Well-poised q超幾何級数のq対称モーメント
前の二つの記事( q超幾何級数のqモーメント , q超幾何級数のqモーメント2 )において, 以下の結果を示した.
$b_r:=q$とする.
\begin{align}
c_n&:=\frac{(a_1,\dots,a_r;q)_n}{(b_1,\dots,b_r;q)_n}t^n\\
\mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{c_nt^n}{1-wq^n}
\end{align}
として, 多項式$p(w)$を
\begin{align}
p(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{(wq-b_1)\cdots(wq-b_r)-(wq)^r(1-b_1q^{n-1})\cdots(1-b_rq^{n-1})}{1-wq^n}c_n\\
&\qquad-\sum_{0\leq n}\frac{(wq-a_1)\cdots(wq-a_r)-(wq)^r(1-a_1q^{n-1})\cdots(1-a_rq^{n-1})}{1-wq^n}tc_{n-1}
\end{align}
とすると, $0\leq N$に対し,
\begin{align}
\mu(wq^N)&=\frac{(wq/b_1,\dots,wq/b_r;q)_N}{(wq/a_1,\dots,wq/a_r;q)_N}\left(\frac{b_1\cdots b_r}{a_1\cdots a_rt}\right)^N\\
&\qquad\cdot\left(\mu(w)-\frac{(-1)^r}{b_1\cdots b_r}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a_1,\dots,wq/a_r;q)_n}{(wq/b_1,\dots,wq/b_r;q)_{n+1}}\left(\frac{a_1\cdots a_rt}{b_1\cdots b_r}\right)^np(wq^n)\right)\\
\mu(wq^{-N})&=\frac{(a_1/w,\dots,a_r/w;q)_N}{(b_1/w,\dots,b_r/w;q)_N}t^N\left(\mu(w)+\frac 1{w^rt}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(b_1/w,\dots,b_r/w;q)_n}{(a_1/w,\dots,a_r/w;q)_{n+1}}\left(\frac{q^r}t\right)^np(wq^{-n-1})\right)
\end{align}
が成り立つ.
前の記事
で, well-poised${}_4F_3$超幾何級数に対して対称モーメントを計算したが, 今回はその$q$類似を示すことを目標にする. まず, 一般的な$q$対称モーメントがどのようなものかを推測することから考える.
前の記事
において, $q$対称モーメントの有限類似の例と言えるものを計算した. それは以下のようなものだった.
\begin{align}
\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq^2}{bcd}\right)^n\frac{1-aq^{2n}}{(1-aq^{n+N})(1-q^{n-N})}
\end{align}
これを無限和にしたものとして$q$対称モーメントを定義することを考えると, 数列$c_n$に対して$q$対称モーメントを
\begin{align}
\hat{\mu}^a(w)&=-\sum_{0\leq n}c_n\frac{1-aq^{2n}}{(1-wq^{n})(1-aq^{n}/w)}\\
&=-\sum_{0\leq n}c_n\left(\frac{wq^n}{1-wq^{n}}+\frac 1{1-aq^{n}/w}\right)\\
&=-w\tilde{\mu}(w)-\mu(a/w)
\end{align}
と定義する.
\begin{align}
\tilde{\mu}(w):=\sum_{0\leq n}\frac{c_nq^n}{1-wq^n}
\end{align}
である.
\begin{align}
c_n&=\frac{(b_1,\dots,b_r;q)_n}{(aq/b_1,\dots,aq/b_r;q)_n}t^n,\qquad b_r:=a
\end{align}
に対して命題1を用いると,
\begin{align}
\tilde{\mu}(wq^N)&=\frac{(b_1w/a,\dots,b_rw/a;q)_N}{(wq/b_1,\dots,wq/b_r;q)_N}\left(\frac{(aq)^r}{b_1^2\cdots b_r^2t}\right)^N\\
&\qquad\cdot\left(w\mu(w)-\frac{(-1)^rb_1\cdots b_rw}{(aq)^r}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/b_1,\dots,wq/b_r;q)_n}{(b_1w/a,\dots,b_rw/a;q)_{n+1}}\left(\frac{b_1^2\cdots b_r^2tq}{(aq)^r}\right)^n\tilde{p}(wq^n)\right)\\
\mu(aq^{-N}/w)&=\frac{(b_1w/a,\dots,b_rw/a;q)_N}{(wq/b_1,\dots,wq/b_r;q)_N}t^N\left(\mu(a/w)+\frac{w^r}{a^rt}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/b_1,\dots,wq/b_r;q)_n}{(b_1w/a,\dots,b_rw/a;q)_{n+1}}\left(\frac{q^r}t\right)^np(aq^{-n-1}/w)\right)
\end{align}
ここで,
\begin{align}
p(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{(wq-aq/b_1)\cdots(wq-aq/b_r)-(wq)^r(1-aq^{n}/b_1)\cdots(1-aq^{n}/b_r)}{1-wq^n}c_n\\
&\qquad-\sum_{0\leq n}\frac{(wq-b_1)\cdots(wq-b_r)-(wq)^r(1-b_1q^{n-1})\cdots(1-b_rq^{n-1})}{1-wq^n}tc_{n-1}\\
\tilde{p}(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{(wq-aq/b_1)\cdots(wq-aq/b_r)-(wq)^r(1-aq^{n}/b_1)\cdots(1-aq^{n}/b_r)}{1-wq^n}q^nc_n\\
&\qquad-\sum_{0\leq n}\frac{(wq-b_1)\cdots(wq-b_r)-(wq)^r(1-b_1q^{n-1})\cdots(1-b_rq^{n-1})}{1-wq^n}tq^nc_{n-1}
\end{align}
によって与えられる.
