大学数学基礎解説

便利さんの積分・級数botを解く⑦

級数,積分,微分方程式

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積分を解く

どうも、らららです
積分・級数botの積分を解いていきます

解く積分

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d x}{\cos^{4} x + 1} = \frac{π}{4} \sqrt{1 + \sqrt{2}}$

はい、ワイエルシュトラス置換で解けると思いますがめんどくさすぎるし面白くないので別の方法で解いていきます

準備

積分を解くために準備をしていきます

ウォリス積分

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{4 n} x d x = \frac{π}{2} \frac{(4 n)!}{4^{2 n} ((2 n)!)^{2}}$

証明は簡単なので読者への課題とする

中央二項係数の母関数

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 n)!}{(n!)^{2}} x^{n} = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x}}$

一般二項定理を用いて証明できる

解く

級数展開して微分方程式を用いて解いていきます

$\begin{aligned} I & = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d x}{\cos^{4} x + 1} \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \cos^{4 n} x d x \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{4 n} x d x \\ = \frac{π}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (4 n)!}{4^{2 n} ((2 n)!)^{2}} \end{aligned}$
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 n)!}{(n!)^{2}} x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n)!}{((2 n)!)^{2}} x^{2 n} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n + 2)!}{((2 n + 1)!)^{2}} x^{2 n + 1}$
$\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n + 2)!}{((2 n + 1)!)^{2}} x^{2 n + 1} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n + 2) (4 n + 1) (4 n)!}{(2 n + 1)^{2} ((2 n)!)^{2}} x^{2 n + 1} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n)!}{((2 n!))^{2}} x^{2 n + 1} (4 - \frac{2}{2 n + 1}) \\ = 4 x \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n)!}{((2 n)!)^{2}} x^{2 n} - 2 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n)!}{((2 n)!)^{2} (2 n + 1)} x^{2 n + 1} \end{aligned}$
$f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n)!}{((2 n)!)^{2} (2 n + 1)} x^{2 n + 1}$
$f^{'} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n)!}{((2 n)!)^{2}} x^{2 n}$
$f^{'} (x) + 4 x f^{'} (x) - 2 f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x}}$
$f (x) = \frac{1}{4} \sqrt{4 x + 1} - \frac{1}{4} \sqrt{1 - 4 x}$
$f^{'} (x) = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{4 x + 1}} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x}}$

微分方程式解く過程

f^{'} (x) + 4 x f^{'} (x) - 2 f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x}}

f^{'} (x) - \frac{2}{4 x + 1} f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x} (4 x + 1)}

同次方程式を解く

f^{'} (x) - \frac{2}{4 x + 1} f (x) = 0

\frac{f^{'} (x)}{f (x)} = \frac{2}{4 x + 1}

\log | f (x) | = \log (\sqrt{4 x + 1}) + C_{1}

f (x) = C \sqrt{4 x + 1}

C

を

x

の関数とする

f (x) = C (x) \sqrt{4 x + 1}

f^{'} (x) = C^{'} (x) \sqrt{4 x + 1} + C (x) \frac{2}{\sqrt{4 x + 1}}

\begin{aligned} f^{'} (x) - \frac{2}{\sqrt{4 x + 1}} f (x) & = C^{'} (x) \sqrt{4 x + 1} + C (x) \frac{2}{\sqrt{4 x + 1}} - \frac{2}{4 x + 1} C (x) \sqrt{4 x + 1} \\ = C^{'} (x) \sqrt{4 x + 1} \end{aligned}

C^{'} (x) \sqrt{4 x + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x} (4 x + 1)}

C^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x} (4 x + 1)^{\frac{3}{2}}}

C (x) = - \frac{1}{4} \frac{\sqrt{1 - 4 x}}{\sqrt{4 x + 1}} + C_{2}

f (0) = 0

より

C (0) = 0

よって

C_{2} = \frac{1}{4}

C (x) = - \frac{1}{4} \frac{\sqrt{1 - 4 x}}{\sqrt{4 x + 1}} + \frac{1}{4}

f (x) = \frac{1}{4} \sqrt{4 x + 1} - \frac{1}{4} \sqrt{1 - 4 x}

f^{'} (x) = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{4 x + 1}} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x}}

\begin{aligned} I & = \frac{π}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (4 n)!}{4^{2 n} ((2 n)!)^{2}} \\ = \frac{π}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n)!}{((2 n)!)^{2}} {(\frac{i}{4})}^{2 n} \\ = \frac{π}{2} f^{'} (\frac{i}{4}) \\ = \frac{π}{2} (\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{i + 1}} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1 - i}}) \\ = \frac{π}{4} (\frac{1}{\sqrt{i + 1}} + \frac{1}{\sqrt{1 - i}}) \\ = \frac{π}{4} \sqrt{1 + \sqrt{2}} \end{aligned}

でたーー！！

最後の計算は $\sqrt{z}$ を $z^{\frac{1}{2}}$ (主値をとる)としています

$1 \pm i = \sqrt{2} e^{\pm \frac{π i}{4}}$ を用いれば計算できます

積分というより級数を解いていましたね
こんな感じで微分方程式を作って解く方法いろいろ探していきたいです

おしまい！！

投稿日：2023年12月16日

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