Watsonの8φ7変換公式から得られるq有限対称モーメント
Watsonの${}_8\phi_7$変換公式
\begin{align}
&\sum_{n=0}^N\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,e,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{N+1};q)_n}\left(\frac{a^2q^{N+2}}{bcde}\right)^n\\
&=\frac{(aq,aq/de;q)_N}{(aq/d,aq/e;q)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(aq/bc,d,e,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,deq^{-N}/a;q)_n}q^n
\end{align}
を
\begin{align}
&\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,e,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{N+1};q)_n}\left(\frac{a^2q^{N+2}}{bcde}\right)^n\\
&=\frac{(aq,aq/de;q)_N}{(aq/d,aq/e;q)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(aq/bc,d,e,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,deq^{-N}/a;q)_n}q^n\\
&\qquad-\frac{1-aq^{2N}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,e,q^{-N};q)_N}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{N+1};q)_N}\left(\frac{a^2q^{N+2}}{bcde}\right)^N
\end{align}
と書き換えて, $e\mapsto aq^N$とすると,
\begin{align}
&\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\frac{(1-aq^N)(1-q^{-N})}{(1-aq^{n+N})(1-q^{n-N})}\left(\frac{aq^{2}}{bcd}\right)^n\\
&=\frac{aq^N}{(q^{1-N};q)_{N-1}}\lim_{e\to aq^N}\frac{\partial}{\partial e}\frac{(aq,aq/de;q)_N}{(aq/d;q)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(aq/bc,d,e,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,deq^{-N}/a;q)_n}q^n\\
&\qquad-\frac{1-aq^{2N}}{1-a}\frac{aq^N}{(q^{1-N};q)_{N-1}}\lim_{e\to aq^N}\frac{\partial}{\partial e}\frac{(a,b,c,d,e,q^{-N};q)_N}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq^{N+1};q)_N}\left(\frac{a^2q^{N+2}}{bcde}\right)^N\\
&=\frac{aq^N(aq,q^{1-N}/d;q)_N}{(q^{1-N};q)_{N-1}(aq/d;q)_N}\\
&\qquad\cdot\lim_{e\to aq^N}\sum_{n=0}^N\frac{(aq/bc,d,e,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,deq^{-N}/a;q)_n}q^n\left(\sum_{k=1}^{N}\frac{\frac{aq^k}{de^2}}{1-\frac{aq^k}{de}}-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{q^k}{1-eq^k}+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\frac{dq^{k-N}}a}{1-\frac{deq^{k-N}}a}\right)\\
&\qquad-\frac{1-aq^{2N}}{1-a}\frac{aq^N}{(q^{1-N};q)_{N-1}}\lim_{e\to aq^N}\frac{(a,b,c,d,e,q^{-N};q)_N}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq^{N+1};q)_N}\left(\frac{a^2q^{N+2}}{bcde}\right)^N\left(-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{q^n}{1-eq^n}-\frac{N}e\right)\\
&=\frac{(aq;q)_N(q^{1-N}/d;q)_N}{(q^{1-N};q)_{N-1}(aq/d;q)_N}\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^N\frac{(aq/bc,aq^N,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c;q)_n}q^n\left(\sum_{k=1}^{N}\frac{q^{k-N}}{d-q^{k-N}}-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{aq^{N+k}}{1-aq^{N+k}}+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{dq^k}{1-dq^{k}}\right)\\
&\qquad-\frac{1-aq^{2N}}{1-a}\frac{1}{(q^{1-N};q)_{N-1}}\frac{(a,b,c,d,aq^N,q^{-N};q)_N}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq^{N+1};q)_N}\left(\frac{aq^{2}}{bcd}\right)^N\left(-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{aq^{N+n}}{1-aq^{N+n}}-N\right)\\
&=-\frac{(aq,d;q)_N}{(q;q)_{N-1}(aq/d;q)_Nd^N}\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^N\frac{(aq/bc,aq^N,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c;q)_n}q^n\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{dq^k}{1-dq^{k}}-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{aq^{N+k}}{1-aq^{N+k}}-\sum_{k=0}^{N-1}\frac{1}{1-dq^k}\right)\\
&\qquad-\frac{(aq,b,c,d;q)_N}{(q;q)_{N-1}(aq/b,aq/c,aq/d;q)_N}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^N\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1}{1-aq^{N+n}}\\
&=\frac{(aq,d;q)_N}{(q;q)_{N-1}(aq/d;q)_Nd^N}\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^N\frac{(aq/bc,aq^N,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c;q)_n}q^n\left(\sum_{k=0}^{N-1}\frac{1}{1-dq^k}+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{aq^{N+k}}{1-aq^{N+k}}-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{dq^k}{1-dq^{k}}\right)\\
&\qquad-\frac{(aq,b,c,d;q)_N}{(q;q)_{N-1}(aq/b,aq/c,aq/d;q)_N}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^N\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1}{1-aq^{N+n}}
\end{align}
を得る. また,
$q$-Saalschützの和公式
より,
\begin{align}
\sum_{n=0}^N\frac{(aq/bc,aq^N,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c;q)_n}q^n&=\frac{(b,c;q)_N}{(aq/b,aq/c;q)_N}\left(\frac{aq}{bc}\right)^N
\end{align}
である. よって, これを用いて整理すると以下が得られる.
