Gegenbauerの加法定理

Gegenbauer多項式は以下のように定義される.
$\begin{aligned} C_{n}^{(a)} (x) & = \frac{(2 a)_{n}}{n!}_{2} F_{1} [\begin{array}{c} - n, 2 a + n \\ a + \frac{1}{2} \end{array}; \frac{1 - x}{2}] \end{aligned}$
今回は以下を示す.

Gegenbauerの加法定理

非負整数 $n$ に対して,
$\begin{aligned} C_{n}^{(a)} (\cos θ \cos ϕ + x \sin θ \sin ϕ) \\ = \sum_{k = 0}^{n} \frac{2 a + 2 k - 1}{2 a - 1} \frac{(n - k)! (a)_{k}^{2}}{(2 a)_{n + k}} (4 \sin θ \sin ϕ)^{k} C_{n - k}^{(a + k)} (\cos θ) C_{n - k}^{(a + k)} (\cos ϕ) C_{k}^{(a - \frac{1}{2})} (x) \end{aligned}$
が成り立つ.

この美しい等式に関して, 少し調べてみたことがあったが, 分かりやすそうな証明を見つけることができなかった.　ここでは, 直接的に展開して証明してみることにする.

$s = \cos θ, t = \cos ϕ$ とすると, これは
$\begin{aligned} C_{n}^{(a)} (s t + x \sqrt{1 - s^{2}} \sqrt{1 - t^{2}}) \\ = \sum_{k = 0}^{n} \frac{2 a + 2 k - 1}{2 a - 1} \frac{(n - k)! (a)_{k}^{2}}{(2 a)_{n + k}} (4 \sqrt{1 - s^{2}} \sqrt{1 - t^{2}})^{k} C_{n - k}^{(a + k)} (s) C_{n - k}^{(a + k)} (t) C_{k}^{(a - \frac{1}{2})} (x) \end{aligned}$
とも書くことができる. Gegenbauer多項式の直交性
$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} C_{n}^{(a - \frac{1}{2})} (x) C_{m}^{(a - \frac{1}{2})} (x) (1 - x^{2})^{a - 1} d x & = \frac{\sqrt{π} Γ (a)}{Γ (a - \frac{1}{2})} \frac{2 (2 a - 1)_{n}}{n! (2 n + 2 a - 1)} δ_{n, m} \end{aligned}$
を考えれば, これは
$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} C_{n}^{(a)} (s t + x \sqrt{1 - s^{2}} \sqrt{1 - t^{2}}) C_{m}^{(a - \frac{1}{2})} (x) (1 - x^{2})^{a - 1} d x \\ = \frac{\sqrt{π} Γ (a)}{Γ (a + \frac{1}{2})} \frac{(2 a - 1)_{m} (n - m)! (a)_{m}^{2}}{m! (2 a)_{n + m}} (4 \sqrt{1 - s^{2}} \sqrt{1 - t^{2}})^{m} C_{n - m}^{(a + m)} (s) C_{n - m}^{(a + m)} (t) \end{aligned}$
と同値である. これを示すことにする.

