Landau-Lifshitz/Theory of Elasticity/Problems

$E$はヤング率、$\mu$はポアソン比を表します。

解答

z軸方向にだけ力がかかっているので、$\partial \sigma_{xi}/\partial x_i=\partial\sigma_{yi}/\partial x_i=0$、$\partial \sigma_{zi}/\partial x_i=\rho g$が成り立つ。棒の横面では$\sigma_{zz}$以外の$\sigma_{ik}$は$0$である。このことから、$\sigma_{zz}=-\rho g(l-z)$が成り立つ。
ひずみと応力の関係は、
\begin{align*} u_{xx} = \frac{1}{E}[\sigma_{xx}-\sigma(\sigma_{yy}+\sigma_{zz})]\\ u_{yy} = \frac{1}{E}[\sigma_{yy}-\sigma(\sigma_{xx}+\sigma_{zz})]\\ u_{zz} = \frac{1}{E}[\sigma_{zz}-\sigma(\sigma_{xx}+\sigma_{yy})]\\ u_{xy}=\frac{1+\sigma}{E}\sigma_{xy}, u_{xz}=\frac{1+\sigma}{E}\sigma_{xz},u_{yz}=\frac{1+\sigma}{E}\sigma_{yz} \end{align*}
だったので、先ほどの$\sigma_{zz}=-\rho g(l-z)$を代入して
\begin{align*} u_{xx}=\frac{\partial u_x}{\partial x}=\frac{\sigma\rho g(l-z)}{E}\\ u_{yy}=\frac{\partial u_y}{\partial y}=\frac{\sigma\rho g(l-z)}{E}\\ u_{zz}=\frac{\partial u_z}{\partial z}=-\frac{\rho g(l-z)}{E} \end{align*}
よって積分して、$u_{xy},u_{yz},u_{xz}$が$0$になるように定めれば、
\begin{align*} u_x&=\frac{\sigma\rho g(l-z)x}{E}\\ u_y &= \frac{\sigma\rho g(l-z)y}{E}\\ u_z &= -\frac{\rho g}{2E}\{l^2-(l-z)^2-\sigma(x^2+y^2)\} \end{align*}
となると考えられる。