積分の「悪魔の双子」問題
見た目が似ている関数でも、積分の解き方が大きく変わるようすを観察しよう。
積分定数を$ C $とする。
問題
- $ \displaystyle \int \cos{\log{x}} dx $を計算せよ。
- $ \displaystyle \int \log{\cos{x}} dx $を計算せよ。
(1)は簡単な解法がありますが、(2)は極めて特殊な解法が必要です。いわば「悪魔の双子」の関係です。
解法
(1)
いくつかの方法で解くことができます。
$ I = \displaystyle \int \cos{\log{x}} dx $とします。
$ \log{x} = t $とすると、$ \frac{1}{x}dx = dt\ \therefore dx = xdt = e^x dt $であるから
\begin{align*}
I &= \int e^t \cos{t} dt \\
&= \int \left(e^t\right)' \cos{t} dt \\
&= e^t \cos{t} + \int e^t \sin{t} dt \\
&= e^t \cos{t} + \int \left(e^t\right)' \sin{t} dt \\
&= e^t \cos{t} + e^t \sin{t} - \int e^t \cos{t} dt \\
2I &= e^t \cos{t} + e^t \sin{t} + 2C \\
I &= \frac{1}{2}\left(e^t \cos{t} + e^t \sin{t}\right) + C \\
&= \frac{x}{2}\left(\cos{\log{x}} + \sin{\log{x}}\right) + C
\end{align*}
$ J = \displaystyle \int \sin{\log{x}} dx $とおく。このとき
\begin{align*}
I + iJ &= \int \cos{\log{x}} + i \sin{\log{x}} dx \\
&= \int e^{i \log{x}} dx \\
&= \int \left(e^{\log{x}}\right)^i dx \\
&= \int x^i dx \\
&= \frac{1}{i+1} x^{i+1} + C \\
&= \frac{1-i}{2} x^i \cdot x + C
\end{align*}
ゆえに
$ I = \Re(I+iJ) = \frac{x}{2} \left(\cos{\log{x}} + \sin{\log{x}}\right) + C $
(2)
この積分を解くために必要な記号を用意します。
複素数$ z $に対し、$ \operatorname{Li}_2(z) $を以下で定める:
$$ \operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z \frac{\log(1-u)}{u} du $$
なんかやばそうな記号が出てきましたが、今回使うのは$ \operatorname{Li}_2 $だけです。
$ |x| < \frac{\pi}{2} $とします。連続性と周期性から、このように仮定して一般性を失わないことがわかります。
\begin{align*} I &= \int \log{\cos{x}} dx \\ &= \int \log{\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}} dx \\ &= \int \log{\left(\frac{e^{-ix}}{2}\left(e^{2ix}+1\right)\right)} dx \\ &= \int \left(\log{\left(e^{2ix}+1\right)} + \log{e^{-ix}} - \log{2} \right) dx \\ &= \int \log{\left(e^{2ix}+1\right)} dx + \int (-ix) dx - \int \log{2} dx \\ &= -\frac{i}{2} x^2 - x\log{2} + \int \log{\left(e^{2ix}+1\right)} dx \end{align*}
$ J = \displaystyle \int \log{\left(e^{2ix}+1\right)} dx $について、$ e^{2ix} = t $とおくと$ 2i e^{2ix} dx = dt $すなわち$ dx = \frac{1}{2it} dt $であるから
\begin{align*} J &= \int \frac{\log(1 + t)}{2it} dt \\ &= \frac{1}{2i} \int \frac{\log(1 + t)}{t} dt \\ &= \frac{1}{2i} \int -\frac{\log(1 - u)}{-u} du \ (t = -u) \\ &= \frac{1}{2i} \int \frac{\log(1 - u)}{u} du \\ &= -\frac{1}{2i} \operatorname{Li}_2(u) + C \\ &= \frac{1}{2}i \operatorname{Li}_2\left(-e^{-2ix}\right) + C \end{align*}
よって
$$ I = -\frac{i}{2} x^2 - x\log{2} + \frac{1}{2}i \operatorname{Li}_2\left(-e^{-2ix}\right) + C $$
余談
Wolfram|Alphaに\int \log{\cos{x}} dxと入力すると
$ \displaystyle \int \log{(\cos{(x)})} dx = \frac{1}{2}i \left( \operatorname{Li}_2\left(-e^{-2ix}\right) + x \left(x + 2i\log{(1 + e^{2ix})} - 2i\log{(\cos{(x)})} \right) \right) {\color{\gray}+\text{定数}} $
と表示されます。
ここで
\begin{align*}
&\ x + 2i\log{\left(1 + e^{2ix}\right)} - 2i\log{(\cos{(x)})} \\
=&\ x + 2i\log{\left(1 + e^{2ix}\right)} - 2i \log{\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}} \\
=&\ x + 2i\log{\left(1 + e^{2ix}\right)} - 2i \log{\left(\frac{e^{-ix}}{2}\left(1 + e^{2ix}\right)\right)} \\
=&\ x + 2i\log{\left(1 + e^{2ix}\right)} - 2i\log{\left(1 + e^{2ix}\right)} - 2i \log{\frac{e^{-ix}}{2}} \\
=&\ x - 2i \left(-ix - \log{2} \right) \\
=&\ {-x} + 2i \log{2}
\end{align*}
なので、最後の式に$ \frac{1}{2} i $を掛けることで上で得た式と等価であることがわかります。
結論
$ \cos{\log{x}} $の不定積分は初等関数で書けるが、$ \log{\cos{x}} $の不定積分は初等関数で書けない。
