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現代数学解説
文献あり

BrafmanによるJacobi多項式の母関数

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$$\newcommand{bk}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{calA}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{calS}[0]{\mathcal{S}} \newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{F}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{ol}[0]{\overline} \newcommand{Q}[5]{{}_{#1}\phi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}} $$

今回は以下の等式を示す.

Brafman(1951)

$r=\sqrt{1-2xt+t^2}$として,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(c,1+a+b-c)_n}{(1+a,1+b)_n}P_n^{(a,b)}(x)t^n&=\F21{c,1+a+b-c}{1+a}{\frac{1-t-r}2}\F21{c,1+a+b-c}{1+b}{\frac{1+t-r}2} \end{align}
が成り立つ.

Jacobi多項式の定義式にPfaff変換を適用すると,
\begin{align} P_n^{(a,b)}(x)&=\frac{(1+a)_n}{n!}\F21{-n,a+b+n+1}{a+1}{\frac{1-x}2}\\ &=\frac{(1+a)_n}{n!}\left(\frac{1+x}2\right)^n\F21{-n,-n-b}{a+1}{\frac{x-1}{x+1}}\\ &=\frac{(1+a,1+b)_n}{2^n}\sum_{k=0}^n\frac{(x-1)^k(x+1)^{n-k}}{k!(n-k)!(1+a)_k(1+b)_{n-k}} \end{align}
となるので,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(c,1+a+b-c)_n}{(1+a,1+b)_n}P_n^{(a,b)}(x)t^n&=\sum_{0\leq k\leq n}\frac{(c,1+a+b-c)_n(x-1)^k(x+1)^{n-k}}{k!(n-k)!(1+a)_k(1+b)_{n-k}}\left(\frac t2\right)^n\\ &=\F{}4{c,1+a+b-c}{1+a,1+b}{\frac{(x-1)t}2,\frac{(x+1)t}2} \end{align}
となる. ここで, 前の記事 で示したBaileyの定理により, $r=\sqrt{1-2xt+t^2}$として,
\begin{align} \F{}4{c,1+a+b-c}{1+a,1+b}{\frac{t(x-1)}2,\frac{t(x+1)}2}&=\F21{c,1+a+b-c}{1+a}{\frac{1-t-r}2}\F21{c,1+a+b-c}{1+b}{\frac{1+t-r}2} \end{align}
となることから定理が示される.

$a=b=0$とした場合をLegendre多項式を用いて表すと以下のようになる.

$r=\sqrt{1-2xt+t^2}$として,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(c,1-c)_n}{n!^2}P_n(x)t^n&=\F21{c,1-c}{1}{\frac{1-t-r}2}\F21{c,1-c}{1}{\frac{1+t-r}2} \end{align}
が成り立つ.

特に$x=0$とすると以下を得る.

\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(c,1-c)_{2n}}{(2n)!}\frac{\left(\frac 12\right)_n}{n!}(-t^2)^n&=\F21{c,1-c}{1}{\frac{1-t-\sqrt{1+t^2}}2}\F21{c,1-c}{1}{\frac{1+t-\sqrt{1+t^2}}2} \end{align}

一般に$a=b$の場合にGegenbauer多項式を用いて表すことができるので, 上のような結果が得られる. 定理1において$c=a$とすると, 以下を得る.

$r=\sqrt{1-2xt+t^2}$として,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{P_n^{(a,b)}(x)}{n+a}t^n&=\left(\frac{1-t+r}2\right)^{-a}\sum_{0\leq n}\frac{(1+b)_n}{n!(n+a)}\left(\frac{1-t-r}2\right)^n \end{align}
が成り立つ.

参考文献

[1]
Fred Brafman, Generating Functions of Jacobi and Related Polynomials, Proceedings of the American Mathematical Society, 1951
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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