重複度2の固有値を持つ対角化可能な3次正方行列の簡単な作り方

$A$を階数1の3次正方行列で$\mathrm{tr}A\ne 0$を満たすものとし、$\lambda$を任意のスカラーとする。$B=A+\lambda E$とおく。このとき$B-\lambda E=A$は階数1であるため正則でない。すなわち$|B-\lambda E|=0$であり、したがって$B$は$\lambda$を固有値に持つ。固有値$\lambda$に対する$B$の固有空間の次元は
$$3-\mathrm{rank}(B-\lambda E)=3-\mathrm{rank}(A)=3-1=2$$
であるので、固有値$\lambda$の重複度は2以上である。$B$の固有値を$\lambda ,\lambda ,\mu$とおくと$\mathrm{tr}B=2\lambda +\mu$であるが、一方
$$\mathrm{tr}B=\mathrm{tr}(A+\lambda E)=\mathrm{tr}A+3\lambda$$
であるので、$2\lambda +\mu =\mathrm{tr}A+3\lambda$,したがって
$$\mu =\lambda +\mathrm{tr}A$$
である。$\mathrm{tr}A\ne 0$であったので、$\mu$は$\lambda$と異なる。以上から、$B$の固有値は重複度2の$\lambda$と重複度1の$\lambda +\mathrm{tr}A$である。
$\lambda$に対する$B$の固有空間の次元は2であったので、$B$は対角化可能である。

$B$を重複度2の固有値$\lambda$を持つ対角化可能な3次正方行列とする。対角化可能であることから、固有値$\lambda$に対する$B$の固有空間の次元は2であり、したがって
$$\mathrm{rank}(B-\lambda E)=3-2=1$$
である。
あとは$\mathrm{tr}(B-\lambda E)\ne 0$を示せば、「手順」の$A$として$B-\lambda E$をとり、$\lambda$は$\lambda$をとることで$B$が得られる。

$B$は$\lambda$の他に重複度1の固有値を持つ。それを$\mu$とおく。すると
$$\mathrm{tr}(B-\lambda E)=(2\lambda +\mu )-3\lambda =\mu -\lambda$$
であり、$\lambda$と$\mu$は異なるので$\mu -\lambda \ne 0$である。