NBDモデルの解説

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はじめに

マーケティング(marketing)で使われる「NBDモデル」についてまとめました。

NBDモデルとは、次のような数理モデルです。

一定期間において消費者の商品Aの購入回数を $X$ とするときに、その確率分布を $X \sim N B (κ, p)$ と仮定します。 $κ$ と $p$ は"拡張された負の二項分布"のパラメータです。
このとき、2つの初期値

消費者の購入回数の期待値(または平均)： $μ = E (X)$
消費者が0回購入する割合(相対度数)： $p_{0} = P (X = 0)$

からパラメータ $κ$ と $p$ を決定します。これより消費者が商品Aを $x$ 回購入する割合(相対度数) $P (X = x)$ を求めることが出来ます。

$μ, κ$ はギリシャ文字で、それぞれミュー(mu)、カッパ(kappa)と読みます。

負の二項分布とは？

まず、確率論における二項分布(Binomial Distribution)を復習しましょう。

二項分布

$p$ は $0 < p < 1$ を満たす実数とします。 $n$ は正の整数とします。

アタリの確率が $p$ のくじにて、 $n$ 回引くときの $x$ 回アタリを引く回数を $X$ とします。このとき、 $X \sim B (n, p)$ と表します。

$X$ が取りうる値 $x$ は $x = 0, 1, 2, \dots, n$ です。

$X = x$ となる確率 $P (X = x)$ は、

$P (X = x) = \frac{n!}{x! \cdot (n - x)!} \cdot p^{x} \cdot (1 - p)^{n - x}$

となります。

二項分布の期待値

μ = E (X)

$X \sim B (n, p)$ ならば、 $μ = E (X) = n \cdot p$ が成り立ちます。

二項分布の分散

σ^{2} = V a r (X)

$X \sim B (n, p)$ ならば、 $σ^{2} = V a r (X) = n \cdot p (1 - p)$ が成り立ちます。

二項分布の期待値と分散の関係

$0 < p < 1$ より $σ^{2} < μ$ が成り立ちます。期待値 $μ$ を固定したときに、分散 $σ^{2}$ は $μ$ を上回ることが出来ません。

期待値 $E (X)$ の計算は、 $n = 1, 2, 3$ の場合で成り立つか確認すると良いでしょう。一般の $n$ の場合は二項定理を使って証明できます。

具体例でみてみましょう。

サイコロを続けて6回振るときの1の目が出る回数を $X$ とします。
$p = \frac{1}{6}, n = 6$ より、 $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ に対して、
$P (X = x) = \frac{6!}{x! \cdot (6 - x)!} \cdot (\frac{1}{6})^{x} \cdot (\frac{5}{6})^{6 - x}$
となります。確率分布表は次のようになります。

$x$ の値	$P (X = x)$ の値	$x \times P (X = x)$ の値
0	0.3349	0.0000
1	0.4019	0.4019
2	0.2009	0.4019
3	0.0536	0.1608
4	0.0080	0.0322
5	0.0006	0.0032
6	0.0000	0.0001
合計	1.0000	1.0000

確かに確率の和は $1$ になっており、 $X$ の期待値 $μ = E (X) = 1$ もわかります。
公式より、

$μ = E (X) = 6 \times \frac{1}{6} = 1$
$σ^{2} = V a r (X) = 6 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{6}$

と計算できます。

!FORMULA[51][-1143705460][0]の確率分布(!FORMULA[52][328485552][0]) $B (6, \frac{1}{6})$ の確率分布( $μ = 1$ )

サイコロを6回振ったら1はちょうど1回出そうですが、その確率は約40%です。1回も出ない確率が約33%もあります。2回出る確率は約20％で、3回出る確率は約5%です。4回出る確率は1％もありません。

次は、負の二項分布(Negative Binomial Distribution)です。普通の二項分布と同じくらい基本的な確率分布です。

負の二項分布

$p$ は $0 < p < 1$ を満たす実数とします。 $r$ は正の整数とします。

アタリの確率が $p$ のくじにて、 $r$ 回アタリが出るまで引くときのハズレの引く回数を $X$ とします。このとき、 $X \sim N B (r, p)$ と表します。

