代数的数の集合は可算である

$M_n = \set{f \in \mathbb{Q}[X] \mid \deg{f} = n, \text{$f$はモニックで$\mathbb{Q}$上既約}}$ ($n \ge 0$) とすれば$M_n$は可算集合である. ($\because$可算集合の$n$個の直積と同一視できる) $\varphi \colon \bar{\mathbb{Q}} \to \mathbb{Q}[X]$を代数的数に$\mathbb{Q}$上の最小多項式 (その代数的数を根に持つモニック多項式のうち次数が最小のもの) を対応させる写像とすれば, 任意の$f \in M_n$に対し$\#[\varphi^{-1}(f)] \le n$であり,
$$\varphi^{-1}(M_n) = \bigcup_{f \in M_n} \varphi^{-1}(f)$$
だから$M_n$は可算である. 代数的数の定義から
$$ \bar{\mathbb{Q}} = \bigcup_{n \ge 0} f^{-1}(M_n) $$
であり, これは可算集合の可算個の和集合だから可算である.