指数分布のモーメント母関数の導出
確率空間$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$上の実数値確率変数$X:\Omega\to\mathbb R$について、関数$M_X:\mathbb R\to[0,\infty]$を
$$
M_X(t):=\mathbb E\bigl[e^{tX}\bigr]
$$
で定める。ある$0$を含む開区間$I\subset\mathbb R$が存在して、任意の$t\in I$で$M_X(t)<\infty$が成り立つとき、
$X$はモーメント母関数をもつと言い、$M_X$を$X$のモーメント母関数と呼ぶ。
パラメータ $\lambda>0$ を固定する。
確率変数 $X$ が密度関数 $f(x)$ をもち、任意の実数 $a\le b$ に対して
$$
\mathbb{P}(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx
$$
が成り立つとする。このとき、$X$ がパラメータ $\lambda$ の指数分布に従うとは、$X$ の密度関数が
$$
f(x)=
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x} & (x\ge0),\\
0 & (x<0)
\end{cases}
$$
で与えられることをいう。このとき
$$
X\sim \mathrm{Exp}(\lambda)
$$
と書く。
実数 $a$ に対して広義積分
$$
\int_{0}^{\infty}e^{-ax}\,dx
$$
を考える。このとき次が成り立つ。
$$
\int_{0}^{\infty}e^{-ax}\,dx \ \text{が収束する}\ \Leftrightarrow\ a>0
$$
さらに、収束する場合（すなわち $a>0$ の場合）において
$$
\int_{0}^{\infty}e^{-ax}\,dx=\frac{1}{a}
$$
が成り立つ。
広義積分の定義より
$$
\int_{0}^{\infty}e^{-ax}\,dx
=
\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R}e^{-ax}\,dx
$$
であるから、右辺の極限の収束性を調べればよい。ここで $R\ge0$ を任意にとる。
- $a\neq 0$ の場合。
微分すると
$$ \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}e^{-ax}\right) = -\frac{1}{a}\cdot(-a)e^{-ax} = e^{-ax} $$
となるから、原始関数として $-\frac{1}{a}e^{-ax}$ を用いて
$$ \int_{0}^{R}e^{-ax}\,dx = \left[-\frac{1}{a}e^{-ax}\right]_{x=0}^{x=R} = -\frac{1}{a}e^{-aR}+\frac{1}{a} = \frac{1}{a}\left(1-e^{-aR}\right) $$
を得る。従って
$$ \int_{0}^{\infty}e^{-ax}\,dx = \lim_{R\to\infty}\frac{1}{a}\left(1-e^{-aR}\right) $$
である。ここで $a$ の符号で場合分けする。
$ $
(i) $a>0$ の場合。
このとき、指数部は $-aR\to-\infty$（$R\to\infty$）であるから
$$ e^{-aR}\to 0 $$
が成り立つ。よって
$$ \lim_{R\to\infty}\frac{1}{a}\left(1-e^{-aR}\right) = \frac{1}{a}(1-0) = \frac{1}{a} $$
となり、広義積分は収束し，その値は $\frac{1}{a}$ である。
$ $
(ii) $a<0$ の場合。
このとき $a=-|a|$ と書けるので
$$ e^{-aR}=e^{-(-|a|)R}=e^{|a|R} $$
である。ところが$a\neq 0$ より $|a|>0$ だから、指数関数の基本性質より $R\to\infty$ で
$$ e^{|a|R}\to\infty $$
が成り立つ。従って
$$ 1-e^{-aR}=1-e^{|a|R}\to-\infty $$
となり、
$$ \frac{1}{a}\left(1-e^{-aR}\right)\to\infty $$
は$+\infty$に発散する。
$ $
よって広義積分は発散する。以上より、$a\neq 0$ の場合は
$$ \int_{0}^{\infty}e^{-ax}\,dx \ \text{が収束する}\ \Leftrightarrow\ a>0 $$
が示された。
$ $ - $a=0$ の場合。
このとき $e^{-ax}=e^{0}=1$ であるから
$$ \int_{0}^{R}e^{-ax}\,dx=\int_{0}^{R}1\,dx=R $$
となる。従って
$$ \int_{0}^{\infty}e^{-ax}\,dx=\lim_{R\to\infty}R $$
であり、右辺は $+\infty$ に発散する。よってこの場合も広義積分は収束しない。
-以上より
$$
\int_{0}^{\infty}e^{-ax}\,dx \ \text{が収束する}\ \Leftrightarrow\ a>0
$$
が成り立ち、さらに $a>0$ のとき
$$
\int_{0}^{\infty}e^{-ax}\,dx=\frac{1}{a}
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
確率変数$X$が指数分布$X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$に従うとする。ただし$\lambda>0$である。このとき$X$のモーメント母関数$M_X(t)$は、任意の$t<\lambda$に対して
$$
M_X(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t}
$$
で与えられる。
指数分布$X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$の確率密度関数$f$は
$$
f(x)=
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x} & (x\ge 0) \\
0 & (x<0)
\end{cases}
$$
である。モーメント母関数の定義より、$t\in\mathbb R$に対して
$$
M_X(t)=\mathbb E[e^{tX}]=\int_0^\infty e^{tx}f(x)\,dx
$$
であるから
$$
M_X(t)=\int_0^\infty e^{tx}\lambda e^{-\lambda x}\,dx
=\lambda\int_0^\infty e^{-(\lambda-t)x}\,dx
$$
を得る。ここで補題より、$a>0$のときに限り$\int_0^\infty e^{-ax}\,dx$は収束し、その値は$1/a$である。$a=\lambda-t$とおけば、$t<\lambda$のとき$a>0$であるから
$$
\int_0^\infty e^{-(\lambda-t)x}\,dx=\frac{1}{\lambda-t}
$$
が成り立つ。従って
$$
M_X(t)=\lambda\cdot\frac{1}{\lambda-t}=\frac{\lambda}{\lambda-t}
$$
である。
$$ \Box$$
$t\ge\lambda$のときは広義積分が発散して$M_X(t)=\infty$になる
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