$X$ が取りうる値 $x$ は $x = 0, 1, 2, 3, 4, \dots$ です。

$X = x$ となる確率 $P (X = x)$ は、

$P (X = x) = \frac{(x + r - 1)!}{x! \cdot (r - 1)!} \cdot (1 - p)^{x} \cdot p^{r}$

となります。

負の二項分布の期待値

μ = E (X)

$X \sim N B (r, p)$ ならば、 $μ = E (X) = r \cdot (\frac{1}{p} - 1)$ が成り立ちます。

負の二項分布の分散

σ^{2} = V a r (X)

$X \sim N B (r, p)$ ならば、 $σ^{2} = V a r (X) = r \cdot \frac{1}{p} (\frac{1}{p} - 1)$ が成り立ちます。

負の二項分布の期待値と分散の関係

$0 < p < 1$ より $μ < σ^{2}$ が成り立ちます。期待値 $μ$ を固定したときに、分散 $σ^{2}$ は $μ$ を下回ることが出来ません。

負の二項分布の期待値の計算の導出は無限級数(数列の無限和)を扱うので、少なくとも数Ⅲの知識が必要です。 $r = 1$ の場合は、無限等比級数なので数Ⅲまでの知識で計算できます。 $r > 1$ の場合は、(高校数学を超える)負の二項定理を使います。

こちらも具体例でみてみましょう。

サイコロを1の目が出るまで振るときの、1以外の目の出る回数を $X$ とします。

$p = \frac{1}{6}, r = 1$ より、
$P (X = x) = (\frac{5}{6})^{x} \cdot \frac{1}{6}$
となります。確率分布表は次のようになります。

$x$ の値	$P (X = x)$ の値	$x \times P (X = x)$ の値
0	0.1667	0.0000
1	0.1389	0.1389
2	0.1157	0.2315
3	0.0965	0.2894
4	0.0804	0.3215
5	0.0670	0.3349
6	0.0558	0.3349
$⋮$	$⋮$	$⋮$
合計	1.0000	5.0000

確率の和が $1$ であるかはこの表から分かりませんが、計算により確認できます。

期待値が $μ = E (X) = 5$ であるかも表からは分かりませんが、公式より

$μ = E (X) = 1 \times (6 - 1) = 5$
$σ^{2} = V a r (X) = 1 \times 6 \times (6 - 1) = 30$

と計算できます。

!FORMULA[92][-1531885001][0]の確率分布(!FORMULA[93][328485676][0]) $N B (1, \frac{1}{6})$ の確率分布( $μ = 5$ )

1回目で1が出る確率は約17%です。期待値の5回までに出る確率は約67%です。期待値を超えてしまう割合が約33%もあります。

"拡張された負の二項分布"

$p \in (0, 1)$ 、 $κ \in (0, \infty)$ とします。

$X$ が取りうる値 $x$ は $x = 0, 1, 2, 3, 4, \dots$ です。

$X = x$ となる確率 $P (X = x)$ は、

$P (X = x) = \frac{Γ (x + κ)}{x! \cdot Γ (κ)} \cdot (1 - p)^{x} \cdot p^{κ}$

を満たすとき、このとき $X$ は"拡張された負の二項分布"に従うと言います。

また、 $X \sim N B (κ, p)$ と表します。

ガンマ関数 $y = Γ (x)$ の性質より、 $κ$ が正の整数のとき負の二項分布と一致します。

ガンマ関数

y = Γ (x)

の定義とその性質

関数 $y = Γ (x)$ は $x \in (0, \infty)$ において、
$Γ (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x - 1} e^{- t} d t$
と積分によって定義される関数でガンマ関数と呼ばれます。

定義より $Γ (1) = 1$ 、 $Γ (x + 1) = x \cdot Γ (x)$ という関係式が得られます。

これらより正の整数 $n$ に対して、 $Γ (n) = (n - 1)!$ という関係式が得られます。このことから、ガンマ関数 $y = Γ (x)$ は階乗の数列 $a_{n} = (n - 1)!$ の一般化と見なすことが出来ます。

