圏論4：極限
今回は，limitとcolimitについてまとめる．terminal object，product，pullback，equalizerなどはすべてlimitの例であり，initial object，coproduct，pushout，coequalizerなどはcolimitの例である．
以下，$\mathcal{I}$を小圏とし，$\mathcal{C}$を圏とする．$\mathcal{I}$は図式の形を表す圏であり，添字圏ともいう．
$\mathcal{C}$における$\mathcal{I}$型の図式とは，関手$F:\mathcal{I}\to\mathcal{C}$のことである．
$i\in\mathcal{I}$に対して$F(i)$を図式の対象，射$\alpha:i\to j$に対して$F(\alpha):F(i)\to F(j)$を図式の射と見る．
例えば，$\mathcal{I}$が$1\to 0\leftarrow 2$という形の圏なら，図式$F:\mathcal{I}\to\mathcal{C}$は
\begin{equation*}
\xymatrix{
F(1) \ar[r] & F(0) & F(2) \ar[l]
}
\end{equation*}
という形をしている．これはpullbackを考えるときの基本的な形である．
図式$F:\mathcal{I}\to\mathcal{C}$へのconeとは，対象$T\in\mathcal{C}$と射の族$p_i:T\to F(i)$であって，任意の射$\alpha:i\to j$に対して$F(\alpha)\circ p_i=p_j$を満たすものをいう．
このとき$T$をconeの頂点という．
coneは次のような可換図式で表される．
\begin{equation*}
\xymatrix{
& T \ar[dl]_-{p_i} \ar[dr]^-{p_j} &\\
F(i) \ar[rr]_-{F(\alpha)} && F(j)
}
\end{equation*}
図式$F:\mathcal{I}\to\mathcal{C}$のlimitとは，cone $(L,(p_i))$であって，任意のcone $(T,(q_i))$に対して，ただ一つの射$u:T\to L$が存在し，すべての$i\in\mathcal{I}$について$q_i=p_i\circ u$を満たすものをいう．
このとき$L$を$\lim_{\mathcal{I}}F$または単に$\lim F$と書く．
図式で書くと，limitの普遍性は次のようになる．
\begin{equation*}
\xymatrix{
& T \ar@{-->}[d]^-{u} \ar[ddl]_-{q_i} \ar[ddr]^-{q_j} &\\
& L \ar[dl]^-{p_i} \ar[dr]_-{p_j} &\\
F(i) \ar[rr]_-{F(\alpha)} && F(j)
}
\end{equation*}
図式$F:\mathcal{I}\to\mathcal{C}$からのcoconeとは，対象$T\in\mathcal{C}$と射の族$s_i:F(i)\to T$であって，任意の射$\alpha:i\to j$に対して$s_j\circ F(\alpha)=s_i$を満たすものをいう．
図式$F:\mathcal{I}\to\mathcal{C}$のcolimitとは，cocone $(Q,(s_i))$であって，任意のcocone $(T,(t_i))$に対して，ただ一つの射$u:Q\to T$が存在し，すべての$i\in\mathcal{I}$について$t_i=u\circ s_i$を満たすものをいう．
このとき$Q$を${\rm colim}_{\mathcal{I}}F$または単に${\rm colim}\,F$と書く．
colimitの図式は，limitの図式の矢印をすべて逆向きにしたものと考えればよい．
\begin{equation*}
\xymatrix{
F(i) \ar[rr]^-{F(\alpha)} \ar[dr]_-{s_i} && F(j) \ar[dl]^-{s_j}\\
& Q \ar@{-->}[d]^-{u} &\\
& T &
}
\end{equation*}
であり，任意のcocone $F(i)\to T$は一意に$Q$を経由する．
limitは，存在すれば同型を除いて一意である．colimitも同様である．
対象$1\in\mathcal{C}$がterminal objectであるとは，任意の$X\in\mathcal{C}$に対して射$X\to 1$がただ一つ存在することをいう．
対象$0\in\mathcal{C}$がinitial objectであるとは，任意の$X\in\mathcal{C}$に対して射$0\to X$がただ一つ存在することをいう．
limitは，coneの圏のterminal objectである．colimitは，coconeの圏のinitial objectである．
したがって，terminal object・initial objectの一意性からも，limit・colimitの一意性が従う．
$I$を集合とし，$\{A_i\}_{i\in I}$を$\mathcal{C}$の対象の族とする．この族のproductとは，$I$を離散圏と見た図式$i\mapsto A_i$のlimitである．
つまり，対象$\prod_{i\in I}A_i$と射$p_i:\prod_{i\in I}A_i\to A_i$の族であって，任意の$T$と射の族$f_i:T\to A_i$に対して，ただ一つの射$u:T\to\prod_{i\in I}A_i$が存在し，すべての$i\in I$について$p_i\circ u=f_i$を満たすものをいう．
図式で書くと次のようになる．
