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BrafmanによるJacobi多項式の母関数

今回は以下の等式を示す.

Brafman(1951)

$r = \sqrt{1 - 2 x t + t^{2}}$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(c, 1 + a + b - c)_{n}}{(1 + a, 1 + b)_{n}} P_{n}^{(a, b)} (x) t^{n} & =_{2} F_{1} [\begin{array}{c} c, 1 + a + b - c \\ 1 + a \end{array}; \frac{1 - t - r}{2}]_{2} F_{1} [\begin{array}{c} c, 1 + a + b - c \\ 1 + b \end{array}; \frac{1 + t - r}{2}] \end{aligned}$
が成り立つ.

Jacobi多項式の定義式にPfaff変換を適用すると,
$\begin{aligned} P_{n}^{(a, b)} (x) & = \frac{(1 + a)_{n}}{n!}_{2} F_{1} [\begin{array}{c} - n, a + b + n + 1 \\ a + 1 \end{array}; \frac{1 - x}{2}] \\ = \frac{(1 + a)_{n}}{n!} {(\frac{1 + x}{2})}^{n}_{2} F_{1} [\begin{array}{c} - n, - n - b \\ a + 1 \end{array}; \frac{x - 1}{x + 1}] \\ = \frac{(1 + a, 1 + b)_{n}}{2^{n}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(x - 1)^{k} (x + 1)^{n - k}}{k! (n - k)! (1 + a)_{k} (1 + b)_{n - k}} \end{aligned}$
となるので,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(c, 1 + a + b - c)_{n}}{(1 + a, 1 + b)_{n}} P_{n}^{(a, b)} (x) t^{n} & = \sum_{0 \leq k \leq n} \frac{(c, 1 + a + b - c)_{n} (x - 1)^{k} (x + 1)^{n - k}}{k! (n - k)! (1 + a)_{k} (1 + b)_{n - k}} {(\frac{t}{2})}^{n} \\ =_{} F_{4} [\begin{array}{c} c, 1 + a + b - c \\ 1 + a, 1 + b \end{array}; \frac{(x - 1) t}{2}, \frac{(x + 1) t}{2}] \end{aligned}$
となる. ここで, 前の記事で示したBaileyの定理により, $r = \sqrt{1 - 2 x t + t^{2}}$ として,
$\begin{aligned} _{} F_{4} [\begin{array}{c} c, 1 + a + b - c \\ 1 + a, 1 + b \end{array}; \frac{t (x - 1)}{2}, \frac{t (x + 1)}{2}] & =_{2} F_{1} [\begin{array}{c} c, 1 + a + b - c \\ 1 + a \end{array}; \frac{1 - t - r}{2}]_{2} F_{1} [\begin{array}{c} c, 1 + a + b - c \\ 1 + b \end{array}; \frac{1 + t - r}{2}] \end{aligned}$
となることから定理が示される.

$a = b = 0$ とした場合をLegendre多項式を用いて表すと以下のようになる.

$r = \sqrt{1 - 2 x t + t^{2}}$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(c, 1 - c)_{n}}{n!^{2}} P_{n} (x) t^{n} & =_{2} F_{1} [\begin{array}{c} c, 1 - c \\ 1 \end{array}; \frac{1 - t - r}{2}]_{2} F_{1} [\begin{array}{c} c, 1 - c \\ 1 \end{array}; \frac{1 + t - r}{2}] \end{aligned}$
が成り立つ.

特に $x = 0$ とすると以下を得る.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(c, 1 - c)_{2 n}}{(2 n)!} \frac{{(\frac{1}{2})}_{n}}{n!} (- t^{2})^{n} & =_{2} F_{1} [\begin{array}{c} c, 1 - c \\ 1 \end{array}; \frac{1 - t - \sqrt{1 + t^{2}}}{2}]_{2} F_{1} [\begin{array}{c} c, 1 - c \\ 1 \end{array}; \frac{1 + t - \sqrt{1 + t^{2}}}{2}] \end{aligned}$

一般に $a = b$ の場合にGegenbauer多項式を用いて表すことができるので, 上のような結果が得られる. 定理1において $c = a$ とすると, 以下を得る.

$r = \sqrt{1 - 2 x t + t^{2}}$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{P_{n}^{(a, b)} (x)}{n + a} t^{n} & = {(\frac{1 - t + r}{2})}^{- a} \sum_{0 \leq n} \frac{(1 + b)_{n}}{n! (n + a)} {(\frac{1 - t - r}{2})}^{n} \end{aligned}$
が成り立つ.