Gegenbauerの加法定理
Gegenbauer多項式は以下のように定義される.
\begin{align}
C_n^{(a)}(x)&=\frac{(2a)_n}{n!}\F21{-n,2a+n}{a+\frac 12}{\frac{1-x}2}
\end{align}
今回は以下を示す.
非負整数$n$に対して,
\begin{align}
&C_n^{(a)}(\cos\theta\cos\phi+x\sin\theta\sin\phi)\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{2a+2k-1}{2a-1}\frac{(n-k)!(a)_{k}^2}{(2a)_{n+k}}(4\sin\theta\sin\phi)^kC_{n-k}^{(a+k)}(\cos\theta)C_{n-k}^{(a+k)}(\cos\phi)C_k^{\left(a-\frac 12\right)}(x)
\end{align}
が成り立つ.
この美しい等式に関して, 少し調べてみたことがあったが, 分かりやすそうな証明を見つけることができなかった. ここでは, 直接的に展開して証明してみることにする.
$s=\cos\theta, t=\cos\phi$とすると, これは
\begin{align}
&C_n^{(a)}(st+x\sqrt{1-s^2}\sqrt{1-t^2})\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{2a+2k-1}{2a-1}\frac{(n-k)!(a)_{k}^2}{(2a)_{n+k}}(4\sqrt{1-s^2}\sqrt{1-t^2})^kC_{n-k}^{(a+k)}(s)C_{n-k}^{(a+k)}(t)C_k^{\left(a-\frac 12\right)}(x)
\end{align}
とも書くことができる. Gegenbauer多項式の直交性
\begin{align}
\int_{-1}^1C_n^{\left(a-\frac 12\right)}(x)C_m^{\left(a-\frac 12\right)}(x)(1-x^2)^{a-1}\,dx&=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma\left(a\right)}{\Gamma\left(a-\frac 12\right)}\frac{2(2a-1)_n}{n!(2n+2a-1)}\delta_{n,m}
\end{align}
を考えれば, これは
\begin{align}
&\int_{-1}^1C_n^{(a)}(st+x\sqrt{1-s^2}\sqrt{1-t^2})C_m^{\left(a-\frac 12\right)}(x)(1-x^2)^{a-1}\,dx\\
&=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma\left(a\right)}{\Gamma\left(a+\frac 12\right)}\frac{(2a-1)_m(n-m)!(a)_{m}^2}{m!(2a)_{n+m}}(4\sqrt{1-s^2}\sqrt{1-t^2})^mC_{n-m}^{(a+m)}(s)C_{n-m}^{(a+m)}(t)
\end{align}
と同値である. これを示すことにする.
Gegenbauer多項式の展開
\begin{align}
C_n^{(a)}(x)=\sum_{0\leq k}\frac{(-1)^k(a)_{n-k}}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k}
\end{align}
を用いると,
\begin{align}
&\int_{-1}^1C_n^{(a)}(st+x\sqrt{1-s^2}\sqrt{1-t^2})C_m^{\left(a-\frac 12\right)}(x)(1-x^2)^{a-1}\,dx\\
&=\sum_{0\leq k}\int_{-1}^1\frac{(-1)^k(a)_{n-k}}{k!(n-2k)!}(2(st+x\sqrt{1-s^2}\sqrt{1-t^2}))^{n-2k}C_m^{\left(a-\frac 12\right)}(x)(1-x^2)^{a-1}\,dx\\
&=\sum_{0\leq k,j}\frac{(-1)^k2^{n-2k}(a)_{n-k}}{k!(n-2k)!}\binom{n-2k}{j}(st)^{n-2k-j}(\sqrt{1-s^2}\sqrt{1-t^2})^j\int_{-1}^1x^jC_m^{\left(a-\frac 12\right)}(x)(1-x^2)^{a-1}\,dx
\end{align}
ここで,
積分公式
\begin{align}
\int_{-1}^1x^jC_m^{\left(a-\frac 12\right)}(x)(1-x^2)^{a-1}\,dx&=\frac{(1+(-1)^{m-j})\pi 2^{1-2a-j}\Gamma(m+2a-1)j!}{m!\Gamma\left(a-\frac 12\right)\Gamma\left(\frac{1+m+j}2+a\right)\Gamma\left(1+\frac{j-m}2\right)}
\end{align}
を用いると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq k,j}\frac{(-1)^k2^{n-2k}(a)_{n-k}}{k!(n-2k)!}\binom{n-2k}{j}(st)^{n-2k-j}(\sqrt{1-s^2}\sqrt{1-t^2})^j\int_{-1}^1x^jC_m^{\left(a-\frac 12\right)}(x)(1-x^2)^{a-1}\,dx\\