\begin{align} &\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq^{2}}{bcd}\right)^n\frac{1-aq^{2n}}{(1-aq^{n+N})(1-q^{n-N})}\\ &=\frac{(a,d;q)_N}{(q,aq/d;q)_N}\left(\frac qd\right)^N\sum_{n=0}^N\frac{(aq/bc,aq^N,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c;q)_n}q^n\sum_{k=n}^{N-1}\left(\frac{1}{1-aq^{N+k}}-\frac 1{1-dq^k}\right) \end{align}
左辺は
\begin{align}
\frac{1-aq^{2n}}{(1-aq^{n+N})(1-q^{n-N})}&=\frac 1{1-aq^{n+N}}-\frac 1{1-q^{N-n}}
\end{align}
と書き換えられる. 定理1に現れるようなものは
対称モーメント
の$q$類似の有限和類似であるから, $q$有限対称モーメントということにする. 定理1において$d\to\infty$や$b,c\to\infty$とすると以下の系を得る.
\begin{align} &\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(-1)^nq^{\binom{n+1}2}(a,b,c;q)_n}{(q,aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\frac{1-aq^{2n}}{(1-aq^{n+N})(1-q^{n-N})}\\ &=\frac{(-1)^Nq^{\binom{N+1}2}(a;q)_N}{(q;q)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(aq/bc,aq^N,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c;q)_n}q^n\sum_{k=n}^{N-1}\frac{1}{1-aq^{N+k}}\\ &\sum_{n=0}^{N-1}\frac{q^{n^2}(a,b;q)_n}{(q,aq/b;q)_n}\left(\frac{aq}{b}\right)^n\frac{1-aq^{2n}}{(1-aq^{n+N})(1-q^{n-N})}\\ &=\frac{(-1)^Nq^{\binom{N+1}2}(a;q)_N}{(q;q)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(aq^N,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b;q)_n}q^n\sum_{k=n}^{N-1}\frac{1}{1-aq^{N+k}}\\ &\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(-1)^nq^{\binom{n+1}2}(a,c,d;q)_n}{(q,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq}{cd}\right)^n\frac{1-aq^{2n}}{(1-aq^{n+N})(1-q^{n-N})}\\ &=\frac{(a,d;q)_N}{(q,aq/d;q)_N}\left(\frac qd\right)^N\sum_{n=0}^N\frac{(aq^N,q^{-N};q)_n}{(q,aq/c;q)_n}q^n\sum_{k=n}^{N-1}\left(\frac{1}{1-aq^{N+k}}-\frac 1{1-dq^k}\right)\\ &\sum_{n=0}^{N-1}\frac{q^{n^2}(a,d;q)_n}{(q,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq}{d}\right)^n\frac{1-aq^{2n}}{(1-aq^{n+N})(1-q^{n-N})}\\ &=\frac{(a,d;q)_N}{(q,aq/d;q)_N}\left(\frac qd\right)^N\sum_{n=0}^N\frac{(aq^N,q^{-N};q)_n}{(q;q)_n}q^n\sum_{k=n}^{N-1}\left(\frac{1}{1-aq^{N+k}}-\frac 1{1-dq^k}\right) \end{align}
定理1において$c=aq/b$とすると以下の系を得る.
\begin{align} &\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(a,d;q)_n}{(q,aq/d;q)_n}\left(\frac{q}{d}\right)^n\frac{1-aq^{2n}}{(1-aq^{n+N})(1-q^{n-N})}\\ &=\frac{(a,d;q)_N}{(q,aq/d;q)_N}\left(\frac qd\right)^N\sum_{k=0}^{N-1}\left(\frac{1}{1-aq^{N+k}}-\frac 1{1-dq^k}\right) \end{align}
これはWell-poised${}_2\phi_1$の$q$有限対称モーメントの例になっている.
