代数的数の集合は可算である

$M_n=\{f\in \mathbb{Q}[X]\mid \mathrm{deg}f=n,f\text{はモニックで}\mathbb{Q}\text{上既約}\}$ ($n\ge 0$) とすれば$M_n$は可算集合である. ($\because$可算集合の$n$個の直積と同一視できる) $\phi :\overline{\mathbb{Q}}\to \mathbb{Q}[X]$を代数的数に$\mathbb{Q}$上の最小多項式 (その代数的数を根に持つモニック多項式のうち次数が最小のもの) を対応させる写像とすれば, 任意の$f\in M_n$に対し$\mathrm{\#}[{\phi }^{-1}(f)]\le n$であり,
$${\phi }^{-1}(M_n)=\bigcup _{f\in M_n}{\phi }^{-1}(f)$$
だから$M_n$は可算である. 代数的数の定義から
$$\overline{\mathbb{Q}}=\bigcup _{n\ge 0}{f}^{-1}(M_n)$$
であり, これは可算集合の可算個の和集合だから可算である.