&=\sum_{0\leq k,j}\frac{(-1)^k2^{n-2k}(a)_{n-k}}{k!(n-2k)!}\binom{n-2k}{j}(st)^{n-2k-j}(\sqrt{1-s^2}\sqrt{1-t^2})^j\frac{(1+(-1)^{m-j})\pi 2^{1-2a-j}\Gamma(m+2a-1)j!}{m!\Gamma\left(a-\frac 12\right)\Gamma\left(\frac{1+m+j}2+a\right)\Gamma\left(1+\frac{j-m}2\right)}\\
&=\frac{2^{1-2a}\pi\Gamma(m+2a-1)}{m!\Gamma\left(a-\frac 12\right)}\sum_{0\leq k,j}\frac{(-1)^k2^{n-2k-j}(a)_{n-k}(1+(-1)^{m-j})}{k!(n-2k-j)!\Gamma\left(\frac{1+m+j}2+a\right)\Gamma\left(1+\frac{j-m}2\right)}(st)^{n-2k-j}(\sqrt{1-s^2}\sqrt{1-t^2})^j\\
&=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(a)(2a-1)_m}{m!\Gamma\left(a+\frac 12\right)}(\sqrt{1-s^2}\sqrt{1-t^2})^m\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq k,j}\frac{(-1)^k2^{n-2k-m-2j}(a)_{n-k}}{k!(n-2k-m-2j)!\left(\frac{1}2+a\right)_{m+j}j!}(st)^{n-m-2k-2j}\left(\sqrt{1-s^2}\sqrt{1-t^2}\right)^{2j}
\end{align}
よって, 示すべき等式は
\begin{align}
&\sum_{0\leq k,j}\frac{(-1)^k2^{n-2k-m-2j}(a)_{n-k}}{k!(n-2k-m-2j)!\left(\frac{1}2+a\right)_{m+j}j!}(st)^{n-m-2k-2j}\left(\sqrt{1-s^2}\sqrt{1-t^2}\right)^{2j}\\
&=\frac{(n-m)!(a)_{m}^2}{(2a)_{n+m}}2^{2m}C_{n-m}^{(a+m)}(s)C_{n-m}^{(a+m)}(t)
\end{align}
$n\to n+m, a\to a-m$として,
\begin{align}
\sum_{0\leq k,j}\frac{(-1)^k2^{n-2k-2j}(a)_{n-k}}{k!(n-2k-2j)!\left(\frac{1}2+a\right)_{j}j!}(st)^{n-2k-2j}\left(\sqrt{1-s^2}\sqrt{1-t^2}\right)^{2j}&=\frac{n!}{(2a)_{n}}C_{n}^{(a)}(s)C_{n}^{(a)}(t)
\end{align}
を示せば良い. $n=2l$のとき, 左辺は
\begin{align}
&\sum_{0\leq k,j}\frac{(-1)^k2^{n-2k-2j}(a)_{n-k}}{k!(n-2k-2j)!\left(\frac{1}2+a\right)_{j}j!}(st)^{n-2k-2j}\left(\sqrt{1-s^2}\sqrt{1-t^2}\right)^{2j}\\
&=\sum_{0\leq k,j}\frac{(-1)^k2^{2l-2k-2j}(a)_{2l-k}}{k!(2l-2k-2j)!\left(\frac{1}2+a\right)_{j}j!}(st)^{2l-2k-2j}\left((1-s^2)(1-t^2)\right)^{j}\\
&=\sum_{0\leq k,j}\frac{(-1)^{l+j+k}2^{2k}(a)_{l+j+k}}{(l-j-k)!(2k)!\left(\frac{1}2+a\right)_{j}j!}(st)^{2k}\left((1-s^2)(1-t^2)\right)^{j}\\
&=\frac{(-1)^{l}(a)_l}{l!}\sum_{0\leq k,j}\frac{(-l,a+l)_{j+k}}{k!\left(\frac 12\right)_k\left(\frac{1}2+a\right)_{j}j!}(st)^{2k}\left((1-s^2)(1-t^2)\right)^{j}
\end{align}
ここで,
Watsonによる積公式
より,
\begin{align}
&\sum_{0\leq k,j}\frac{(-l,a+l)_{j+k}}{k!\left(\frac 12\right)_k\left(\frac{1}2+a\right)_{j}j!}(st)^{2k}\left((1-s^2)(1-t^2)\right)^{j}\\
&=(-1)^l\frac{\left(\frac 12\right)_l}{(\frac 12+a)_l}\F21{-l,a+l}{\frac 12}{s^2}\F21{-l,a+l}{\frac 12}{t^2}\\
&=(-1)^l\frac{l!^2\left(\frac 12\right)_l}{(a)_l^2(\frac 12+a)_l}C_n^{(a)}(s)C_n^{(a)}(t)
\end{align}
であるから, これを代入すればよい. $n=2l+1$のとき, 左辺は
\begin{align}
&\sum_{0\leq k,j}\frac{(-1)^k2^{n-2k-2j}(a)_{n-k}}{k!(n-2k-2j)!\left(\frac{1}2+a\right)_{j}j!}(st)^{n-2k-2j}\left(\sqrt{1-s^2}\sqrt{1-t^2}\right)^{2j}\\
&=\sum_{0\leq k,j}\frac{(-1)^k2^{2l-2k-2j+1}(a)_{2l-k+1}}{k!(2l-2k-2j+1)!\left(\frac{1}2+a\right)_{j}j!}(st)^{2l-2k-2j+1}\left((1-s^2)(1-t^2)\right)^{j}\\
