ルベーグ積分 (テレンス・タオ) 第1.1章　ジョルダン測度

$E$の分割が$(B_i)_{1 \leq i\leq n}$, $(B'_i)_{1 \leq i\leq m}$と二通りあるとする. $|B_1| + \cdots + |B_n|=|B'_1| + \cdots + |B'_m|$を示したい. それぞれの直方体 $B_1, \cdots, B_n, B'_1 \cdots , B'_m$の辺の端点を全て集めて, それらの点で格子を作る. その格子のうち, $E$に含まれているものだけを取り出し, それらを$(A_i)_{1 \leq i\leq l}$とする. (説明は言葉足らずですので, 下の図1をご覧ください. ) 各$A_i$は直方体になっており, $(A_i)_{1 \leq i\leq l}$の分割になっていることに注意する. この分割で測った基本測度は, $\sum_{i =1}^l |A_i|$である.
一方で, $B_1, \cdots, B_n$はそれぞれ$A_1, \cdots, A_l$の中のいくつかの和集合でかける. さらに各$A_i$は必ず$B_1, \cdots, B_n$のどれか一つに含まれる. このことから, $|B_1| + \cdots + |B_n|=\sum_{i =1}^l |A_i|$が分かる. 同様に, $|B'_1| + \cdots + |B'_m|=\sum_{i =1}^l |A_i|$も分かり, $|B_1| + \cdots + |B_n|=|B'_1| + \cdots + |B'_m|$が示された.
$(B_i)_{1 \leq i\leq n}$, $(B'_i)_{1 \leq i\leq m}$から$(A_i)_{1 \leq i\leq l}$を作ることを説明する図

1. $c:=m'((0,1]^d)$と定義する. 非負性より, $c \geq 0$である. まずは任意の$d$個の実数$x_1\cdots x_d$について, $m'((0,x_1]\times \cdots \times (0,x_d]) = c x_1\cdots x_d$を示す. いきなり実数について考えるのは難しいので, [自然数の逆数]→[有理数]→[実数]というように順番に示していく.
   [自然数の逆数]: 任意の自然数$n$に対して, $m'((0,1/n]^d) = c (1/n)^d$となることを示す. 一辺の長さが$1$の立方体を$n^d$個の一辺の長さが$1/n$の立方体に分割するのである. そうすると有限加法性よりそれぞれの小さい立方体の測度の和が全体の立方体の測度に等しいことが分かり(小さな立方体は有限個しかない!), 平行移動不変性からそれぞれの小さな立方体の測度は互いに等しいことがわかる. つまり,
   \begin{align} c = m'((0,1]^d) &= m' \Big(\sum_{0 \leq k_i \leq n-1, i = 1, \cdots, d}\big(\frac{k_1}{n}, \frac{k_1+1}{n}\big]\times \cdots \times \big(\frac{k_d}{n}, \frac{k_d+1}{n}\big]\Big)\\ & = \sum m'\Big(\frac{k_1}{n}, \frac{k_1+1}{n}\big]\times \cdots \times \big(\frac{k_d}{n}, \frac{k_d+1}{n}\big]\Big) \ (\because \text{有限加法性})\\ & = \sum m' \big((0,1/n]^d\big)\ (\because \text{平行移動不変性})\\ & = n^d m' \big((0,1/n]^d\big) \end{align}
   これで, $m'((0,1/n]^d) = c (1/n)^d$を得た.
   [有理数]: $q_1\cdots q_d$を任意の有理数として, $m'\Big((0,q_1]\times \cdots \times (0,q_d]\Big)=c q_1 \cdots q_d$を示したい. 有理数の定義から, 自然数の組$m_1, \cdots, m_d, n$が存在して, $q_i = m_i/n$とできる. $m'\Big((0,m_1/n]\times \cdots \times (0,m_d/n]\Big) = (m_1\cdots m_d) \cdot m'((0,1/n]^d)$ を示せばよい. そうすると, $$m'\Big((0,q_1]\times \cdots \times (0,q_d]\Big)=m'\Big((0,m_1/n]\times \cdots \times (0,m_d/n]\Big) = (m_1\cdots m_d) c n^{-d}= c q_1 \cdots q_d$$が分かる. これは上の議論と全く同じようにできる(一辺の長さが$q_1, \cdots ,q_d$の直方体を$m_1\cdots m_d$個の一辺の長さが$1/n$の立方体に分割する).
   [実数]: 一辺の長さが有理数の直方体で近似する. $x_1, \cdots x_d$を任意の実数とする. $d$個の有理数の列$(q^{(i)}_n)_n \ (i = 1, \cdots ,d)$ で各$(q^{(i)}_n)_n$が$x_i$に上から収束するものを取る. このような列の存在は有理数の稠密性によって保証される. 有限加法性と前段の結果から,
   \begin{align} m'((0,x_1]\times \cdots \times (0,x_d]) \leq m'((0,q_n^{(1)}]\times \cdots \times (0,q_n^{(d)}]) = c q_n^{(1)}\cdots q_n^{(d)} \end{align}
   よって, $n \rightarrow \infty$として,
   \begin{align} m'((0,x_1]\times \cdots \times (0,x_d]) \leq c x_1 \cdots x_d \end{align}
   を得る. 同様に下から$x_1, \cdots, x_d$に収束する$d$個の有理数の列を取ることで逆向きの不等式が得られるので, $m'((0,x_1]\times \cdots \times (0,x_d]) = c x_1 \cdots x_d$が示された.
2. 1の結果と平行移動不変性から, 任意の直方体$B = I_1 \times \cdots \times I_d$について, $m'(B) = c |I_1|\cdots |I_d|$が示された. $E$を任意の基本集合とし, $B_1, \cdots ,B_n$をその分割の一つとする. このとき,
   \begin{align} m(E) = \sum_{i=1}^n m(B_i) = \sum_{i=1}^n |I_1^{(i)}|\cdots |I_d^{(i)}| = c^{-1}\sum_{i=1}^n c|I_1^{(i)}|\cdots |I_d^{(i)}| = c^{-1} \sum_{i=1}^n m'(B_i) = c^{-1}m'(E) \end{align}
   となり, 示された. 最後の等号は$m'$の有限加法性によって得られることに注意する.
3. これまでは, 直方体の辺を構成する区間が左開きの半開区間であるケースのみを考えたが, その他のケースも全く同様である. そのためには, 一点集合の$m'$の値が$0$であることを示せばよい. これは次のようにして分かる.　$a_1, a_2, \cdots$を$[0,1]^d$に属する相異なる可算無限個の点とする. 任意の自然数$n$に対して, 有限加法性より, $m'([0,1]^d) \geq m'(\{a_1, \cdots a_n\})=\delta n$. ただしここで, $\delta = m(\{0\})$であり, 最後の等号は平行移動不変性から従う. しかし, $n$は任意であり, また仮定より$m'([0,1])<\infty$ なので, $\delta=0$が成立する. よって, 再び平行移動不変性から, 一点集合の$m'$の値が$0$である.

