BrafmanによるJacobi多項式の母関数
今回は以下の等式を示す.
$r=\sqrt{1-2xt+t^2}$として,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(c,1+a+b-c)_n}{(1+a,1+b)_n}P_n^{(a,b)}(x)t^n&=\F21{c,1+a+b-c}{1+a}{\frac{1-t-r}2}\F21{c,1+a+b-c}{1+b}{\frac{1+t-r}2}
\end{align}
が成り立つ.
Jacobi多項式の定義式にPfaff変換を適用すると,
\begin{align}
P_n^{(a,b)}(x)&=\frac{(1+a)_n}{n!}\F21{-n,a+b+n+1}{a+1}{\frac{1-x}2}\\
&=\frac{(1+a)_n}{n!}\left(\frac{1+x}2\right)^n\F21{-n,-n-b}{a+1}{\frac{x-1}{x+1}}\\
&=\frac{(1+a,1+b)_n}{2^n}\sum_{k=0}^n\frac{(x-1)^k(x+1)^{n-k}}{k!(n-k)!(1+a)_k(1+b)_{n-k}}
\end{align}
となるので,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(c,1+a+b-c)_n}{(1+a,1+b)_n}P_n^{(a,b)}(x)t^n&=\sum_{0\leq k\leq n}\frac{(c,1+a+b-c)_n(x-1)^k(x+1)^{n-k}}{k!(n-k)!(1+a)_k(1+b)_{n-k}}\left(\frac t2\right)^n\\
&=\F{}4{c,1+a+b-c}{1+a,1+b}{\frac{(x-1)t}2,\frac{(x+1)t}2}
\end{align}
となる. ここで,
前の記事
で示したBaileyの定理により, $r=\sqrt{1-2xt+t^2}$として,
\begin{align}
\F{}4{c,1+a+b-c}{1+a,1+b}{\frac{t(x-1)}2,\frac{t(x+1)}2}&=\F21{c,1+a+b-c}{1+a}{\frac{1-t-r}2}\F21{c,1+a+b-c}{1+b}{\frac{1+t-r}2}
\end{align}
となることから定理が示される.
$a=b=0$とした場合をLegendre多項式を用いて表すと以下のようになる.
$r=\sqrt{1-2xt+t^2}$として,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(c,1-c)_n}{n!^2}P_n(x)t^n&=\F21{c,1-c}{1}{\frac{1-t-r}2}\F21{c,1-c}{1}{\frac{1+t-r}2}
\end{align}
が成り立つ.
特に$x=0$とすると以下を得る.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(c,1-c)_{2n}}{(2n)!}\frac{\left(\frac 12\right)_n}{n!}(-t^2)^n&=\F21{c,1-c}{1}{\frac{1-t-\sqrt{1+t^2}}2}\F21{c,1-c}{1}{\frac{1+t-\sqrt{1+t^2}}2} \end{align}
一般に$a=b$の場合にGegenbauer多項式を用いて表すことができるので, 上のような結果が得られる. 定理1において$c=a$とすると, 以下を得る.
$r=\sqrt{1-2xt+t^2}$として,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{P_n^{(a,b)}(x)}{n+a}t^n&=\left(\frac{1-t+r}2\right)^{-a}\sum_{0\leq n}\frac{(1+b)_n}{n!(n+a)}\left(\frac{1-t-r}2\right)^n
\end{align}
が成り立つ.
参考文献
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