&=st\sum_{0\leq k,j}\frac{(-1)^{l+j+k}2^{2k+1}(a)_{l+j+k+1}}{(l-j-k)!(2k+1)!\left(\frac{1}2+a\right)_{j}j!}(st)^{2k}\left((1-s^2)(1-t^2)\right)^{j}\\
&=2\frac{(-1)^{l}(a)_{l+1}}{l!}st\sum_{0\leq k,j}\frac{(-l,a+l+1)_{j+k}}{k!\left(\frac 32\right)_k\left(\frac{1}2+a\right)_{j}j!}(st)^{2k}\left((1-s^2)(1-t^2)\right)^{j}
\end{align}
ここで,
Watsonによる積公式
より,
\begin{align}
&st\sum_{0\leq k,j}\frac{(-l,a+l+1)_{j+k}}{k!\left(\frac 32\right)_k\left(\frac{1}2+a\right)_{j}j!}(st)^{2k}\left((1-s^2)(1-t^2)\right)^{j}\\
&=(-1)^l\frac{\left(\frac 32\right)_l}{(\frac 12+a)_l}st\F21{-l,a+l+1}{\frac 32}{s^2}\F21{-l,a+l+1}{\frac 32}{t^2}\\
&=(-1)^l\frac{l!^2\left(\frac 32\right)_l}{4(a)_{l+1}^2(\frac 12+a)_l}C_n^{(a)}(s)C_n^{(a)}(t)
\end{align}
であるからこれを代入すればよい.
証明から, 定理1はさらに一般化できそうである. 区間$[0,1]$におけるJacobi多項式を
\begin{align}
\rho_n^{(a,b)}(x)&=(-1)^n\frac{(a)_n}{n!}\F21{-n,a+b+n-1}{a}x
\end{align}
とする. この場合は
\begin{align}
\int_0^1x^{c-1}(1-x)^{b-1}\rho^{(a,b)}_n(x)\,dx&=\frac{\Gamma(b+n)\Gamma(c)}{\Gamma(b+c+n)}\frac{(-1)^n(a-c)_n}{n!}
\end{align}
である.
\begin{align}
&\int_0^1\left(\rho_n^{(a,b)}\left(\left(\sqrt{st}+\sqrt{x(1-s)(1-t)}\right)^2\right)+\rho_n^{(a,b)}\left(\left(\sqrt{st}-\sqrt{x(1-s)(1-t)}\right)^2\right)\right)\\
&\qquad\cdot\rho_m^{(c,d)}(x)x^{c-1}(1-x)^{d-1}\,dx\\
&=(-1)^n\frac{(a)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a+b+n-1)_k}{k!(a)_k}\\
&\qquad\cdot\int_0^1\left(\left(\sqrt {st}+\sqrt{x(1-s)(1-t)}\right)^{2k}+\left(\sqrt {st}-\sqrt{x(1-s)(1-t)}\right)^{2k}\right)\rho_m^{(c,d)}(x)x^{c-1}(1-x)^{d-1}\,dx\\
&=2(-1)^n\frac{(a)_n}{n!}\sum_{0\leq j,k}\frac{(-n,a+b+n-1)_k}{k!(a)_k}\binom {2k}{2j}(st)^{k-j}\left((1-s)(1-t)\right)^{j}\int_0^1\rho_m^{(c,d)}(x)x^{c+j-1}(1-x)^{d-1}\,dx\\
&=2(-1)^n\frac{(a)_n}{n!}\sum_{0\leq j,k}\frac{(-n,a+b+n-1)_k}{k!(a)_k}\binom {2k}{2j}(st)^{k-j}\left((1-s)(1-t)\right)^{j}\frac{\Gamma(c+j)\Gamma(d+m)}{\Gamma(c+d+j+m)}\frac{(-1)^m(-j)_m}{m!}\\
&=2(-1)^n\frac{(a)_n}{n!}\frac{\Gamma(d+m)}{m!}\sum_{0\leq j,k}\frac{(\frac 12,-n,a+b+n-1)_k}{(\frac 12)_j(\frac 12)_{k-j}(k-j)!(a)_k(j-m)!}(st)^{k-j}\left((1-s)(1-t)\right)^{j}\frac{\Gamma(c+j)}{\Gamma(c+d+j+m)}\\
&=2(-1)^n\frac{(a)_n}{n!}\frac{\Gamma(d+m)}{m!}\sum_{0\leq j,k}\frac{(\frac 12,-n,a+b+n-1)_{k+j+m}}{(\frac 12)_{j+m}(\frac 12)_{k}k!(a)_{k+j+m}j!}(st)^{k}\left((1-s)(1-t)\right)^{j+m}\frac{\Gamma(c+j+m)}{\Gamma(c+d+j+2m)}\\
&=2(-1)^n\frac{(a)_n}{n!}\frac{\Gamma(c+m)\Gamma(d+m)}{m!\Gamma(c+d+2m)}\frac{\left(-n,a+b+n-1\right)_m}{\left(a\right)_m}((1-s)(1-t))^m\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq j,k}\frac{(c+m)_j(\frac 12+m,-n+m,a+b+n+m-1)_{j+k}}{j!(\frac 12+m,c+d+2m)_jk!(\frac 12)_{k}(a+m)_{j+k}}(st)^{k}\left((1-s)(1-t)\right)^{j}\\
\end{align}
よって以下の公式を得る.
