不足数(σ(n) < 2n)の十分条件
$\sigma$を約数関数，すなわち$\sigma(n):=n\mbox{の約数の総和}$として，$\sigma(n) < 2n$となる自然数$n$のことを不足数と言います．
本記事では
こちら
の論文によって示された不足数の十分条件について，証明がとても鮮やかで巧みだったため，ご紹介したいと思います ．
有限個の自然数からなる集合$S=\{a_1, a_2,...,a_N\}$について，$S$の空でない部分集合の和は全て異なる．
このとき，$$\sum_{i=1}^N \frac{1}{a_i} < 2 $$となる．特に，自然数$n$の約数の集合を$D:=\{d_1,d_2,...,d_N\}$としたとき，
$\displaystyle \frac{\sigma(n)}{n} = \sum_{i=1}^N \frac{1}{d_i}$より，$D$の空でない部分集合の和が全て異なるならば，$n$は不足数となる．
例えば，$2^N$の約数は$1,2,2^2,...,2^N$で，二進数の性質から，どのように組み合わせても和が異なります．そして実際，$1+2+2^2+...+2^N = 2^{N+1} - 1 < 2\cdot 2^N$より，不足数であることが分かります．
それでは定理1を証明していきましょう．
$x \in (0,1)$とする．
多項式$\displaystyle \prod_{i=1}^N (1+x^{a_i})$の$x^n$の係数は，$S$の空でない部分集合で，和が$n$となるものの個数を表す．
今，$S$の空でない部分集合の和は全て異なるため，$x^n$の係数は$1$以下となる．よって，
\begin{align*}
\prod_{i=1}^N (1+x^{a_i}) &< \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x},
\end{align*}となる．両辺自然対数を取り，
\begin{align*}
\sum_{i=1}^N \log(1+x^{a_i}) &< -\log(1-x).
\end{align*}
さらに両辺$x$で割り，$(0,1)$区間で積分すると，
\begin{align*}
\sum_{i=1}^N \int_0^1 \frac{\log(1+x^{a_i})}{x}~dx &< -\int_0^1 \frac{\log(1-x)}{x}~dx.
\end{align*}
左辺の各項について，$x^{a_i} = y$とおけば，
\begin{align*}
\sum_{i=1}^N \frac{1}{a_i}\int_0^1 \frac{\log(1+y)}{y}~dy &< -\int_0^1 \frac{\log(1-x)}{x}~dx.
\end{align*}
$\displaystyle \int_0^1 \frac{\log(1+y)}{y}~dy = \frac{\pi^2}{12},$ $\displaystyle -\int_0^1 \frac{\log(1-x)}{x}~dx = \frac{\pi^2}{6}$より，
\begin{align*} \sum_{i=1}^N \frac{1}{a_i} &< 2, \end{align*}となる．
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