NBDモデルの解説

$\mu,\kappa$はギリシャ文字で、それぞれミュー(mu)、カッパ(kappa)と読みます。

$0< p<1$より$\sigma^2<\mu$が成り立ちます。期待値$\mu$を固定したときに、分散$\sigma^2$は$\mu$を上回ることが出来ません。

$0< p<1$より$\mu<\sigma^2$が成り立ちます。期待値$\mu$を固定したときに、分散$\sigma^2$は$\mu$を下回ることが出来ません。

関数$y=\Gamma(x)$は$x \in (0,\infty)$において、
$$ \Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt $$
と積分によって定義される関数でガンマ関数と呼ばれます。

定義より$\Gamma(1)=1$、$\Gamma(x+1)=x\cdot\Gamma(x)$という関係式が得られます。

これらより正の整数$n$に対して、$\Gamma(n)=(n-1)!$という関係式が得られます。このことから、ガンマ関数$y=\Gamma(x)$は階乗の数列$a_n=(n-1)!$の一般化と見なすことが出来ます。

$\mu=E(X)=\kappa\cdot\bigg(\dfrac{1}{p}-1\bigg)$を$p$について解くと、$p=\dfrac{\kappa}{\mu+\kappa}$を得ます。これを"拡張された負の二項分布"の式に代入すると、
$$ P(X=x)=\dfrac{\Gamma(x+\kappa)}{x!\cdot\Gamma(\kappa)}\cdot\bigg(\dfrac{\mu}{\mu+\kappa}\bigg)^x\cdot \bigg(\dfrac{\kappa}{\mu+\kappa}\bigg)^{\kappa} $$
を得ます。このとき、

• $E(X)=\mu$
• $Var(X)=\mu+\frac{\mu^2}{\kappa}$

となります。

このように$\mu, \kappa$をパラメータとして"拡張された負の二項分布"を考えることもあります。このとき、$\mu$は期待値そのものであり、$\kappa$は分散に関連する量です。これより、$\kappa$が"分布の形状を決める"ということもできます。

まず、確率分布が"拡張された負の二項分布"に従うと仮定しているので、様々な量がパラメータ$\kappa,p$を用いて表されます。

第1式は"拡張された負の二項分布"の期待値$E(X)$をパラメータ$\kappa,p$で表し、それが$\mu$である条件を課しています。

第2式は$X=0$のときの割合$P(X=0)$をパラメータ$\kappa,p$で表し、それが$p_0$であるという条件を課しています。

$\mu,p_0$が異常な値の場合、この連立方程式は解をもちません。この場合はNBDモデルが適応できません。連立方程式が解をもつ場合にて、解が複数あることはないことが確認できます。

$\kappa$が正の整数の場合に、ガンマ関数の性質から右辺は負の二項分布の式と同じになります。しかしNBDモデルにおいて$\kappa$が整数になることはほとんどありません。

実際は、$p=\dfrac{\kappa}{\mu+\kappa}$の関係から、$\kappa$の値から$p$の値を求めることが出来ます。

仮定することは2つです。

1. 平均購入回数が$\lambda(>0)$の世帯の購入回数は、ポアソン分布$Poisson(\lambda)$に従うとします。ポアソン分布の確率質量関数は$f(x|\lambda)=e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^x}{x!}$です。

2. 全世帯の購入回数$\lambda$は、ガンマ分布$Gamma(\alpha,\beta)$に従うとします。ガンマ分布の確率密度関数は、$g(\lambda|\alpha, \beta)=\dfrac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}\cdot\lambda^{\alpha-1}e^{-\dfrac{\lambda}{\beta}}$です。ただし2つのパラメータ$\alpha,\beta$は、$\alpha>0, \beta>0$とします。

平均購入回数が$\lambda$から$(\lambda+\Delta\lambda)$の世帯が$k$回購入する確率は$f(k|\lambda)$であり、その相対度数$g(\lambda|\alpha,\beta)\Delta\lambda$を掛けて足し合わせたもの(積分したもの)です。

\begin{align} P(X=x) &= \int_0^\infty f(x|\lambda)\cdot g(\lambda|\alpha, \beta)d\lambda\\ &= \int_0^\infty e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^x}{x!}\cdot\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}\cdot\lambda^{\alpha-1}e^{-\frac{\lambda}{\beta}}d\lambda\\ &= \frac{1}{x!}\cdot\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}\cdot\int_0^\infty \lambda^{(x+\alpha)-1}e^{-\frac{\beta+1}{\beta}\lambda}d\lambda\\ &= \frac{1}{x!}\cdot\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}\cdot\Gamma(x+\alpha)\bigg(\frac{\beta}{\beta+1}\bigg)^{x+\alpha}\\ &= \frac{\Gamma(x+\alpha)}{x!\cdot\Gamma(\alpha)}\cdot\frac{\beta^x}{(\beta+1)^{x+\alpha}}\\ &=\frac{\Gamma(x+\alpha)}{x!\cdot\Gamma(\alpha)}\cdot\bigg(\frac{\beta}{\beta+1}\bigg)^x\bigg(\frac{1}{\beta+1}\bigg)^\alpha\\ &=\frac{\Gamma(x+\alpha)}{x!\cdot\Gamma(\alpha)}\cdot(1-p)^x\cdot p^\alpha\\ \end{align}
ただし、積分公式
$$ \int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}}dx=\Gamma(\alpha) \beta^\alpha $$
を用いました。また、$$ p=\dfrac{1}{\beta+1} $$
と置きました。

全世帯の購入回数$\lambda$が、本当にガンマ分布$Gamma(\alpha,\beta)$に従うかどうかは、論理的な必然性はなさそうです。関数の台が$(0,\infty)$であるような確率密度関数であれば何でもいいはずなので、その他の確率密度関数でも大丈夫のはずです。ただし、ガンマ分布だと"拡張された負の二項分布"になります。他の分布で計算が進む例はあるのでしょうか。