Rogersの和公式から従うq対称モーメントについて

ここで, $w\mapsto wq^N$とすると,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(q,aq/b;q)_n}\left(\frac qb\right)^n\frac{1-aq^{2n}}{(1-wq^{N+n})(1-aq^{n-N}/w)}\\ &=\frac{(a,q,aq^{1-N}/bw,wq^{N+1}/b;q)_{\infty}}{(aq/b,q/b,wq^N,aq^{-N}/w;q)_{\infty}}\\ &=\frac{(a,q,aq/bw,wq/b;q)_{\infty}}{(aq/b,q/b,w,aq/w;q)_{\infty}}\frac{(w;q)_N(a/w;q)_{-N}}{(wq/b;q)_N(aq/bw;q)_{-N}}\\ &=\frac{(a,q,aq/bw,wq/b;q)_{\infty}}{(aq/b,q/b,w,aq/w;q)_{\infty}}\frac{(w,bw/a;q)_N}{(wq/a,wq/b;q)_N}\left(\frac qb\right)^N \end{align}
を得る. 左辺は
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(q,aq/b;q)_n}\left(\frac qb\right)^n\frac{1-aq^{2n}}{(1-wq^{N+n})(1-aq^{n-N}/w)}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(q,aq/b;q)_n}\left(\frac qb\right)^n\left(\frac{wq^{n+N}}{1-wq^{n+N}}+\frac 1{1-aq^{n-N}/w}\right) \end{align}
と表すことができる.

前の記事( q超幾何級数のqモーメント , q超幾何級数のqモーメント2 )で$q$モーメントに関するのある程度一般的な公式を得たので, そこからこれが得られるかを試してみようと思う. 前の記事 の定理3は
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\frac{t^n}{1-wq^{N+n}}\\ &=\frac{(wq/c,w;q)_N}{(wq/a,wq/b;q)_N}\left(\frac{cq}{abt}\right)^N\left(\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\frac{t^n}{1-wq^{n}}-\frac 1{cq}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a,wq/b;q)_n}{(wq/c,w;q)_{n+1}}\left(\frac{abt}{cq}\right)^np(wq^n)\right) \end{align}
と書ける. ここで,
\begin{align} p(w):=\sum_{0\leq n}(cq-tab+wq((c-tab)q^n+(a+b)t-c-q))\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}t^n \end{align}
である. $t=q^2/b, c=aq/b$とすると,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(aq/b,q;q)_n}\left(\frac qb\right)^n\frac{wq^{N+n}}{1-wq^{N+n}}\\ &=\frac{(bw/a,w;q)_N}{(wq/a,wq/b;q)_N}\left(\frac qb\right)^N\left(\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(aq/b,q;q)_n}\left(\frac qb\right)^n\frac{wq^n}{1-wq^{n}}-\frac {bw}{aq^2}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a,wq/b;q)_n}{(bw/a,w;q)_{n+1}}\left(\frac 1b\right)^np(wq^n)\right) \end{align}
を得る. ここで,
\begin{align} p(w):=\sum_{0\leq n}(aq^2/b-aq^2+wq((aq/b-aq^2)q^n+(a+b)q^2/b-aq/b-q))\frac{(a,b;q)_n}{(aq/b,q;q)_n}\left(\frac{q^2}b\right)^n \end{align}
一方, 前の記事 の定理3は
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\frac{t^n}{1-wq^{n-N}}\\ &=\frac{(a/w,b/w;q)_N}{(c/w,q/w;q)_N}t^N\left(\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\frac{t^n}{1-wq^{n}}+\frac 1{w^2t}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(c/w,q/w;q)_n}{(a/w,b/w;q)_{n+1}}\left(\frac{q^2}t\right)^n\tilde p(wq^{-n-1})\right) \end{align}
と表される. ここで,
