Filtered algebra (の定義)
0. はじめに
Filtered algebraは, $\mathbb Z$次数付き代数の条件を緩くしたような代数です. この記事ではfiltered algebraを定義して, 付随する次数付き代数の構成を見ます.
1. Notations
- $\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$: 自然数全体の集合,
$\mathbb N_0:=\mathbb N\cup\{0\}$,
$\mathbb Z$: 整数全体の集合,
$\mathbb Q$: 有理数全体の集合,
$\mathbb R$: 実数全体の集合,
$\mathbb C$: 複素数全体の集合. - $k$を体としたとき, 双線型な積が定義された$k$上ベクトル空間のことを$k$代数という.
- $k$を体, $\{A_i\}_{i\in I}$を$k$上ベクトル空間の列としたときに, $\bigoplus_{i\in I}A_i$の元を, 便宜上
\begin{gather} \sum_{i\in I}a_ii\qquad (a_i\in A_i) \end{gather}
とかくとする.
2. 定義
$k$を$\mathbb R$または$\mathbb C$, $A$を$k$代数とする(積は$\cdot$とする). $\{F_i A\}_{i\in\mathbb Z}$を, 任意の$i\in\mathbb Z$に対して
\begin{gather}
F_i A\supseteq F_{i+1}A
\end{gather}
が成立する$A$の部分ベクトル空間の列とする. このとき
- $\{F_i A\}_{i\in\mathbb Z}$が$A$を被覆する. つまり
\begin{gather} \bigcup_{i\in\mathbb Z}F_iA=A. \end{gather} - $\{F_i A\}_{i\in\mathbb Z}$の共通部分が$0$. つまり
\begin{gather} \bigcap_{i\in\mathbb Z}F_iA=0. \end{gather} - 任意の$i,j\in\mathbb Z$に対して
\begin{gather} F_iA\cdot F_jA\subseteq F_{i+j}A. \end{gather}
を満たすなら, $\{F_i A\}_{i\in\mathbb Z}$を$A$のfiltration (ろ過), $(A,\{F_i A\}_{i\in\mathbb Z})$をfiltered algebra (filtration付き代数, ろ過代数)という.
Filtered algebraを使うと, $\mathbb Z$次数付け代数を自然に定義することができる.
$(A,\{F_i A\}_{i\in\mathbb Z})$をfiltered algebraとする. このとき
\begin{gather}
\text{gr}(A):=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}F_i A/F_{i+1} A
\end{gather}
は$A$から誘導される積が定義できる. つまり, $\sum_{i\in\mathbb Z}(x_i+F_{i+1} A)i,\ \sum_{i\in\mathbb Z}(y_i+F_{i+1} A)i\in \text{gr}(A)$として
\begin{gather}
\left(\sum_{i\in\mathbb Z}(x_i+F_{i+1} A)i\right)\cdot\left(\sum_{i\in\mathbb Z}(y_i+F_{i+1} A)i\right):=\sum_{i,j\in\mathbb Z}(x_i\cdot y_j+F_{i+j+1} A)(i+j)
\end{gather}
がwell-definedとなる.
証明すべきことは
- 代表元によらずに値が定まる
- $x_i\cdot y_j$が$F_{i+j}$の元
の2つである. 2. はfiltrationの定義からすぐわかるので1. をみる. $\alpha,\ \beta\in F_{i+1} A$として$x'_i=x_i+\alpha,\ y'_i=y_i+\beta$とすると
\begin{eqnarray}
\left(\sum_{i\in\mathbb Z}(x'_i+F_{i+1} A)i\right)\cdot\left(\sum_{i\in\mathbb Z}(y'_i+F_{i+1} A)i\right)&=&\sum_{i,j\in\mathbb Z}(x'_i\cdot y'_j+F_{i+j+1} A)(i+j)\\
&=&\sum_{i,j\in\mathbb Z}((x_i+\alpha)\cdot (y_j+\beta)+F_{i+j+1} A)(i+j)\\
&=&\sum_{i,j\in\mathbb Z}(x_i\cdot y_j+F_{i+j+1} A)(i+j)\\
&=&\left(\sum_{i\in\mathbb Z}(x_i+F_{i+1} A)i\right)\cdot\left(\sum_{i\in\mathbb Z}(y_i+F_{i+1} A)i\right).
\end{eqnarray}
よって示された.
$\text{gr}(A)$は$\mathbb Z$次数付き代数となる.
$i\in\mathbb Z$として$\text{gr}(A)_i:=F_i A/F_{i+1} A$とすると,
\begin{gather}
\text{gr}(A)=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}\text{gr}(A)_i
\end{gather}
は積の定義から次の条件を満たすことがわかる.
\begin{gather}
\text{gr}(A)_i\cdot\text{gr}(A)_j\subseteq\text{gr}(A)_{i+j}.
\end{gather}
これは$\mathbb Z$次数付けの定義そのものである.
$\text{gr}(A)$を$A$に付随する次数付き代数という.