Gegenbauer多項式の展開
$\begin{array}{r} C_{n}^{(a)} (x) = \sum_{0 \leq k} \frac{(- 1)^{k} (a)_{n - k}}{k! (n - 2 k)!} (2 x)^{n - 2 k} \end{array}$
を用いると,
$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} C_{n}^{(a)} (s t + x \sqrt{1 - s^{2}} \sqrt{1 - t^{2}}) C_{m}^{(a - \frac{1}{2})} (x) (1 - x^{2})^{a - 1} d x \\ = \sum_{0 \leq k} \int_{- 1}^{1} \frac{(- 1)^{k} (a)_{n - k}}{k! (n - 2 k)!} (2 (s t + x \sqrt{1 - s^{2}} \sqrt{1 - t^{2}}))^{n - 2 k} C_{m}^{(a - \frac{1}{2})} (x) (1 - x^{2})^{a - 1} d x \\ = \sum_{0 \leq k, j} \frac{(- 1)^{k} 2^{n - 2 k} (a)_{n - k}}{k! (n - 2 k)!} (\binom{n - 2 k}{j}) (s t)^{n - 2 k - j} (\sqrt{1 - s^{2}} \sqrt{1 - t^{2}})^{j} \int_{- 1}^{1} x^{j} C_{m}^{(a - \frac{1}{2})} (x) (1 - x^{2})^{a - 1} d x \end{aligned}$
ここで, 積分公式
$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} x^{j} C_{m}^{(a - \frac{1}{2})} (x) (1 - x^{2})^{a - 1} d x & = \frac{(1 + (- 1)^{m - j}) π 2^{1 - 2 a - j} Γ (m + 2 a - 1) j!}{m! Γ (a - \frac{1}{2}) Γ (\frac{1 + m + j}{2} + a) Γ (1 + \frac{j - m}{2})} \end{aligned}$
を用いると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, j} \frac{(- 1)^{k} 2^{n - 2 k} (a)_{n - k}}{k! (n - 2 k)!} (\binom{n - 2 k}{j}) (s t)^{n - 2 k - j} (\sqrt{1 - s^{2}} \sqrt{1 - t^{2}})^{j} \int_{- 1}^{1} x^{j} C_{m}^{(a - \frac{1}{2})} (x) (1 - x^{2})^{a - 1} d x \\ = \sum_{0 \leq k, j} \frac{(- 1)^{k} 2^{n - 2 k} (a)_{n - k}}{k! (n - 2 k)!} (\binom{n - 2 k}{j}) (s t)^{n - 2 k - j} (\sqrt{1 - s^{2}} \sqrt{1 - t^{2}})^{j} \frac{(1 + (- 1)^{m - j}) π 2^{1 - 2 a - j} Γ (m + 2 a - 1) j!}{m! Γ (a - \frac{1}{2}) Γ (\frac{1 + m + j}{2} + a) Γ (1 + \frac{j - m}{2})} \\ = \frac{2^{1 - 2 a} π Γ (m + 2 a - 1)}{m! Γ (a - \frac{1}{2})} \sum_{0 \leq k, j} \frac{(- 1)^{k} 2^{n - 2 k - j} (a)_{n - k} (1 + (- 1)^{m - j})}{k! (n - 2 k - j)! Γ (\frac{1 + m + j}{2} + a) Γ (1 + \frac{j - m}{2})} (s t)^{n - 2 k - j} (\sqrt{1 - s^{2}} \sqrt{1 - t^{2}})^{j} \\ = \frac{\sqrt{π} Γ (a) (2 a - 1)_{m}}{m! Γ (a + \frac{1}{2})} (\sqrt{1 - s^{2}} \sqrt{1 - t^{2}})^{m} \\ \cdot \sum_{0 \leq k, j} \frac{(- 1)^{k} 2^{n - 2 k - m - 2 j} (a)_{n - k}}{k! (n - 2 k - m - 2 j)! {(\frac{1}{2} + a)}_{m + j} j!} (s t)^{n - m - 2 k - 2 j} {(\sqrt{1 - s^{2}} \sqrt{1 - t^{2}})}^{2 j} \end{aligned}$
よって, 示すべき等式は
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, j} \frac{(- 1)^{k} 2^{n - 2 k - m - 2 j} (a)_{n - k}}{k! (n - 2 k - m - 2 j)! {(\frac{1}{2} + a)}_{m + j} j!} (s t)^{n - m - 2 k - 2 j} {(\sqrt{1 - s^{2}} \sqrt{1 - t^{2}})}^{2 j} \\ = \frac{(n - m)! (a)_{m}^{2}}{(2 a)_{n + m}} 2^{2 m} C_{n - m}^{(a + m)} (s) C_{n - m}^{(a + m)} (t) \end{aligned}$
$n \to n + m, a \to a - m$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, j} \frac{(- 1)^{k} 2^{n - 2 k - 2 j} (a)_{n - k}}{k! (n - 2 k - 2 j)! {(\frac{1}{2} + a)}_{j} j!} (s t)^{n - 2 k - 2 j} {(\sqrt{1 - s^{2}} \sqrt{1 - t^{2}})}^{2 j} & = \frac{n!}{(2 a)_{n}} C_{n}^{(a)} (s) C_{n}^{(a)} (t) \end{aligned}$
を示せば良い. $n = 2 l$ のとき, 左辺は
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, j} \frac{(- 1)^{k} 2^{n - 2 k - 2 j} (a)_{n - k}}{k! (n - 2 k - 2 j)! {(\frac{1}{2} + a)}_{j} j!} (s t)^{n - 2 k - 2 j} {(\sqrt{1 - s^{2}} \sqrt{1 - t^{2}})}^{2 j} \\ = \sum_{0 \leq k, j} \frac{(- 1)^{k} 2^{2 l - 2 k - 2 j} (a)_{2 l - k}}{k! (2 l - 2 k - 2 j)! {(\frac{1}{2} + a)}_{j} j!} (s t)^{2 l - 2 k - 2 j} {((1 - s^{2}) (1 - t^{2}))}^{j} \\ = \sum_{0 \leq k, j} \frac{(- 1)^{l + j + k} 2^{2 k} (a)_{l + j + k}}{(l - j - k)! (2 k)! {(\frac{1}{2} + a)}_{j} j!} (s t)^{2 k} {((1 - s^{2}) (1 - t^{2}))}^{j} \\ = \frac{(- 1)^{l} (a)_{l}}{l!} \sum_{0 \leq k, j} \frac{(- l, a + l)_{j + k}}{k! {(\frac{1}{2})}_{k} {(\frac{1}{2} + a)}_{j} j!} (s t)^{2 k} {((1 - s^{2}) (1 - t^{2}))}^{j} \end{aligned}$
ここで, Watsonによる積公式より,