\begin{align} \tilde p(w):=\sum_{0\leq n}(cq-tab+wq((c-tab)q^n+(a+b)t-c-q))\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}t^n \end{align}
である. $w\mapsto a/w, t=q/b,c=aq/b$とすると,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(aq/b,q;q)_n}\left(\frac qb\right)^n\frac{1}{1-aq^{n-N}/w}\\ &=\frac{(bw/a,w;q)_N}{(wq/a,wq/b;q)_N}\left(\frac qb\right)^N\left(\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(aq/b,q;q)_n}\left(\frac qb\right)^n\frac{1}{1-aq^{n}/w}+\frac {bw^2}{a^2q}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a,wq/b;q)_n}{(w,bw/a;q)_{n+1}}\left(bq\right)^n\tilde p(aq^{-n-1}/w)\right) \end{align}
ここで,
\begin{align} \tilde p(w):=\sum_{0\leq n}(aq^2/b-aq+wq(aq/b-aq)q^n)\frac{(a,b;q)_n}{(aq/b,q;q)_n}\left(\frac qb\right)^n \end{align}
である. これを先ほどの式と足し合わせると,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(aq/b,q;q)_n}\left(\frac qb\right)^n\frac{1-aq^{2n}}{(1-wq^{N+n})(1-aq^{n-N}/w)}\\ &=\frac{(bw/a,w;q)_N}{(wq/a,wq/b;q)_N}\left(\frac qb\right)^N\left(\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(aq/b,q;q)_n}\left(\frac qb\right)^n\frac{1-aq^{2n}}{(1-wq^{n})(1-aq^n/w)}-\frac {bw}{aq^2}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a,wq/b;q)_n}{(bw/a,w;q)_{n+1}}\left(\frac 1b\right)^n\left(p(wq^n)-wq^{n+1}\tilde p(aq^{-n-1}/w)/a\right)\right) \end{align}
と表される. ここで,
\begin{align} &p(w)-wq\tilde p(a/wq)/a\\ &=\sum_{0\leq n}(aq^2/b-aq^2+wq((aq/b-aq^2)q^n+(a+b)q^2/b-aq/b-q))\frac{(a,b;q)_n}{(aq/b,q;q)_n}\left(\frac{q^2}b\right)^n\\ &\qquad-\sum_{0\leq n}(wq(q^2/b-q)+q(aq/b-aq)q^n)\frac{(a,b;q)_n}{(aq/b,q;q)_n}\left(\frac qb\right)^n\\ &=wq^2\sum_{0\leq n}((a/b-aq)q^{2n}+((a+b)q/b-a/b-1)q^n-q/b+1)\frac{(a,b;q)_n}{(aq/b,q;q)_n}\left(\frac{q}b\right)^n\\ &=wq^2\sum_{0\leq n}((1-q^n)(1-aq^n/b)-q(1-aq^n)(1-bq^n)/b)\frac{(a,b;q)_n}{(aq/b,q;q)_n}\left(\frac{q}b\right)^n\\ &=wq^2\sum_{0\leq n}\left(\frac{(a,b;q)_n}{(aq/b,q;q)_{n-1}}\left(\frac{q}b\right)^n-\frac{(a,b;q)_{n+1}}{(aq/b,q;q)_n}\left(\frac{q}b\right)^{n+1}\right)\\ &=0 \end{align}
となるので,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(aq/b,q;q)_n}\left(\frac qb\right)^n\frac{1-aq^{2n}}{(1-wq^{N+n})(1-aq^{n-N}/w)}\\ &=\frac{(bw/a,w;q)_N}{(wq/a,wq/b;q)_N}\left(\frac qb\right)^N\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(aq/b,q;q)_n}\left(\frac qb\right)^n\frac{1-aq^{2n}}{(1-wq^{n})(1-aq^n/w)} \end{align}
を得ることができる. 一方で,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(aq/b,q;q)_n}\left(\frac qb\right)^n\frac{1-aq^{2n}}{(1-wq^{n})(1-aq^n/w)} \end{align}
の積表示まではこの方法では得られないようである.