$E_1$と$E_2$は基本集合であるので, $E_1 = \bigcup_{i=1}^{n_1} B_i$, $E_2 = \bigcup_{j=1}^{n_2} C_j$と書ける. ただしここで, $B_i \ (i = 1 , \cdots, n_1)$, $C_j \ (j = 1 , \cdots, n_2)$は直方体で, 分割になっているとする(分割の存在は補題1.1.2.で保証されている). つまり, 各$B_i\times C_j$は互いに素である. このとき次に注意する:
\begin{align} x \in E_1 \times E_2 &\iff x= \exists ( x_1, x_2) \ \text{s.t.} \ x_1 \in E_1, x_2 \in E_2\\ & \iff x= \exists ( x_1, x_2) \ \text{s.t.} \ x_1 \in B_i, x_2 \in C_j \ \text{となる} \ i, j \ \text{が存在}\\ & \iff x \in \bigcup_{i = 1, \cdots n_1, .j = 1, \cdots n_2} B_i \times C_j \end{align}
つまり, $E_1 \times E_2 = \bigcup_{i = 1, \cdots n_1, j = 1, \cdots n_2} B_i \times C_j$. したがって, $E_1 \times E_2 $もまた基本集合. さらに,
\begin{align} m^{d_1+d_2}(E_1 \times E_2 ) &= \sum_{i = 1, \cdots n_1, j = 1, \cdots n_2} m^{d_1\times d_2} (B_i \times C_j) \\ &= \sum_{i = 1, \cdots n_1, j = 1, \cdots n_2} |B_i| |C_i|\\ &= \sum_{i = 1, \cdots n_1} \sum_{j = 1, \cdots n_2}|B_i| |C_i|\\ &= \sum_{i = 1, \cdots n_1}|B_i| \sum_{j = 1, \cdots n_2} |C_i| = m^{d_1}(E_1)m^{d_2}(E_2) \end{align}
が分かる. 最初の等号を得るためには, 各$B_i\times C_j$が互いに素であることと有限加法性を用いた.

