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大学数学基礎解説
東大数理院試過去問解答例(2010A03)
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ここでは東大数理の修士課程の院試の2010A03の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです
2010A03
$B$を有界実数列全体の為す集合とし、$C$を収束実数列全体の為す部分集合とする。$(x_n),(y_n)\in B$に対して、
$$
d((x_n),(y_n)):=\sup_n|x_n-y_n|
$$
と置くと、$d$は$B$の距離を定めている。
- 写像$f:C\to \mathbb{R}$を
$$ f(x)=\limsup_{n\to\infty}x_n $$
と定める。このとき$f$は連続であることを示しなさい。 - $C$は$B$の閉部分集合であることを示しなさい。
- $A=(a_n)\in B$をとり、$A^1=(a^1_n),A^2=(a^2_n),A^3=(a^3_n),\cdots\in B$を$A$に収束する列とする。$\varepsilon>0$を任意にとり、$N$を任意の$i>N$について$d(A,A^i)<\varepsilon$であるようにとる。このとき任意の$i>N$及び$n$について、
$$ a_n-\varepsilon< a^i_n< a_n+\varepsilon $$
であるから、任意の$i>N$について$f(A)-\varepsilon\leq f(A^i)\leq f(A)+\varepsilon$であることがわかる。以上から$\lim_{n\to\infty}f(A_i)=f(A)$が従う。よって$f$の連続性が示せた。 - まず$g:B\to \mathbb{R}$を
$$ g(x):=\liminf_{n\to\infty}x_n $$
と定めたとき、$g(x)=-f(-x)$なので、(1)より$g$は連続である。よって写像
$$ \begin{array}{cccc} h:&B&\to&\mathbb{R}^2\\ &x&\mapsto&(f(x),g(y)) \end{array} $$
は連続である。$C$は$\mathbb{R}^2$の閉部分集合$\{(s,s)|s\in\mathbb{R}\}$の$h$による逆像なので、閉集合である。
投稿日：1日前
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