\begin{align}
\frac{(aq)^r}{b_1^2\cdots b_r^2t}=t
\end{align}
つまり,
\begin{align}
t=\pm \frac{(aq)^{\frac r2}}{b_1\cdots b_r}
\end{align}
と選ぶと,
\begin{align}
\hat{\mu}^a(wq^N)&=\frac{(b_1w/a,\dots,b_rw/a;q)_N}{(wq/b_1,\dots,wq/b_r;q)_N}t^N\\
&\qquad\cdot\left(\hat{\mu}^a(w)+\frac{(-1)^rb_1\cdots b_rw}{(aq)^r}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/b_1,\dots,wq/b_r;q)_n}{(b_1w/a,\dots,b_rw/a;q)_{n+1}}\left(\frac qt\right)^n\left(\tilde{p}(wq^n)+\frac{(-wq^n)^{r-1}q^{r}}{b_1\cdots b_rt}p(aq^{-n-1}/w)\right)\right)
\end{align}
となる. つまり, 以下を得る.
$b_r:=a$
\begin{align}
c_n&=\frac{(b_1,\dots,b_r;q)_n}{(aq/b_1,\dots,aq/b_r;q)_n}t^n\\
\hat{\mu}^a(w)&:=-\sum_{0\leq n}c_n\frac{1-aq^{2n}}{(1-wq^n)(1-aq^n/w)}\\
t&:=\pm \frac{(aq)^{\frac r2}}{b_1\cdots b_r}
\end{align}
とする. このとき,
\begin{align}
\hat{\mu}^a(wq^N)&=\frac{(b_1w/a,\dots,b_rw/a;q)_N}{(wq/b_1,\dots,wq/b_r;q)_N}t^N\\
&\qquad\cdot\left(\hat{\mu}^a(w)+\frac{(-1)^rb_1\cdots b_rw}{(aq)^r}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/b_1,\dots,wq/b_r;q)_n}{(b_1w/a,\dots,b_rw/a;q)_{n+1}}\left(\frac qt\right)^n\hat{p}(wq^n)\right)
\end{align}
を得る. ここで,
\begin{align}
p(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{(wq-aq/b_1)\cdots(wq-aq/b_r)-(wq)^r(1-aq^{n}/b_1)\cdots(1-aq^{n}/b_r)}{1-wq^n}c_n\\
&\qquad-\sum_{0\leq n}\frac{(wq-b_1)\cdots(wq-b_r)-(wq)^r(1-b_1q^{n-1})\cdots(1-b_rq^{n-1})}{1-wq^n}tc_{n-1}\\
\tilde{p}(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{(wq-aq/b_1)\cdots(wq-aq/b_r)-(wq)^r(1-aq^{n}/b_1)\cdots(1-aq^{n}/b_r)}{1-wq^n}q^nc_n\\
&\qquad-\sum_{0\leq n}\frac{(wq-b_1)\cdots(wq-b_r)-(wq)^r(1-b_1q^{n-1})\cdots(1-b_rq^{n-1})}{1-wq^n}tq^nc_{n-1}\\
\hat{p}(w)&:=\tilde{p}(w)+\frac{(-w)^{r-1}q^r}{b_1\cdots b_rt}p(a/wq)
\end{align}
によって定義される.