\begin{align} &\int_0^1\left(\rho_n^{(a,b)}\left(\left(\sqrt{st}+\sqrt{x(1-s)(1-t)}\right)^2\right)+\rho_n^{(a,b)}\left(\left(\sqrt{st}-\sqrt{x(1-s)(1-t)}\right)^2\right)\right)\\ &\qquad\cdot\rho_m^{(c,d)}(x)x^{c-1}(1-x)^{d-1}\,dx\\ &=2(-1)^n\frac{(a)_n}{n!}\frac{\Gamma(c+m)\Gamma(d+m)}{m!\Gamma(c+d+2m)}\frac{\left(-n,a+b+n-1\right)_m}{\left(a\right)_m}((1-s)(1-t))^m\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j,k}\frac{(c+m)_j(\frac 12+m,-n+m,a+b+n+m-1)_{j+k}}{j!(\frac 12+m,c+d+2m)_jk!(\frac 12)_{k}(a+m)_{j+k}}(st)^{k}\left((1-s)(1-t)\right)^{j}\\ \end{align}
全く同様に, Jacobi多項式が差になっているものも導出することができると思われる. 特に, $m=0$のとき,
\begin{align}
&\int_0^1\left(\rho_n^{(a,b)}\left(\left(\sqrt{st}+\sqrt{x(1-s)(1-t)}\right)^2\right)+\rho_n^{(a,b)}\left(\left(\sqrt{st}-\sqrt{x(1-s)(1-t)}\right)^2\right)\right)x^{c-1}(1-x)^{d-1}\,dx\\
&=2(-1)^n\frac{(a)_n}{n!}\frac{\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(c+d)}\sum_{0\leq j,k}\frac{(c)_j(\frac 12,-n,a+b+n-1)_{j+k}}{j!(\frac 12,c+d)_jk!(\frac 12)_{k}(a)_{j+k}}(st)^{k}\left((1-s)(1-t)\right)^{j}
\end{align}
となる. 特に$a=c=\frac 12$の場合
\begin{align}
&\int_0^1\left(\rho_n^{(\frac 12,b)}\left(\left(\sqrt{st}+\sqrt{x(1-s)(1-t)}\right)^2\right)+\rho_n^{(\frac 12,b)}\left(\left(\sqrt{st}-\sqrt{x(1-s)(1-t)}\right)^2\right)\right)x^{-\frac 12}(1-x)^{d-1}\,dx\\
&=2(-1)^n\frac{(\frac 12)_n}{n!}\frac{\Gamma(\frac 12)\Gamma(d)}{\Gamma(\frac 12+d)}\sum_{0\leq j,k}\frac{(-n,b+n-\frac 12)_{j+k}}{j!(\frac 12+d)_jk!(\frac 12)_{k}}(st)^{k}\left((1-s)(1-t)\right)^{j}\\
&=2(-1)^n\frac{(\frac 12)_n}{n!}\frac{\Gamma(\frac 12)\Gamma(d)}{\Gamma(\frac 12+d)}\F{}{4}{-n,b+n-\frac 12}{\frac 12+d,\frac 12}{st,(1-s)(1-t)}
\end{align}
とAppellの超幾何級数で書くことができる. しかし, Watsonの積公式が使える場合は$b=d+\frac 12$の場合に限り, それは定理1の場合である. よって, 積に分解できるような定理1より一般的な公式はこの方向への拡張では得られないようである.
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