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不足数(σ(n) < 2n)の十分条件

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$σ$ を約数関数，すなわち $σ (n) := n の約数の総和$ として， $σ (n) < 2 n$ となる自然数 $n$ のことを不足数と言います．
本記事ではこちらの論文によって示された不足数の十分条件について，証明がとても鮮やかで巧みだったため，ご紹介したいと思います．

有限個の自然数からなる集合 $S = {a_{1}, a_{2}, . . ., a_{N}}$ について， $S$ の空でない部分集合の和は全て異なる．
このとき， $\sum_{i = 1}^{N} \frac{1}{a_{i}} < 2$ となる．特に，自然数 $n$ の約数の集合を $D := {d_{1}, d_{2}, . . ., d_{N}}$ としたとき，
$\frac{σ (n)}{n} = \sum_{i = 1}^{N} \frac{1}{d_{i}}$ より， $D$ の空でない部分集合の和が全て異なるならば， $n$ は不足数となる．

例えば， $2^{N}$ の約数は $1, 2, 2^{2}, . . ., 2^{N}$ で，二進数の性質から，どのように組み合わせても和が異なります．そして実際， $1 + 2 + 2^{2} + . . . + 2^{N} = 2^{N + 1} - 1 < 2 \cdot 2^{N}$ より，不足数であることが分かります．

それでは定理1を証明していきましょう．

$x \in (0, 1)$ とする．
多項式 $\prod_{i = 1}^{N} (1 + x^{a_{i}})$ の $x^{n}$ の係数は， $S$ の空でない部分集合で，和が $n$ となるものの個数を表す．
今， $S$ の空でない部分集合の和は全て異なるため， $x^{n}$ の係数は $1$ 以下となる．よって，
$\begin{aligned} \prod_{i = 1}^{N} (1 + x^{a_{i}}) & < \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}, \end{aligned}$ となる．両辺自然対数を取り，

$\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{N} \log (1 + x^{a_{i}}) & < - \log (1 - x) . \end{aligned}$
さらに両辺 $x$ で割り， $(0, 1)$ 区間で積分すると，
$\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{N} \int_{0}^{1} \frac{\log (1 + x^{a_{i}})}{x} d x & < - \int_{0}^{1} \frac{\log (1 - x)}{x} d x . \end{aligned}$
左辺の各項について， $x^{a_{i}} = y$ とおけば，
$\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{N} \frac{1}{a_{i}} \int_{0}^{1} \frac{\log (1 + y)}{y} d y & < - \int_{0}^{1} \frac{\log (1 - x)}{x} d x . \end{aligned}$
$\int_{0}^{1} \frac{\log (1 + y)}{y} d y = \frac{π^{2}}{12},$ $- \int_{0}^{1} \frac{\log (1 - x)}{x} d x = \frac{π^{2}}{6}$ より，