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, j} \frac{(- l, a + l)_{j + k}}{k! {(\frac{1}{2})}_{k} {(\frac{1}{2} + a)}_{j} j!} (s t)^{2 k} {((1 - s^{2}) (1 - t^{2}))}^{j} \\ = (- 1)^{l} \frac{{(\frac{1}{2})}_{l}}{(\frac{1}{2} + a)_{l}}_{2} F_{1} [\begin{array}{c} - l, a + l \\ \frac{1}{2} \end{array}; s^{2}]_{2} F_{1} [\begin{array}{c} - l, a + l \\ \frac{1}{2} \end{array}; t^{2}] \\ = (- 1)^{l} \frac{l!^{2} {(\frac{1}{2})}_{l}}{(a)_{l}^{2} (\frac{1}{2} + a)_{l}} C_{n}^{(a)} (s) C_{n}^{(a)} (t) \end{aligned}$
であるから, これを代入すればよい. $n = 2 l + 1$ のとき, 左辺は
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, j} \frac{(- 1)^{k} 2^{n - 2 k - 2 j} (a)_{n - k}}{k! (n - 2 k - 2 j)! {(\frac{1}{2} + a)}_{j} j!} (s t)^{n - 2 k - 2 j} {(\sqrt{1 - s^{2}} \sqrt{1 - t^{2}})}^{2 j} \\ = \sum_{0 \leq k, j} \frac{(- 1)^{k} 2^{2 l - 2 k - 2 j + 1} (a)_{2 l - k + 1}}{k! (2 l - 2 k - 2 j + 1)! {(\frac{1}{2} + a)}_{j} j!} (s t)^{2 l - 2 k - 2 j + 1} {((1 - s^{2}) (1 - t^{2}))}^{j} \\ = s t \sum_{0 \leq k, j} \frac{(- 1)^{l + j + k} 2^{2 k + 1} (a)_{l + j + k + 1}}{(l - j - k)! (2 k + 1)! {(\frac{1}{2} + a)}_{j} j!} (s t)^{2 k} {((1 - s^{2}) (1 - t^{2}))}^{j} \\ = 2 \frac{(- 1)^{l} (a)_{l + 1}}{l!} s t \sum_{0 \leq k, j} \frac{(- l, a + l + 1)_{j + k}}{k! {(\frac{3}{2})}_{k} {(\frac{1}{2} + a)}_{j} j!} (s t)^{2 k} {((1 - s^{2}) (1 - t^{2}))}^{j} \end{aligned}$
ここで, Watsonによる積公式より,
$\begin{aligned} s t \sum_{0 \leq k, j} \frac{(- l, a + l + 1)_{j + k}}{k! {(\frac{3}{2})}_{k} {(\frac{1}{2} + a)}_{j} j!} (s t)^{2 k} {((1 - s^{2}) (1 - t^{2}))}^{j} \\ = (- 1)^{l} \frac{{(\frac{3}{2})}_{l}}{(\frac{1}{2} + a)_{l}} s t_{2} F_{1} [\begin{array}{c} - l, a + l + 1 \\ \frac{3}{2} \end{array}; s^{2}]_{2} F_{1} [\begin{array}{c} - l, a + l + 1 \\ \frac{3}{2} \end{array}; t^{2}] \\ = (- 1)^{l} \frac{l!^{2} {(\frac{3}{2})}_{l}}{4 (a)_{l + 1}^{2} (\frac{1}{2} + a)_{l}} C_{n}^{(a)} (s) C_{n}^{(a)} (t) \end{aligned}$
であるからこれを代入すればよい.