拡張された負の二項分布の期待値や分散の公式も、負の二項分布の期待値や分散と同様の形で成り立ちます。

"拡張された負の二項分布"の期待値

μ = E (X)

$X \sim N B (κ, p)$ ならば、 $μ = E (X) = κ \cdot (\frac{1}{p} - 1)$ が成り立ちます。

"拡張された負の二項分布"の分散

σ^{2} = V a r (X)

$X \sim N B (κ, p)$ ならば、 $σ^{2} = V a r (X) = κ \cdot \frac{1}{p} (\frac{1}{p} - 1)$ が成り立ちます。

"拡張された負の二項分布"の別形式

$μ = E (X) = κ \cdot (\frac{1}{p} - 1)$ を $p$ について解くと、 $p = \frac{κ}{μ + κ}$ を得ます。これを"拡張された負の二項分布"の式に代入すると、
$P (X = x) = \frac{Γ (x + κ)}{x! \cdot Γ (κ)} \cdot (\frac{μ}{μ + κ})^{x} \cdot (\frac{κ}{μ + κ})^{κ}$
を得ます。このとき、

$E (X) = μ$
$V a r (X) = μ + \frac{μ^{2}}{κ}$

となります。

このように $μ, κ$ をパラメータとして"拡張された負の二項分布"を考えることもあります。このとき、 $μ$ は期待値そのものであり、 $κ$ は分散に関連する量です。これより、 $κ$ が"分布の形状を決める"ということもできます。

NBDモデル

一定期間における商品Aの購入回数に関する度数分布が与えられているとしましょう。
このとき、平均購入回数 $μ$ と購入回数0回の割合(相対度数) $p_{0}$ を求められます。

逆に、商品Aの平均購入回数 $μ$ と購入回数0回の割合(相対度数) $p_{0}$ が与えられているとしましょう。このとき、購入回数に関する度数分布を求められるでしょうか？

NBDモデルでは、これが出来るのです。

NBDモデル

商品Aの平均購入回数を $μ \in (0, \infty)$ 、購入回数0回の割合(相対度数)を $p_{0} \in (0, 1)$ とします。
また、商品Aの購入個数を $X$ とします。

$μ > \log_{e} \frac{1}{p_{0}}$ のとき、パラメータ $κ$ と $p$ の連立方程式

${\begin{cases} κ \cdot (\frac{1}{p} - 1) & = μ \\ p^{κ} & = p_{0} \end{cases}$

はただ一つの解 $κ \in (0, \infty)$ と $p \in (0, 1)$ を持ちます。

このパラメータ $κ$ と $p$ を用いて割合(相対度数) $P (X = x)$ は、
$P (X = x) = \frac{Γ (x + κ)}{x! \cdot Γ (κ)} \cdot (1 - p)^{x} \cdot p^{κ}$
と表されます。

連立方程式の意味

まず、確率分布が"拡張された負の二項分布"に従うと仮定しているので、様々な量がパラメータ $κ, p$ を用いて表されます。

第1式は"拡張された負の二項分布"の期待値 $E (X)$ をパラメータ $κ, p$ で表し、それが $μ$ である条件を課しています。

第2式は $X = 0$ のときの割合 $P (X = 0)$ をパラメータ $κ, p$ で表し、それが $p_{0}$ であるという条件を課しています。

$μ, p_{0}$ が異常な値の場合、この連立方程式は解をもちません。この場合はNBDモデルが適応できません。連立方程式が解をもつ場合にて、解が複数あることはないことが確認できます。

$κ$ が正の整数の場合に、ガンマ関数の性質から右辺は負の二項分布の式と同じになります。しかしNBDモデルにおいて $κ$ が整数になることはほとんどありません。