定理1の導出においてWatsonの${}_8\phi_7$変換公式を用いたが, 次は
Jacksonの${}_8\phi_7$和公式
\begin{align}
&\sum_{n=0}^N\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,a^2q^{N+1}/bcd,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,bcdq^{-N}/a,aq^{N+1};q)_n}q^n\\
&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_N}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q)_N}
\end{align}
で同様のことを試してみる.
\begin{align}
&\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,a^2q^{N+1}/bcd,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,bcdq^{-N}/a,aq^{N+1};q)_n}q^n\\
&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_N}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q)_N}-\frac{1-aq^{2N}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,a^2q^{N+1}/bcd,q^{-N};q)_N}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,bcdq^{-N}/a,aq^{N+1};q)_N}q^N\\
&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_N}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q)_N}-\frac{1-aq^{2N}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,a^2q^{N+1}/bcd;q)_N}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd,aq^{N+1};q)_N}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^N\\
\end{align}
$t:=aq/bcd$として$t\to 1$とすると,
\begin{align}
&\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\frac{(1-aq^N)(1-q^{-N})}{(1-aq^{N+n})(1-q^{n-N})}q^n\\
&=-\frac 1{(q;q)_{N-1}(bc;q)_N}\lim_{t\to 1}\frac{\partial}{\partial t}\frac{(aq,aq/bc,bt,ct;q)_N}{(aq/b,aq/c;q)_N}\\
&\qquad+\frac 1{(q;q)_{N-1}(bc;q)_N}\lim_{t\to1}\frac{\partial}{\partial t}\frac{1-aq^{2N}}{1-a}\frac{(a,b,c,aq/bct,atq^{N};q)_N}{(aq/b,aq/c,aq^{N+1};q)_N}t^N\\
&=\frac{(aq,aq/bc,b,c;q)_N}{(q;q)_{N-1}(bc,aq/b,aq/c;q)_N}\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac{bq^n}{1-bq^n}+\frac{cq^n}{1-cq^n}\right)\\
&\qquad+\frac{1-aq^{2N}}{1-a}\frac{(a,b,c,aq/bc,aq^{N};q)_N}{(q;q)_{N-1}(aq/b,aq/c,bc,aq^{N+1};q)_N}\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac 1{1-\frac{aq^{n+1}}{bc}}-\frac{aq^{N+n}}{1-aq^{N+n}}\right)\\
&=\frac{(aq,b,c,d;q)_N}{(q;q)_{N-1}(aq/b,aq/c,aq/d;q)_N}\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac{bq^n}{1-bq^n}+\frac{cq^n}{1-cq^n}+\frac 1{1-dq^n}-\frac{aq^{N+n}}{1-aq^{N+n}}\right)
\end{align}
よって以下を得る.
$aq/bcd=1$のとき,
\begin{align}
&\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}q^n\frac{1-aq^{2n}}{(1-aq^{N+n})(1-q^{n-N})}\\
&=\frac{(a,b,c,d;q)_N}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_N}q^N\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac{aq^{N+n}}{1-aq^{N+n}}-\frac{bq^n}{1-bq^n}-\frac{cq^n}{1-cq^n}-\frac{dq^n}{1-dq^n}-1\right)
\end{align}
が成り立つ.
古典極限
定理1, 定理2の古典極限は以下のようになる.
\begin{align}
&\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(a,b,c,d)_n}{n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}\frac{a+2n}{(N+n+a)(n-N)}\\
&=\frac{(a,d)_N}{N!(1+a-d)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(1+a-b-c,a+N,-N)_n}{n!(1+a-b,1+a-c)_n}\sum_{k=n}^{N-1}\left(\frac{1}{N+k+a}-\frac 1{d+k}\right)
\end{align}
特に, $1+a-b-c-d=0$のとき,
\begin{align}
&\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(a,b,c,d)_n}{n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}\frac{a+2n}{(N+n+a)(n-N)}\\
&=\frac{(a,b,c,d)_N}{N!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_N}\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac 1{N+n+a}-\frac 1{b+n}-\frac 1{c+n}-\frac 1{d+n}\right)
\end{align}
が成り立つ.
例として, $a=b=c=d=\frac 12$のとき, $1+a-b-c-d=0$であるから
\begin{align}
\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\left(\frac 12\right)_n^4}{n!^4}\frac{2n+\frac 12}{\left(N+n+\frac 12\right)(n-N)}&=\frac{\left(\frac 12\right)_N^4}{N!^4}\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac 1{N+n+\frac 12}-\frac{3}{n+\frac 12}\right)
\end{align}
が得られる. ${}_4F_3$の有限対称モーメントがこれほどシンプルな形にまとまるのはかなり興味深いと思う.