\begin{equation*}
\xymatrix{
& T \ar@{-->}[d]^-{u} \ar[ddl]_-{f_i} \ar[ddr]^-{f_j} &\\
& \prod_{k\in I}A_k \ar[dl]^-{p_i} \ar[dr]_-{p_j} &\\
A_i && A_j
}
\end{equation*}
$I$を集合とし，$\{A_i\}_{i\in I}$を$\mathcal{C}$の対象の族とする．この族のcoproductとは，$I$を離散圏と見た図式$i\mapsto A_i$のcolimitである．
つまり，対象$\coprod_{i\in I}A_i$と射$\iota_i:A_i\to\coprod_{i\in I}A_i$の族であって，任意の$T$と射の族$f_i:A_i\to T$に対して，ただ一つの射$u:\coprod_{i\in I}A_i\to T$が存在し，すべての$i\in I$について$u\circ\iota_i=f_i$を満たすものをいう．
射$f,g:A\to B$のequalizerとは，対象$E$と射$e:E\to A$であって，$f\circ e=g\circ e$を満たし，さらにこの性質について普遍的なものをいう．すなわち，任意の$T$と射$t:T\to A$で$f\circ t=g\circ t$を満たすものに対して，ただ一つの射$u:T\to E$が存在して$t=e\circ u$となる．
\begin{equation*} \xymatrix{ T \ar@{-->}[d]_-{u} \ar[dr]^-{t} &\\ E \ar[r]_-{e} & A \ar@<.5ex>[r]^-{f} \ar@<-.5ex>[r]_-{g} & B } \end{equation*}
射$f,g:A\to B$のcoequalizerとは，対象$Q$と射$q:B\to Q$であって，$q\circ f=q\circ g$を満たし，さらにこの性質について普遍的なものをいう．すなわち，任意の$T$と射$t:B\to T$で$t\circ f=t\circ g$を満たすものに対して，ただ一つの射$u:Q\to T$が存在して$t=u\circ q$となる．
射$f:A\to C,\ g:B\to C$のpullbackとは，図式$A\xrightarrow{f}C\xleftarrow{g}B$のlimitである．これを$A\times_C B$と書く．
図式で書くと，$A\times_C B$は次の可換四角形を普遍的に満たす対象である．
\begin{equation*}
\xymatrix{
T \ar@{-->}[dr]^-{u} \ar[ddr]_-{b} \ar[drr]^-{a} &&\\
& A\times_C B \ar[r]^-{p_A} \ar[d]_-{p_B} & A \ar[d]^-{f}\\
& B \ar[r]_-{g} & C
}
\end{equation*}
射$f:C\to A,\ g:C\to B$のpushoutとは，図式$A\xleftarrow{f}C\xrightarrow{g}B$のcolimitである．これを$A\coprod_C B$と書く．
図式で書くと，$A\coprod_C B$は次の可換四角形を普遍的に満たす対象である．
\begin{equation*}
\xymatrix{
C \ar[r]^-{f} \ar[d]_-{g} & A \ar[d]^-{i_A} \ar[ddr]^-{a} &\\
B \ar[r]_-{i_B} \ar[drr]_-{b} & A\coprod_C B \ar@{-->}[dr]^-{u} &\\
&& T
}
\end{equation*}
${\rm Set}$におけるlimitとcolimitは，かなり具体的に書ける．図式$F:\mathcal{I}\to{\rm Set}$に対して，limitはCartesian productの部分集合
\begin{equation*}
\left\{(x_i)_{i\in\mathcal{I}}\in\prod_{i\in\mathcal{I}}F(i)\mid
F(\alpha)(x_i)=x_j\ {\rm for\ all}\ \alpha:i\to j\right\}
\end{equation*}
である．射影$(x_i)\mapsto x_i$がconeを与える．つまり集合におけるlimitは，図式のすべての矢印と両立する元の族全体である．
一方，colimitはdisjoint union $\coprod_{i\in\mathcal{I}}F(i)$を，関係$\iota_i(x)\sim\iota_j(F(\alpha)(x))$で生成される同値関係で割った集合である．ここで$\alpha:i\to j$かつ$x\in F(i)$であり，$\iota_i:F(i)\to\coprod_iF(i)$は標準的な包含である．つまり集合におけるcolimitは，図式の矢印で同一視されるべき元を貼り合わせた集合である．
limitはHom集合によって特徴づけられる．すなわち，$L=\lim_{\mathcal{I}}F$であることは，任意の$T\in\mathcal{C}$について自然な全単射
\begin{equation*}
{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(T,L)
\cong
\lim_{i\in\mathcal{I}}{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(T,F(i))
\end{equation*}
があることと同じである．