NBDモデルの例

これも具体例で確認しましょう。

$N$ は全世帯数、 $N_{0}$ は一定期間における購入回数0回の世帯数、 $S$ は一定期間における売上個数とします。

グラフが逆J型になる場合

$N = 5, 000$ (世帯)、 $N_{0} = 1, 000$ (世帯)、 $S = 20, 000$ (個)とします。
このとき、 $(μ, p_{0}) = (4, 0.2)$ となります。
連立方程式を解くと $(κ, p) = (1, 0.2)$ となり、これを"拡張された負の二項分布"の式に代入すると、次の確率分布表が計算できます。

$x$ の値	$P (X = x)$ の値	$x \times P (X = x)$ の値	$N \times P (X = x)$ の値
0	0.2000	0.0000	1000(世帯)
1	0.1600	0.1600	800(世帯)
2	0.1280	0.2560	640(世帯)
3	0.1024	0.3072	512(世帯)
4	0.0819	0.3277	410(世帯)
5	0.0655	0.3277	328(世帯)
6	0.0524	0.3146	262(世帯)
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
合計	1.0000	4.0000	5,000(世帯)

この場合は、確率が単調に減っていきます。

!FORMULA[176][819509185][0]の確率分布!FORMULA[177][1094574212][0] $μ = 4, p_{0} = 0.200$ の確率分布 $N B (1, 0.2)$

グラフが逆J型にならない場合

$N = 8, 000$ (世帯)、 $N_{0} = 1, 000$ (世帯)、 $S = 20, 000$ (個)とします。
このとき、 $(μ, p_{0}) = (2.5, 0.125)$ となります。
連立方程式を解くと $(κ, p) = (5.183, 0.699)$ となり、これを"拡張された負の二項分布"の式に代入すると、次の確率分布表が計算できます。

$x$ の値	$P (X = x)$ の値	$x \times P (X = x)$ の値	$N \times P (X = x)$ の値
0	0.1250	0.0000	1000(世帯)
1	0.2185	0.2185	1748(世帯)
2	0.2239	0.4477	1791(世帯)
3	0.1753	0.5260	1403(世帯)
4	0.1162	0.4647	929(世帯)
5	0.0686	0.3428	549(世帯)
6	0.0372	0.2230	297(世帯)
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
合計	1.0000	2.5000	8,000(世帯)

この場合は、 $x = 2$ の場合に確率が最大になっています。

!FORMULA[192][-524363302][0]の確率分布!FORMULA[193][-612085014][0] $μ = 2.5, p_{0} = 0.125$ の確率分布 $N B (5.183, 0.699)$

グラフが存在しない場合

$N = 10, 000$ (世帯)、 $N_{0} = 1, 000$ (世帯)、 $S = 20, 000$ (個)とします。
このとき、 $(μ, p_{0}) = (2, 0.1)$ となり、 $(κ, p)$ は存在しません。

以下でどのようにして2つのパラメータ $κ, p$ を求めるのかを見てみましょう。

パラメータを求める方法

STEP1 2文字の方程式を1文字の方程式に還元する

パラメータ $κ$ と $p$ は次の連立方程式を満たしているとします。

$\begin{array}{r} {\begin{cases} κ \cdot (\frac{1}{p} - 1) & = μ \\ p^{κ} & = p_{0} \end{cases} \end{array}$

となります。第1式と第2式をそれぞれ式変形すると、

$\begin{array}{r} {\begin{cases} \frac{1}{p} - 1 & = μ \cdot \frac{1}{κ} \\ p & = (p_{0})^{\frac{1}{κ}} \end{cases} \end{array}$

となります。第2式を第1式に代入して $p$ を消去すると、パラメータ $κ$ の方程式

$\begin{matrix} (\frac{1}{p_{0}})^{\frac{1}{κ}} - 1 = μ \cdot \frac{1}{κ} \end{matrix}$

を得ます。ここで $x = \frac{1}{κ}$ とおくと $x > 0$ であり、 $x$ の方程式

$\begin{matrix} (\frac{1}{p_{0}})^{x} - 1 = μ \cdot x \end{matrix}$

となります。 $\log_{e} \frac{1}{p_{0}} < μ$ のとき、この方程式は正の実数解 $x_{+}$ を唯一つ持ちます。このとき連立方程式の解は、