• [(1)⇒(2)] $\varepsilon>0$ を固定する. $E$がジョルダン可測であるので, $m(E)-\varepsilon/2< m(A)$となる基本集合$A \supset E$が取れる. 同様に, $m(E)+\varepsilon/2 >m(B)$なる$B \subset E$が取れる. よって, $m(B \setminus A) = m(B)-m(A) = (m(B)-m(E))-(m(E)-m(A))< \varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$. 一つ目の等号には基本測度の有限加法性を用いた.
• [(2)⇒(1)] ジョルダン可測性の定義により, $$\inf_{B \supset E, B:基本集合}m(B) = \sup_{A \subset E, A:基本集合}m(A)$$
  を示せばよい. 基本測度の単調性と包含関係$A \subset E \subset B$より, $''\geq''$は明らかであるので, $''\leq''$を示す. したがって, $\sup$の定義に基づいて考えると, 任意の$\varepsilon>0$に対して, 次を満たす基本集合$A \subset E$が存在することを示せばよい.
  $$ \inf_{B \supset E, B:基本集合}m(B) \leq m(A)+ \varepsilon.$$
  更に$\inf$の定義に基づいて考えると, 任意の$\varepsilon, \varepsilon'>0$に対して, 次を満たす基本集合$A,B$で$A \subset E \subset B$を満たすものが存在することを示せばよい.
  $$ m(B)-\varepsilon' \leq m(A)+ \varepsilon$$
  $\varepsilon, \varepsilon'>0$は任意であるので, この不等式が成立することは(2)によって保証される.
• [(2)⇒(3)] $\varepsilon>0$ を固定する. (2)より, $m(B \setminus A)\leq \varepsilon$なる基本集合$A, B$で$A \subset E \subset B$となるものが取れる. $B \setminus A$が基本集合であり, $A \Delta E = E \setminus A \subset B \setminus A$であることより, $m^{*,(J)}(A \Delta E)\leq m(B\setminus A) \leq \varepsilon$.
• [(3) ⇒(2)]$\varepsilon>0$ を固定する. (3)より, 基本集合$A$で$m^{*,(J)}(A \Delta E)\leq \varepsilon/2$を満たすものが存在する. したがって, ジョルダン外測度の定義より, 基本集合$C \supset A \Delta E$で$m(C) \leq \varepsilon$なるものが存在する. このとき, $A\setminus C \subset E \subset A \cup C$であり, $A \cup C \setminus (A\setminus C) = C$であり, $A\setminus C, A \cup C $はともに基本集合であるので, (2)を満たす.
  $A,C,A\Delta E$の(とても雑な)図.

1. $E \cup F$がジョルダン可測であることだけを示す. 残りも同様にできる. $\varepsilon>0$を任意に固定する. $E$のジョルダン可測性の仮定と演習1.1.5.より, 基本集合$A,B$で$A \subset E\subset B$と$0< m(B)-m(A)\leq \varepsilon/2$を満たすものが存在する. 同様に, 基本集合$A',B'$で$A' \subset F\subset B'$と$0< m(B')-m(A')\leq \varepsilon/2$を満たすものが存在する. このとき, $A\cup A'$と$B\cup B'$はともに基本集合で, $A\cup A'\subset E \cup F \subset B\cup B'$を満たし,　更に$m(B\cup B')-m(A\cup A')= m((B\setminus A)\cup (B'\setminus A')) \leq m(B\setminus A)+m(B\setminus A) \leq \varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$である. 一つ目の不等号は基本測度の劣加法性から従う. よって, 演習1.1.5.より$E\cup F$はジョルダン可測である.
2. 背理法を用いる. $m(E)=-\delta<0$なるジョルダン可測な$E$が存在するとする. このとき, $E$の可測性から, $E \subset A$なる基本集合$A$で$0< m(A)-m(E)<\delta/2$なるものが存在する. したがって, $m(A)<-\delta/2<0$であり, これは基本測度の非負性に矛盾する.
3. $\varepsilon>0$を任意に固定する. $E,F$のジョルダン可測性の仮定と演習1.1.5.より, 基本集合$A,B,A',B'$で$A \subset E \subset B$, $A' \subset F \subset B'$と$0< m(B)-m(A)\leq \varepsilon/2$, $0< m(B')-m(A')\leq \varepsilon/2$を満たすものが存在する. 特に, $0< m(B)-m(E)\leq \varepsilon/2$, $0< m(B')-m(E)\leq \varepsilon/2$,$0< m(E)-m(A)\leq \varepsilon/2$, $0< m(E)-m(A')\leq \varepsilon/2$が成立していることに注意する. まず次の評価が得られる:
   \begin{align} m(E \cup F) &\geq m(A \cup A')　 (\because \text{ジョルダン測度の定義と}A \cup A'\text{が基本集合であること})\\ &= m(A)+m(A')　(\because A\text{と}A'\text{が互いに素であることと基本測度の有限加法性})\\ &\geq m(E)-\varepsilon/2+m(F)-\varepsilon/2\\ &=m(E)+m(F)-\varepsilon \end{align}
   また次の評価を得る:
   \begin{align} m(E \cup F) &\leq m(B \cup B') (\because \text{ジョルダン測度の定義と}B \cup B'\text{が基本集合であること})\\ & \leq m(B)+m(B') (\because \text{基本測度の劣加法性})\\ & \leq m(E)+\varepsilon/2+m(F)+\varepsilon/2\\ &=m(E)+m(F)+\varepsilon. \end{align}
   よって, $\varepsilon>0$の任意性から, $m(E \cup F)=m(E)+m(F)$を得る.