左辺の射$u:T\to L$は，各$i$について$p_i\circ u:T\to F(i)$を定める．これはconeの条件を満たす族である．逆に，右辺の元は，$T$を頂点とする$F$へのconeである．limitの普遍性により，そのようなconeは一意な射$T\to L$と同じ情報である．
colimitはHom集合によって双対的に特徴づけられる．すなわち，$Q={\rm colim}_{\mathcal{I}}F$であることは，任意の$T\in\mathcal{C}$について自然な全単射
\begin{equation*}
{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(Q,T)
\cong
\lim_{i\in\mathcal{I}^{\rm op}}{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(F(i),T)
\end{equation*}
があることと同じである．
射$u:Q\to T$は，各$i$について$u\circ s_i:F(i)\to T$を定める．これはcoconeの条件を満たす族である．逆に，$F$から$T$へのcoconeは，colimitの普遍性により一意な射$Q\to T$と同じ情報である．
圏$\mathcal{C}$がsmall limitをもつとは，任意の小圏$\mathcal{I}$と任意の図式$F:\mathcal{I}\to\mathcal{C}$に対して$\lim_{\mathcal{I}}F$が存在することをいう．このとき$\mathcal{C}$は完備であるという．
双対的に，$\mathcal{C}$がsmall colimitをもつとは，任意の小圏$\mathcal{I}$と任意の図式$F:\mathcal{I}\to\mathcal{C}$に対して${\rm colim}_{\mathcal{I}}F$が存在することをいう．このとき$\mathcal{C}$は余完備であるという．
圏$\mathcal{C}$がfinite productとpullbackをもてば，任意のfinite limitをもつ．双対的に，finite coproductとpushoutをもてば，任意のfinite colimitをもつ．ここでfinite productにはempty product，すなわちterminal objectも含める．同様にfinite coproductにはempty coproduct，すなわちinitial objectも含める．
まず，finite productとpullbackがあればequalizerが作れることを見る．射$f,g:A\to B$に対して，product $B\times B$の対角射$\Delta:B\to B\times B$と射$(f,g):A\to B\times B$を考える．この二つの射のpullback
\begin{equation*}
\xymatrix{
E \ar[r] \ar[d]_-{e} & B \ar[d]^-{\Delta}\\
A \ar[r]_-{(f,g)} & B\times B
}
\end{equation*}
を取ると，$e:E\to A$は$f$と$g$のequalizerである．実際，四角形の可換性は$f\circ e=g\circ e$を意味する．また，$t:T\to A$が$f\circ t=g\circ t$を満たすなら，$(f,g)\circ t=\Delta\circ(f\circ t)$である．したがってpullbackの普遍性から，$e\circ u=t$を満たす射$u:T\to E$が一意的に存在する．これはequalizerの普遍性そのものである．
次に，有限な添字圏$\mathcal{I}$と図式$F:\mathcal{I}\to\mathcal{C}$を取る．まず図式に現れる対象すべてのproduct
\begin{equation*}
P=\prod_{i\in\mathcal{I}}F(i)
\end{equation*}
を取り，その射影を$\pi_i:P\to F(i)$と書く．また，図式に現れる恒等射でない射$\alpha:i\to j$すべてに対して終点側の対象$F(j)$を並べたproduct
\begin{equation*}
R=\prod_{\alpha:i\to j,\ \alpha\ne{\rm id}_i}F(j)
\end{equation*}
を取る．$P$から$R$への二つの射$s,t:P\to R$を，各$\alpha:i\to j$成分で
\begin{equation*}
s_\alpha=F(\alpha)\circ\pi_i,\qquad t_\alpha=\pi_j
\end{equation*}
となるように定める．equalizer $e:L\to P$を取ると，$p_i=\pi_i\circ e$はconeをなす．
任意のcone$q_i:T\to F(i)$が与えられたとする．productの普遍性により，ただ一つの射$q:T\to P$が存在して$\pi_i\circ q=q_i$となる．coneの可換性は，すべての恒等射でない射$\alpha:i\to j$について$F(\alpha)\circ q_i=q_j$であること，すなわち$s\circ q=t\circ q$であることと同じである．したがってequalizerの普遍性から，ただ一つの射$u:T\to L$が存在して$e\circ u=q$となる．これはすべての$i$について$p_i\circ u=q_i$を満たす．よって$L$は$F$のlimitである．
finite colimitについては，反対圏で同じ議論を適用すればよい．finite coproductとpushoutをもつことは，反対圏がfinite productとpullbackをもつことと同じである．