$\begin{array}{r} {\begin{cases} κ & = \frac{1}{x_{+}} \\ p & = (p_{0})^{x_{+}} \end{cases} \end{array}$

と表せます。方程式の解 $x_{+}$ のが分かれば、連立方程式の解 $(κ, p)$ が求められます。

p

の求め方

実際は、 $p = \frac{κ}{μ + κ}$ の関係から、 $κ$ の値から $p$ の値を求めることが出来ます。

STEP2 1文字の方程式を近似的に解く

方程式の解 $x_{+}$ を、いわゆるニュートン法に従って求めます。

STEP2-1 初期値 $x_{0}$ を決める

左辺と右辺の $x$ に正の整数を順に代入することによって、解のおよその値をまず求めます。左辺が負で右辺が正となる $x_{0}$ を探します。グラフを考えることにより、このような $x_{0}$ は一つしかありません。また、 $x_{+}$ は $x_{0}$ より大きな最小の整数です。

初期値 $x_{0}$ を以下で定めます。

・ $\frac{1}{p_{0}} - 1 > μ$ ならば $0 < x_{+} < 1$ なので、 $x_{0} = 1$ とします。

・そうでないとき、 $(\frac{1}{p_{0}})^{2} - 1 > 2 μ$ ならば $1 < x_{+} < 2$ なので、 $x_{0} = 2$ とします。

・そうでないとき、 $(\frac{1}{p_{0}})^{3} - 1 > 3 μ$ ならば $2 < x_{+} < 3$ なので、 $x_{0} = 3$ とします。

・そうでないとき、 $(\frac{1}{p_{0}})^{4} - 1 > 4 μ$ ならば $3 < x_{+} < 4$ なので、 $x_{0} = 4$ とします。

これを左辺が右辺より大きくなるまで繰り返します。有限回で計算が終わります。

STEP2-2

グラフと $x$ 軸との交点を接線を使って求めます。 $x_{0}$ から $x_{1}, x_{2}, \dots$ を順に構成し、値が止まるまで続けます。この値が $x_{+}$ です。

また、数列 ${x_{n}}$ を次の漸化式で定めます。
$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{(\frac{1}{p_{0}})^{x_{n}} - μ \cdot x_{n} - 1}{\log_{e} \frac{1}{p_{0}} \cdot (\frac{1}{p_{0}})^{x_{n}} - μ}$

この数列 ${x_{n}}$ は単調に減少し、方程式の解 $x_{+}$ にどんどん近づきます。

漸化式の導出(数Ⅲ)はここをクリック

関数 $f (x)$ を

$f (x) = A^{x} - B x - 1$

とする。 $f (x)$ の1階導関数と2階導関数をそれぞれ $f^{'} (x), f^{″} (x)$ とすると、

$f^{'} (x) = (\log A) \cdot A^{x} - B$

$f^{″} (x) = (\log A)^{2} \cdot A^{x}$

となる。 $f^{″} (x) > 0$ より、 $y = f (x)$ は下に凸のグラフで、原点を通り、仮定より原点における傾きが負であることが分かります。

$x_{n} > x_{+}$ とします。曲線 $y = f (x)$ の点 $(x_{n}, f (x_{n}))$ における接線の式は、

$y - f (x_{n}) = f^{'} (x_{n}) (x - x_{n})$
となります。これを $x$ 軸との交点を $(x_{n + 1}, 0)$ とすると、

$- f (x_{n}) = f^{'} (x_{n}) (x_{n + 1} - x_{n})$

両辺を $f (x_{n})$ で割ると、

$- \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})} = x_{n + 1} - x_{n}$
となります。移項すると、
$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}$

