Well-poised q超幾何級数のq対称モーメント2
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で与えた多項式
\begin{align}
\hat{F}(x,w)&:=\frac{(wq-aq/b_1)\cdots(wq-aq/b_r)-(wq)^r(1-ax/b_1)\cdots(1-ax/b_r)}{1-wx}x\\
&\qquad-tq\frac{(wq-b_1)\cdots(wq-b_r)-(wq)^r(1-b_1x)\cdots(1-b_rx)}{1-wxq}x\\
&\qquad-tq\frac{(wq-b_1)\cdots(wq-b_r)-(ax-b_1)\cdots(ax-b_r)}{wq-ax}\\
&\qquad+\frac{(wq-aq/b_1)\cdots(wq-aq/b_r)-(axq-aq/b_1)\cdots(axq-aq/b_r)}{w-ax}
\end{align}
について考える. $q\to 1$の場合には$2x+a$で割り切れるので, $q$類似の場合も$1-ax^2$で割り切れればよいが, 実際にはそうなっていないという問題がある. まず, $x=a^{-\frac 12}$としてみると,
\begin{align}
\hat{F}(a^{-\frac 12},w)&:=\frac{(wq-aq/b_1)\cdots(wq-aq/b_r)-(wq)^r(1-a^{\frac 12}/b_1)\cdots(1-a^{\frac 12}/b_r)}{a^{\frac 12}-w}\\
&\qquad-tq\frac{(wq-b_1)\cdots(wq-b_r)-(wq)^r(1-a^{-\frac 12}b_1)\cdots(1-a^{-\frac 12}b_r)}{a^{\frac 12}-wq}\\
&\qquad-tq\frac{(wq-b_1)\cdots(wq-b_r)-(a^{\frac 12}-b_1)\cdots(a^{\frac 12}-b_r)}{wq-a^{\frac 12}}\\
&\qquad+\frac{(wq-aq/b_1)\cdots(wq-aq/b_r)-(a^{\frac 12}q-aq/b_1)\cdots(a^{\frac 12}q-aq/b_r)}{w-a^{\frac 12}}\\
&=\frac{(a^{\frac 12}q-aq/b_1)\cdots(a^{\frac 12}q-aq/b_r)-(wq)^r(1-a^{\frac 12}/b_1)\cdots(1-a^{\frac 12}/b_r)}{a^{\frac 12}-w}\\
&\qquad-tq\frac{(a^{\frac 12}-b_1)\cdots(a^{\frac 12}-b_r)-(wq)^r(1-a^{-\frac 12}b_1)\cdots(1-a^{-\frac 12}b_r)}{a^{\frac 12}-wq}\\
&=q^r\frac{a^\frac r2-w^r}{a^{\frac 12}-w}(1-a^{\frac 12}/b_1)\cdots(1-a^{\frac 12}/b_r)-tq\frac{a^{\frac r2}-(wq)^r}{a^{\frac 12}-wq}(1-a^{-\frac 12}b_1)\cdots(1-a^{-\frac 12}b_r)\\
&=\left(q^r\frac{a^\frac r2-w^r}{a^{\frac 12}-w}-(-1)^ra^{-\frac r2}b_1\cdots b_rtq\frac{a^{\frac r2}-(wq)^r}{a^{\frac 12}-wq}\right)(1-a^{\frac 12}/b_1)\cdots(1-a^{\frac 12}/b_r)
\end{align}
となり, これは一般に$0$にならない. そこで,
\begin{align}
c_n&:=\frac{(b_1,\dots,b_r;q)_n}{(aq/b_1,\dots,aq/b_r;q)_n}t^n,\qquad t:=\frac{(-1)^r(aq)^{\frac r2}}{b_1\cdots b_r}, b_1:=q
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}((1-aq^{n}/b_1)\cdots (1-aq^{n}/b_r)-t(1-b_1q^n)\cdots(1-b_rq^n))c_n\\
&=\sum_{0\leq n}\left(\frac{(b_1,\dots,b_r;q)_n}{(aq/b_1,\dots,aq/b_r;q)_{n-1}}t^n-\frac{(b_1,\dots,b_r;q)_{n+1}}{(aq/b_1,\dots,aq/b_r;q)_{n}}t^{n+1}\right)=0
\end{align}
となることに着目して, 多項式
\begin{align}
f(x):=(1-ax/b_1)\cdots (1-ax/b_r)-t(1-b_1x)\cdots(1-b_rx)
\end{align}
を考える. $x=a^{-\frac 12}$とすると,
\begin{align}
&f(a^{-\frac12}):=(1-a^{\frac 12}/b_1)\cdots (1-a^{\frac 12}/b_r)-t(1-a^{-\frac 12}b_1)\cdots(1-a^{-\frac 12}b_r)\\
&=(1-(-1)^ra^{-\frac r2}b_1\cdots b_rt)(1-a^{\frac 12}/b_1)\cdots (1-a^{\frac 12}/b_r)\\
&=(1-q^{\frac r2})(1-a^{\frac 12}/b_1)\cdots (1-a^{\frac 12}/b_r)
\end{align}
となる. よって, この場合
\begin{align}
F(x,w)-\frac{1}{1-q^{\frac r2}}\left(q^r\frac{a^\frac r2-w^r}{a^{\frac 12}-w}-q^{\frac r2+1}\frac{a^{\frac r2}-(wq)^r}{a^{\frac 12}-wq}\right)f(x)
\end{align}
は$1-a^{\frac 12}x$で割り切れる. しかし, これは一般に$1+a^{\frac 12}x$では割り切れない. $r=2$の場合にはこれで上手くいくが, 一般の場合には上手くいっていない. 例えば$r=4$のとき, 現れる無限和がvery-well-poised${}_6\phi_5$にならず, Rogersの和公式で総和できないので, 上手く計算できないように見える. Well-poised${}_4\phi_3$の$q$対称モーメントはそもそも上手く計算できない可能性を感じたので, $q\to 1$の場合などから数値的に推測してみることを試みた. その結果, 以下が成り立ちそうであることに気づいた.
\begin{align}
\hat{\mu}^a(w):=-\sum_{0\leq n}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq^2}{bcd}\right)^n\frac{1-aq^{2n}}{(1-wq^n)(1-aq^n/w)}
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
&\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_N}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_N}\left(\frac{aq^2}{bcd}\right)^{-N}\hat{\mu}^a(wq^N)\\
&=\hat{\mu}^a(w)+\frac wa\frac{(a,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq^2/bcd;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-wq^{2n+1}/a)(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_n}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_{n+1}}\left(\frac{bcd}{aq}\right)^{n+1}
\end{align}
が成り立つ.
先ほどの議論があまり上手くいかなかったのは, 何か見落としているものがあるからだと思っている. それを見つけることによって, よりシンプルに$q$対称モーメントを計算できるようになり, ${}_6\phi_5$の場合なども扱えるようになることを期待している.