証明から, 定理1はさらに一般化できそうである. 区間 $[0, 1]$ におけるJacobi多項式を
$\begin{aligned} ρ_{n}^{(a, b)} (x) & = (- 1)^{n} \frac{(a)_{n}}{n!}_{2} F_{1} [\begin{array}{c} - n, a + b + n - 1 \\ a \end{array}; x] \end{aligned}$
とする. この場合は
$\begin{aligned} \int_{0}^{1} x^{c - 1} (1 - x)^{b - 1} ρ_{n}^{(a, b)} (x) d x & = \frac{Γ (b + n) Γ (c)}{Γ (b + c + n)} \frac{(- 1)^{n} (a - c)_{n}}{n!} \end{aligned}$
である.

$\begin{aligned} \int_{0}^{1} (ρ_{n}^{(a, b)} ({(\sqrt{s t} + \sqrt{x (1 - s) (1 - t)})}^{2}) + ρ_{n}^{(a, b)} ({(\sqrt{s t} - \sqrt{x (1 - s) (1 - t)})}^{2})) \\ \cdot ρ_{m}^{(c, d)} (x) x^{c - 1} (1 - x)^{d - 1} d x \\ = (- 1)^{n} \frac{(a)_{n}}{n!} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- n, a + b + n - 1)_{k}}{k! (a)_{k}} \\ \cdot \int_{0}^{1} ({(\sqrt{s t} + \sqrt{x (1 - s) (1 - t)})}^{2 k} + {(\sqrt{s t} - \sqrt{x (1 - s) (1 - t)})}^{2 k}) ρ_{m}^{(c, d)} (x) x^{c - 1} (1 - x)^{d - 1} d x \\ = 2 (- 1)^{n} \frac{(a)_{n}}{n!} \sum_{0 \leq j, k} \frac{(- n, a + b + n - 1)_{k}}{k! (a)_{k}} (\binom{2 k}{2 j}) (s t)^{k - j} {((1 - s) (1 - t))}^{j} \int_{0}^{1} ρ_{m}^{(c, d)} (x) x^{c + j - 1} (1 - x)^{d - 1} d x \\ = 2 (- 1)^{n} \frac{(a)_{n}}{n!} \sum_{0 \leq j, k} \frac{(- n, a + b + n - 1)_{k}}{k! (a)_{k}} (\binom{2 k}{2 j}) (s t)^{k - j} {((1 - s) (1 - t))}^{j} \frac{Γ (c + j) Γ (d + m)}{Γ (c + d + j + m)} \frac{(- 1)^{m} (- j)_{m}}{m!} \\ = 2 (- 1)^{n} \frac{(a)_{n}}{n!} \frac{Γ (d + m)}{m!} \sum_{0 \leq j, k} \frac{(\frac{1}{2}, - n, a + b + n - 1)_{k}}{(\frac{1}{2})_{j} (\frac{1}{2})_{k - j} (k - j)! (a)_{k} (j - m)!} (s t)^{k - j} {((1 - s) (1 - t))}^{j} \frac{Γ (c + j)}{Γ (c + d + j + m)} \\ = 2 (- 1)^{n} \frac{(a)_{n}}{n!} \frac{Γ (d + m)}{m!} \sum_{0 \leq j, k} \frac{(\frac{1}{2}, - n, a + b + n - 1)_{k + j + m}}{(\frac{1}{2})_{j + m} (\frac{1}{2})_{k} k! (a)_{k + j + m} j!} (s t)^{k} {((1 - s) (1 - t))}^{j + m} \frac{Γ (c + j + m)}{Γ (c + d + j + 2 m)} \\ = 2 (- 1)^{n} \frac{(a)_{n}}{n!} \frac{Γ (c + m) Γ (d + m)}{m! Γ (c + d + 2 m)} \frac{{(- n, a + b + n - 1)}_{m}}{{(a)}_{m}} ((1 - s) (1 - t))^{m} \\ \cdot \sum_{0 \leq j, k} \frac{(c + m)_{j} (\frac{1}{2} + m, - n + m, a + b + n + m - 1)_{j + k}}{j! (\frac{1}{2} + m, c + d + 2 m)_{j} k! (\frac{1}{2})_{k} (a + m)_{j + k}} (s t)^{k} {((1 - s) (1 - t))}^{j} \end{aligned}$
よって以下の公式を得る.