となります。当然、 $x_{+} < x_{n + 1} < x_{n}$ を満たします。

"拡張された負の二項分布"の導出方法

仮定することは2つです。

平均購入回数が $λ (> 0)$ の世帯の購入回数は、ポアソン分布 $P o i s s o n (λ)$ に従うとします。ポアソン分布の確率質量関数は $f (x | λ) = e^{- λ} \cdot \frac{λ^{x}}{x!}$ です。
全世帯の購入回数 $λ$ は、ガンマ分布 $G a m m a (α, β)$ に従うとします。ガンマ分布の確率密度関数は、 $g (λ | α, β) = \frac{1}{Γ (α) β^{α}} \cdot λ^{α - 1} e^{- \frac{λ}{β}}$ です。ただし2つのパラメータ $α, β$ は、 $α > 0, β > 0$ とします。

平均購入回数が $λ$ から $(λ + Δ λ)$ の世帯が $k$ 回購入する確率は $f (k | λ)$ であり、その相対度数 $g (λ | α, β) Δ λ$ を掛けて足し合わせたもの(積分したもの)です。

$\begin{aligned} P (X = x) & = \int_{0}^{\infty} f (x | λ) \cdot g (λ | α, β) d λ \\ = \int_{0}^{\infty} e^{- λ} \cdot \frac{λ^{x}}{x!} \cdot \frac{1}{Γ (α) β^{α}} \cdot λ^{α - 1} e^{- \frac{λ}{β}} d λ \\ = \frac{1}{x!} \cdot \frac{1}{Γ (α) β^{α}} \cdot \int_{0}^{\infty} λ^{(x + α) - 1} e^{- \frac{β + 1}{β} λ} d λ \\ = \frac{1}{x!} \cdot \frac{1}{Γ (α) β^{α}} \cdot Γ (x + α) (\frac{β}{β + 1})^{x + α} \\ = \frac{Γ (x + α)}{x! \cdot Γ (α)} \cdot \frac{β^{x}}{(β + 1)^{x + α}} \\ = \frac{Γ (x + α)}{x! \cdot Γ (α)} \cdot (\frac{β}{β + 1})^{x} (\frac{1}{β + 1})^{α} \\ = \frac{Γ (x + α)}{x! \cdot Γ (α)} \cdot (1 - p)^{x} \cdot p^{α} \end{aligned}$
ただし、積分公式
$\int_{0}^{\infty} x^{α - 1} e^{- \frac{x}{β}} d x = Γ (α) β^{α}$
を用いました。また、 $p = \frac{1}{β + 1}$
と置きました。

全世帯の購入回数 $λ$ が、本当にガンマ分布 $G a m m a (α, β)$ に従うかどうかは、論理的な必然性はなさそうです。関数の台が $(0, \infty)$ であるような確率密度関数であれば何でもいいはずなので、その他の確率密度関数でも大丈夫のはずです。ただし、ガンマ分布だと"拡張された負の二項分布"になります。他の分布で計算が進む例はあるのでしょうか。

まとめ

以上より(適切な) $μ$ と $p_{0}$ から、Excelのソルバーという機能を使わずに、確率分布 $N B (α, p)$ を求めることが出来ました。以上の内容を理解するために必要なことを挙げます。

基本的な数列の計算(階乗 $n!$ 、等比数列、 $\sum$ の計算、数列の極限、無限等比級数など)
基本的な関数の計算(二項定理、指数関数 $y = a^{x}$ や対数関数 $y = \log_{a} x$ のグラフの概形など。特に $y = e^{x}$ や $y = \log_{e} x$ )
確率変数の定義、確率分布の定義と期待値と分散の定義
二項分布 $B (n, p)$ とその期待値と分散
負の二項分布 $N B (r, p)$ とその期待値と分散
ガンマ関数 $y = Γ (x)$ による階乗の拡張
ガンマ関数 $y = Γ (x)$ による負の二項分布の拡張 $N B (κ, p)$
ニュートン法による方程式の解法

計算手順のみを追いたい場合は、(7)と(8)だけで大丈夫です。

投稿日：2024年6月1日

更新日：2024年6月10日

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NBDモデル
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STEP2 1文字の方程式を近似的に解く

STEP2-1 初期値x0を決める

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