びe2(Z/3Z)2の標準基底とし、群スキームの準同型α:(Z/3Z)2EX(3)sm
eiPi
によって定義する。これによって関手の射
Hom(,X(3))M(3)()f(fE,fα)
が定まる。以下これが同型であること、つまり任意のQスキームS及びΓ(3)構造付き楕円曲線(E/S,α)に対し(fEX(3),fα)(E,α)であるようなf:SX(3)が一意的に存在することを示す。(証明自体は下に続きます)

以上から次の補題を示すことに帰着されました。

Q代数A及び広義楕円曲線E/Aに対して、αEΓ(3)構造とする。このときμA及びω3=1なるωAで、E
X3+Y3+Z33μXYZ=0
で定義されるPA2の閉部分スキームに同型であり、P1=α(e1)及びP2=α(e2)[0,1,ω]及び[0,1,1]に対応するようなものが一意的に存在する。

以下補題を示していきますが、まず一意性が述べられていることから証明はYがアファインの場合に帰着できます。また簡単のためYはネーターQ代数Aのアファインスキームとします。ネーターとは限らない環の場合もこの場合に帰着できます。

まずE上の可逆層L:=OE([O]+[P]+[2P])が非常に豊富なことを示していく。初めにp:EYはネータスキームの間の平坦射なので、Stacks Project Theorem 41.10.2 から開写像であることがわかる。特にE上の任意の層Fに対して、自然な射ppFFは同型になる。次にfは固有射(特に準コンパクト射かつ分離的射)なのでStacks Project Lemma 29.38.7 からLの非常に豊富性を確かめるには射EP(fL)が閉埋め込みなことを確かめればよい。この射及びその余域の構成が基底変換と整合的であること、そしてスキーム上の固有射の間の射が閉部分スキームなことを見るには各幾何的ファイバー上で見ればよく、これによってLの非常に豊富性の確認はY=Speck(kは代数閉体)の場合に帰着された。これはRH3系3.2から従う。以上からLは非常に豊富な層であり、閉埋め込みi:EPA2L=iOPA2(1)を満たすものの存在がわかる。よって大域切断Γ(E,L)3元生成され、しかもこれはファイバーに制限しても3次元線型空間であるから、RH2定理12.11も考慮すればSpecAを十分小さくとることでV=Γ(E,L)はランク3の自由A加群であることがわかる。

またVの部分A加群
L0=Γ(E,OE)
L1=Γ(E,OE([O]+[P]+[2P][Q][Q+P][Q+2P])
L2=Γ(E,OE([O]+[P]+[2P][2Q][2Q+P][2Q+2P])
を考える。初めにL0は自然な形でAを含んでいることとRH2定理12.11からSpecAを十分小さく取ることでランク1の部分加群を定めている。まず一般のスキームS上で、広義楕円曲線E/Sに定まった作用Esm×EEから誘導される作用
Esm×PicE/S0PicE/S0
は自明な作用である(DRII Proposition 1.13)。特にSpecAを小さいものに取り替えることで、
O([P+Q][P][Q]+[O])
が成り立ち、これは特にL2,L3は非零元を持つことを導く。よってL1及びL2RH2定理12.11と併せてランク1の自由加群であることがわかる。以上から単射
L0L1L2V
が得られるが、これは任意の極大イデアルによる還元によって同型に移ることを考慮するとこの単射は同型である。よってA加群の自然な同型
L0L1L2V
が従う。各直和成分はPによる作用で安定であり、ω3=1なるωAが存在してPLiωi倍に作用する。ここでfL1f=f(+P)であったとすると、(f(+Q))fL2であるから、L1及びL2の固有値も1になる。このとき任意のVの元がPによる作用の合成で不変になるが、このときf1L1及びf2L2に対して、af1bf2が極を持たず零点を持つような非零元a,bAが存在し、これによってaf1bf2=0になるが、このときaf1=bf2L1L2=0よりaf1=bf2=0になる。f1及びf2は自由A加群の生成元であったから、これによりa=b=0がわかり矛盾する。各直和成分LiPによる作用で安定であり、上の議論から1+ω+ω2=0なるωAが存在してPLiωi倍に作用している。
L=Γ(E,O([P]+[2P][Q][2Q]))
と置いた(上記と同様の考察によりこれもランク1の自由A加群である)とき、LVL1は全て同型になる。L0の基底をXとし、YL2及びZL3をこの同型でうつしたものとする。ここで
X3+Y3+Z33XYZΓ(E,OE(3[O]+3[P]+3[2P]))A9
を考える。このとき、まずA加群
L:=Γ(E,OE(2[O]+2[P]+2[2P][P+Q][2P+Q][P+2Q][2P+2Q]))
を考えたとき、LXYZを基底とするランク1の自由A加群である。ここで
X3+Y3+Z33XYZ=(X+Y+Z)(X+ωY+ω2Z)(X+ω2Y+ωZ)
を考える。X,Y,Zの定義及びそれぞれへのPの作用の仕方から
X+Y+ZΓ(E,OE([P]+[2P][Q][2Q]))=L
X+ωY+ω2Z=(X+Y+Z)PΓ(E,OE([O]+[P][Q+2P][2Q+2P]))
X+ω2Y+ωZ=(X+Y+Z)(2P)Γ(E,OE([2P]+[O][Q+P][2Q+P]))
であるので、あるμを用いて
X3+Y3+Z33XYZ=3(μ1)XYZ
と表せる。以上の構成から
E:X3+Y3+Z33μXYZ
と表され、P[0,1,ω2]Q[1,0,1]に対応していることがわかる。

以上から
X(3)=PQ(ζ3)1
Y(3)=PQ(ζ3)1{1,ζ3,ζ32,}
が示せた。

もっと厳密に書きたかったですが、時間がかかりそうなので後回しにして記事を公開しました。後日時間のある時に加筆します。

このあとX(N)の構成はX(3)からX(3N)を構成し、そこからX(N)を構成する方法が取られます。詳細はSTのp.50以降を参照してください。こちらについても時間のある時に記事を書こうと思います。

X(N)のカスプ

次にX(N)のカスプを見ていきます。X(3)のときは直接モジュラー曲線を構成する方針で行きましたが、ここからはわかっている性質をフルに使って見ていきます。なのでここまでで述べた定理もどんどん用いていきます。初めにFD&JSのp101の記述により、X(N)Cのカスプの個数は
aN:=|X(N)(C)Y(N)(C)|={N22p|N(11p2)(N>2)3(N=2)
です。一方Q(ζN)を含む体K上で定義されるNeronのn角形のレベルN構造も
bN=|GL2(Z/NZ)|2N|Gal(Q(ζN)/Q)|=12Nφ(N)p|Np4ordpN3(p+1)(p1)2=12N2p|Np4ordpN3(p+1)(p1)211p=12N2p|Np4ordpN2(p+1)(p1)=N22p|N(11p2)=aN
個です。以上からζNを含む体Kについて
|X(N)(K)Y(N)(K)|=N22p|N(11p2)
がわかります。

参考文献

[1]
斎藤毅, フェルマー予想, 岩波書店, 2024, 466
[2]
ロビン・ハーツホーン, 代数幾何学3, 丸善出版, 2007, 295
[3]
Fred Diamond & Jerry Michael Shurman, A First course in modular forms, Springer, 2005, 466
[4]
ロビン・ハーツホーン, 代数幾何学2, 丸善出版, 1993, 167
投稿日:202484
更新日:20241219
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  1. 関手M(N)及びM(N)について
  2. モジュラー曲線X(3)
  3. X(N)のカスプ
  4. 参考文献