(4)非負性と有限加法性より直ちに従う: $m(F)=m(F\setminus E)+m(E) \geq m(E)$.
(5) (3)の後半の評価から得られる. そこでは$E$と$F$が互いに素であることを使っていなかったことに注意する.
(6) ほぼ定義から明らかなので割愛. $\sup$や$\inf$をとるときの基本集合も平行移動させればよい.

1. 各辺の長さが$B$の$1/N$である直方体による分割を考える. それぞれの分割された直方体を$B^N_n (n = 1, \cdots , N^d)$ とかくことにする. $\varepsilon>0$を任意にとる. $f$はコンパクト集合$B$上では一様連続であるから, $N$を十分大きくとることで, それぞれの$B^N_n$について, $|f(x)-f(y)|<\varepsilon;$ $x,y \in B^N_n$とできる.
   \begin{align} \varnothing \subset G \subset \sum_{n=1}^{N^d} B^N_n \times [\min_{x \in B^N_n}f(x), \max_{x \in B^N_n}f(x)]=:C \end{align}
   の包含関係に注意する. ただしここで, $\sum$の記号は互いに素な集合同士の合併を表す. また, $\varnothing$と$C$は基本集合であることに注意する. まず$m(\varnothing)=0$より, $m_{*,J}(G)\geq 0$. 一方で,
   \begin{align} m\Big(\sum_{n=1}^{N^d} B^N_n \times [\min_{x \in B^N_n}f(x), \max_{x \in B^N_n}f(x)]\Big) &= \sum_{n=1}^{N^d} m(B^N_n) m( [\min_{x \in B^N_n}f(x), \max_{x \in B^N_n}f(x)])\\ &\leq \varepsilon \sum_{n=1}^{N^d} m(B^N_n) = \varepsilon m(B). \end{align}
   ただしここで, 一行目の不等号はジョルダン測度の単調性, 二行目の等号は有限加法性と演習1.1.4より, 三行目の不等号は$\varepsilon $の取り方により, 最後の等号は, 再び有限加法性による. よって, $\varepsilon>0 $が任意であることから,$m^{*,J}(G)\leq 0$. よって, $G$がジョルダン可測で, $m(G)=0$が分かる.

2. $\varepsilon>0$を任意にとる. $N$を(1)と同じようにとる. このとき, 次の包含関係に注意する.
   $$ \sum_{n=1}^{N^d} B^N_n \times [0, \max_{x \in B^N_n}f(x)] \subset I \subset \sum_{n=1}^{N^d} B^N_n \times [0, \max_{x \in B^N_n}f(x)] $$
   左辺と右辺の集合をそれぞれ, $A,C$と書く. これらは基本集合である. このとき, (1)と同じ議論により,
   $m(C)-m(A) \leq \varepsilon m(B) $が分かる. $\varepsilon>0$は任意であるので, 演習1.1.5 (2)より, $I$がジョルダン可測であることが示された.