全く同様に, Jacobi多項式が差になっているものも導出することができると思われる. 特に, $m = 0$ のとき,
$\begin{aligned} \int_{0}^{1} (ρ_{n}^{(a, b)} ({(\sqrt{s t} + \sqrt{x (1 - s) (1 - t)})}^{2}) + ρ_{n}^{(a, b)} ({(\sqrt{s t} - \sqrt{x (1 - s) (1 - t)})}^{2})) x^{c - 1} (1 - x)^{d - 1} d x \\ = 2 (- 1)^{n} \frac{(a)_{n}}{n!} \frac{Γ (c) Γ (d)}{Γ (c + d)} \sum_{0 \leq j, k} \frac{(c)_{j} (\frac{1}{2}, - n, a + b + n - 1)_{j + k}}{j! (\frac{1}{2}, c + d)_{j} k! (\frac{1}{2})_{k} (a)_{j + k}} (s t)^{k} {((1 - s) (1 - t))}^{j} \end{aligned}$
となる. 特に $a = c = \frac{1}{2}$ の場合
$\begin{aligned} \int_{0}^{1} (ρ_{n}^{(\frac{1}{2}, b)} ({(\sqrt{s t} + \sqrt{x (1 - s) (1 - t)})}^{2}) + ρ_{n}^{(\frac{1}{2}, b)} ({(\sqrt{s t} - \sqrt{x (1 - s) (1 - t)})}^{2})) x^{- \frac{1}{2}} (1 - x)^{d - 1} d x \\ = 2 (- 1)^{n} \frac{(\frac{1}{2})_{n}}{n!} \frac{Γ (\frac{1}{2}) Γ (d)}{Γ (\frac{1}{2} + d)} \sum_{0 \leq j, k} \frac{(- n, b + n - \frac{1}{2})_{j + k}}{j! (\frac{1}{2} + d)_{j} k! (\frac{1}{2})_{k}} (s t)^{k} {((1 - s) (1 - t))}^{j} \\ = 2 (- 1)^{n} \frac{(\frac{1}{2})_{n}}{n!} \frac{Γ (\frac{1}{2}) Γ (d)}{Γ (\frac{1}{2} + d)}_{} F_{4} [\begin{array}{c} - n, b + n - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} + d, \frac{1}{2} \end{array}; s t, (1 - s) (1 - t)] \end{aligned}$
とAppellの超幾何級数で書くことができる. しかし, Watsonの積公式が使える場合は $b = d + \frac{1}{2}$ の場合に限り, それは定理1の場合である. よって, 積に分解できるような定理1より一般的な公式はこの方向への拡張では得られないようである.

投稿日：14日前

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

Wataru

692

47805

超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

他の人のコメント

コメントはありません。

読み込み中

Wataru

Gegenbauerの加法定理