大学数学基礎解説

便利さんの積分・級数botを解く⑦

級数,積分,微分方程式

196

積分を解く

どうも、らららです
積分・級数botの積分を解いていきます

解く積分

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d x}{\cos^{4} x + 1} = \frac{π}{4} \sqrt{1 + \sqrt{2}}$

はい、ワイエルシュトラス置換で解けると思いますがめんどくさすぎるし面白くないので別の方法で解いていきます

準備

積分を解くために準備をしていきます

ウォリス積分

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{4 n} x d x = \frac{π}{2} \frac{(4 n)!}{4^{2 n} ((2 n)!)^{2}}$

証明は簡単なので読者への課題とする

中央二項係数の母関数

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 n)!}{(n!)^{2}} x^{n} = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x}}$

一般二項定理を用いて証明できる

解く

級数展開して微分方程式を用いて解いていきます

$\begin{aligned} I & = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d x}{\cos^{4} x + 1} \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \cos^{4 n} x d x \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{4 n} x d x \\ = \frac{π}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (4 n)!}{4^{2 n} ((2 n)!)^{2}} \end{aligned}$
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 n)!}{(n!)^{2}} x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n)!}{((2 n)!)^{2}} x^{2 n} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n + 2)!}{((2 n + 1)!)^{2}} x^{2 n + 1}$
$\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n + 2)!}{((2 n + 1)!)^{2}} x^{2 n + 1} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n + 2) (4 n + 1) (4 n)!}{(2 n + 1)^{2} ((2 n)!)^{2}} x^{2 n + 1} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n)!}{((2 n!))^{2}} x^{2 n + 1} (4 - \frac{2}{2 n + 1}) \\ = 4 x \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n)!}{((2 n)!)^{2}} x^{2 n} - 2 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n)!}{((2 n)!)^{2} (2 n + 1)} x^{2 n + 1} \end{aligned}$
$f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n)!}{((2 n)!)^{2} (2 n + 1)} x^{2 n + 1}$
$f^{'} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n)!}{((2 n)!)^{2}} x^{2 n}$
$f^{'} (x) + 4 x f^{'} (x) - 2 f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x}}$
$f (x) = \frac{1}{4} \sqrt{4 x + 1} - \frac{1}{4} \sqrt{1 - 4 x}$
$f^{'} (x) = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{4 x + 1}} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x}}$

微分方程式解く過程

f^{'} (x) + 4 x f^{'} (x) - 2 f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x}}

f^{'} (x) - \frac{2}{4 x + 1} f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x} (4 x + 1)}

同次方程式を解く

f^{'} (x) - \frac{2}{4 x + 1} f (x) = 0

\frac{f^{'} (x)}{f (x)} = \frac{2}{4 x + 1}

\log | f (x) | = \log (\sqrt{4 x + 1}) + C_{1}

f (x) = C \sqrt{4 x + 1}

C

を

x

の関数とする

f (x) = C (x) \sqrt{4 x + 1}

f^{'} (x) = C^{'} (x) \sqrt{4 x + 1} + C (x) \frac{2}{\sqrt{4 x + 1}}

\begin{aligned} f^{'} (x) - \frac{2}{\sqrt{4 x + 1}} f (x) & = C^{'} (x) \sqrt{4 x + 1} + C (x) \frac{2}{\sqrt{4 x + 1}} - \frac{2}{4 x + 1} C (x) \sqrt{4 x + 1} \\ = C^{'} (x) \sqrt{4 x + 1} \end{aligned}

C^{'} (x) \sqrt{4 x + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x} (4 x + 1)}

C^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x} (4 x + 1)^{\frac{3}{2}}}

C (x) = - \frac{1}{4} \frac{\sqrt{1 - 4 x}}{\sqrt{4 x + 1}} + C_{2}

f (0) = 0

より

C (0) = 0

よって

C_{2} = \frac{1}{4}

C (x) = - \frac{1}{4} \frac{\sqrt{1 - 4 x}}{\sqrt{4 x + 1}} + \frac{1}{4}

f (x) = \frac{1}{4} \sqrt{4 x + 1} - \frac{1}{4} \sqrt{1 - 4 x}

f^{'} (x) = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{4 x + 1}} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x}}

\begin{aligned} I & = \frac{π}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (4 n)!}{4^{2 n} ((2 n)!)^{2}} \\ = \frac{π}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4 n)!}{((2 n)!)^{2}} {(\frac{i}{4})}^{2 n} \\ = \frac{π}{2} f^{'} (\frac{i}{4}) \\ = \frac{π}{2} (\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{i + 1}} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1 - i}}) \\ = \frac{π}{4} (\frac{1}{\sqrt{i + 1}} + \frac{1}{\sqrt{1 - i}}) \\ = \frac{π}{4} \sqrt{1 + \sqrt{2}} \end{aligned}

でたーー！！

最後の計算は $\sqrt{z}$ を $z^{\frac{1}{2}}$ (主値をとる)としています

$1 \pm i = \sqrt{2} e^{\pm \frac{π i}{4}}$ を用いれば計算できます

積分というより級数を解いていましたね
こんな感じで微分方程式を作って解く方法いろいろ探していきたいです

おしまい！！

投稿日：2023年12月16日

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

ららら

195

13157

適当に書きたいことを書きます。

他の人のコメント

コメントはありません。

読み込み中

ららら

便利さんの積分・級数botを解く⑦

積分を解く
解く積分
準備
解く