便利さんの積分・級数botを解く⑦
積分を解く
どうも、らららです
積分・級数botの積分を解いていきます
解く積分
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{\cos^4x+1}=\frac{\pi}{4}\sqrt{1+\sqrt{2}}$$
はい、ワイエルシュトラス置換で解けると思いますがめんどくさすぎるし面白くないので別の方法で解いていきます
準備
積分を解くために準備をしていきます
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4n}xdx=\frac{\pi}2\frac{(4n)!}{4^{2n}((2n)!)^2 }$$
証明は簡単なので読者への課題とする
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^2}x^n=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}$$
一般二項定理を用いて証明できる
解く
級数展開して微分方程式を用いて解いていきます
\begin{align}
I&=\int_{0}^{\frac{\pi}2}\frac{dx}{\cos^4x+1}
\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cos^{4n}xdx
\\&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_{0}^{\frac{\pi}2}\cos^{4n}xdx
\\&=\frac{\pi}2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(4n)!}{4^{2n}((2n)!)^2}
\end{align}
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^2}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!}{((2n)!)^2}x^{2n}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n+2)!}{((2n+1)!)^2}x^{2n+1}$$
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n+2)!}{((2n+1)!)^2}x^{2n+1}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n+2)(4n+1)(4n)!}{(2n+1)^2((2n)!)^2}x^{2n+1}
\\&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!}{((2n!))^2}x^{2n+1}\left(4-\frac{2}{2n+1}\right)
\\&=4x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!}{((2n)!)^2}x^{2n}-2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!}{((2n)!)^2(2n+1)}x^{2n+1}
\end{align}
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!}{((2n)!)^2(2n+1)}x^{2n+1}$$
$$f’(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!}{((2n)!)^2}x^{2n}$$
$$f’(x)+4xf’(x)-2f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}$$
$$f(x)=\frac14\sqrt{4x+1}-\frac14\sqrt{1-4x}$$
$$f’(x)=\frac12\frac1{\sqrt{4x+1}}+\frac12\frac1{\sqrt{1-4x}}$$
微分方程式解く過程
$$f’(x)+4xf’(x)-2f(x)=\frac1{\sqrt{1-4x}}$$$$f’(x)-\frac{2}{4x+1}f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-4x}(4x+1)}$$
同次方程式を解く
$$f’(x)-\frac{2}{4x+1}f(x)=0$$
$$\frac{f’(x)}{f(x)}=\frac2{4x+1}$$
$$\log|f(x)|=\log\left(\sqrt{4x+1}\right)+C_1$$
$$f(x)=C\sqrt{4x+1}$$
$C$を$x$の関数とする
$$f(x)=C(x)\sqrt{4x+1}$$
$$f’(x)=C’(x)\sqrt{4x+1}+C(x)\frac{2}{\sqrt{4x+1}}$$
\begin{align} f’(x)-\frac{2}{\sqrt{4x+1}}f(x)&=C’(x)\sqrt{4x+1}+C(x)\frac{2}{\sqrt{4x+1}}-\frac2{4x+1}C(x)\sqrt{4x+1} \\&=C’(x)\sqrt{4x+1} \end{align}
$$C’(x)\sqrt{4x+1}=\frac{1}{\sqrt{1-4x}(4x+1)}$$
$$C’(x)=\frac{1}{\sqrt{1-4x}(4x+1)^{\frac32}}$$
$$C(x)=-\frac14\frac{\sqrt{1-4x}}{\sqrt{4x+1}}+C_2$$
$f(0)=0$より$C(0)=0$
よって$\displaystyle C_2=\frac14$
$$C(x)=-\frac14\frac{\sqrt{1-4x}}{\sqrt{4x+1}}+\frac14$$
$$f(x)=\frac14\sqrt{4x+1}-\frac14\sqrt{1-4x}$$
$$f’(x)=\frac12\frac1{\sqrt{4x+1}}+\frac12\frac1{\sqrt{1-4x}}$$
\begin{align} I&=\frac{\pi}2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(4n)!}{4^{2n}((2n)!)^2} \\&=\frac{\pi}2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!}{((2n)!)^2}\left(\frac{i}{4}\right)^{2n} \\&=\frac{\pi}2f’\left(\frac{i}4\right) \\&=\frac{\pi}2\left(\frac12\frac1{\sqrt{i+1}}+\frac12\frac1{\sqrt{1-i}}\right) \\&=\frac{\pi}{4}\left(\frac1{\sqrt{i+1}}+\frac1{\sqrt{1-i}}\right) \\&=\frac{\pi}{4}\sqrt{1+\sqrt2} \end{align}
でたーー！！
最後の計算は$\sqrt{z}$を$\di z^{\frac12}$(主値をとる)としています
$\di1\pm i=\sqrt2 e^{\pm\frac{\pi i}4}$を用いれば計算できます
積分というより級数を解いていましたね
こんな感じで微分方程式を作って解く方法いろいろ探していきたいです
おしまい！！