これによって問題は$\hat{p}(w)$の計算に帰着した. 上手く$\hat{p}(w)$を計算するための工夫を考える.
\begin{align}
\hat{p}(w)&=\sum_{0\leq n}\frac{(wq-aq/b_1)\cdots(wq-aq/b_r)-(wq)^r(1-aq^{n}/b_1)\cdots(1-aq^{n}/b_r)}{1-wq^n}q^nc_n\\
&\qquad-\sum_{0\leq n}\frac{(wq-b_1)\cdots(wq-b_r)-(wq)^r(1-b_1q^{n-1})\cdots(1-b_rq^{n-1})}{1-wq^n}tq^nc_{n-1}\\
&\qquad+\frac{(-w)^{r-1}q^r}{b_1\cdots b_rt}\sum_{0\leq n}\frac{(a/w-aq/b_1)\cdots(a/w-aq/b_r)-(a/w)^r(1-aq^{n}/b_1)\cdots(1-aq^{n}/b_r)}{1-aq^{n-1}/w}c_n\\
&\qquad-\frac{(-w)^{r-1}q^r}{b_1\cdots b_rt}\sum_{0\leq n}\frac{(a/w-b_1)\cdots(a/w-b_r)-(a/w)^r(1-b_1q^{n-1})\cdots(1-b_rq^{n-1})}{1-aq^{n-1}/w}tc_{n-1}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(wq-aq/b_1)\cdots(wq-aq/b_r)-(wq)^r(1-aq^{n}/b_1)\cdots(1-aq^{n}/b_r)}{1-wq^n}q^nc_n\\
&\qquad-t\sum_{0\leq n}\frac{(wq-b_1)\cdots(wq-b_r)-(wq)^r(1-b_1q^{n-1})\cdots(1-b_rq^{n-1})}{1-wq^n}q^nc_{n-1}\\
&\qquad+\frac{(-w)^{r-1}b_1\cdots b_r}{a^r}t\sum_{0\leq n}\frac{(a/w-aq/b_1)\cdots(a/w-aq/b_r)-(a/w)^r(1-aq^{n}/b_1)\cdots(1-aq^{n}/b_r)}{1-aq^{n-1}/w}c_n\\
&\qquad-\frac{(-w)^{r-1}q^r}{b_1\cdots b_r}\sum_{0\leq n}\frac{(a/w-b_1)\cdots(a/w-b_r)-(a/w)^r(1-b_1q^{n-1})\cdots(1-b_rq^{n-1})}{1-aq^{n-1}/w}c_{n-1}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(wq-aq/b_1)\cdots(wq-aq/b_r)-(wq)^r(1-aq^{n}/b_1)\cdots(1-aq^{n}/b_r)}{1-wq^n}q^nc_n\\
&\qquad-t\sum_{0\leq n}\frac{(wq-b_1)\cdots(wq-b_r)-(wq)^r(1-b_1q^{n})\cdots(1-b_rq^{n})}{1-wq^{n+1}}q^{n+1}c_{n}\\
&\qquad-t\sum_{0\leq n}\frac{(wq-b_1)\cdots(wq-b_r)-(aq^{n}-b_1)\cdots(aq^{n}-b_r)}{w-aq^{n-1}}c_n\\
&\qquad+\sum_{0\leq n}\frac{(wq-aq/b_1)\cdots(wq-aq/b_r)-(aq^{n+1}-aq/b_1)\cdots(aq^{n+1}-aq/b_r)}{w-aq^{n}}c_{n}\\
&=\sum_{0\leq n}\hat{F}(q^n,w)c_n
\end{align}
ここで,
\begin{align}
\hat{F}(x,w)&:=\frac{(wq-aq/b_1)\cdots(wq-aq/b_r)-(wq)^r(1-ax/b_1)\cdots(1-ax/b_r)}{1-wx}x\\
&\qquad-t\frac{(wq-b_1)\cdots(wq-b_r)-(wq)^r(1-b_1x)\cdots(1-b_rx)}{1-wxq}xq\\
&\qquad-tq\frac{(wq-b_1)\cdots(wq-b_r)-(ax-b_1)\cdots(ax-b_r)}{wq-ax}\\
&\qquad+\frac{(wq-aq/b_1)\cdots(wq-aq/b_r)-(axq-aq/b_1)\cdots(axq-aq/b_r)}{w-ax}
\end{align}
によって与えられる. ここまでに用いた方法は
前の記事
で用いたものと同様であるが, $r=2$の場合でも
\begin{align}
\hat{F}(x,w)&=\frac{wq^2}{b}(b-q-ax-bx+axq+bxq+ax^2-abx^2q)
\end{align}
となり, $1-ax^2$で割り切れるわけではないという問題があり, この表示から直接$r=4,6$の場合を計算することはそれほど容易ではないと思われる.
前の記事
で与えた$q\to 1$の場合のように, シンプルに計算できる方法を与えることが今後の研究課題である.
