レムニスケートについて

戸田盛和『楕円関数入門』を参考にレムニスケートの周長についてまとめる.
ここでレムニスケートとは$$r^2=a^2\cos 2\theta$$で表される曲線である.

直交座標への変換

まず, これを直交座標に直すことを考える.
$$\begin{array}{rcl}x& =& r\cos \theta \\ y& =& r\sin \theta \end{array}$$
であるから
$$\begin{array}{rcl}{x}^2+y^2& =& r^2\\ x^2-y^2& =& r^2\cos 2\theta \end{array}$$
となる. したがってレムニスケートは
$$(x^2+y^2{)}^2=a^2(x^2-y^2)$$
という代数的な式であらわすことができる.

周長を求める

戸田『楕円関数入門』に載っている計算は大変回りくどいので, ここではもっと簡単な方法を与える. まず$t=r/a$とおく.
すると
$$\begin{array}{rcl}{x}^2+y^2& =& a^2{t}^2\\ x^2-y^2& =& a^2{t}^4\end{array}$$
となる. したがって
$$\begin{array}{rcl}{x}^2& =& \frac{a^2}{2}(t^2+t^4)\\ y^2& =& \frac{a^2}{2}(t^2-t^4)\end{array}$$
つまり
$$\begin{array}{rcl}x& =& \frac{a}{\sqrt{2}}\sqrt{t^2+t^4}\\ y& =& \frac{a}{\sqrt{2}}\sqrt{t^2-t^4}\end{array}$$
となる. $dx$と$dy$を求めると
$$\begin{array}{rclrc}dx& =& \frac{a}{\sqrt{2}}\frac{2t+4t^3}{2\sqrt{t^2+t^4}}& =& \frac{a}{\sqrt{2}}\frac{1+2t^2}{\sqrt{1+t^2}}\\ dy& =& \frac{a}{\sqrt{2}}\frac{2t-4t^3}{2\sqrt{t^2-t^4}}& =& \frac{a}{\sqrt{2}}\frac{1-2t^2}{\sqrt{1-t^2}}\end{array}$$
よって
$$\begin{array}{rcl}d{x}^2+d{y}^2& =& \frac{a^2}{2}(\frac{1+4t^2+4t^4}{1+t^2}+\frac{1-4t^2+4t^4}{1-t^2})d{t}^2\\ & =& \frac{a^2}{1-t^4}d{t}^2\end{array}$$
ここで$t$は$1$から出発して減少していくと考えると, $dt<0$なので(という言い方は正確ではないかもしれないが)
$$ds=-\frac{a}{\sqrt{1-t^4}}dt$$
したがって周長$s$は
$$s=-{\int }_1^t\frac{adt}{\sqrt{1-t^4}}$$
ここで$t=\cos \varphi$とおけば
$$s=\frac{a}{\sqrt{2}}{\int }_0^{\varphi }\frac{d\varphi }{\sqrt{1-\frac{1}{2}{\sin }^2\varphi }}$$
となり, 第一種楕円積分の形になる.