q-Mehlerの公式
Hermite多項式の$q$類似である連続$q$-Hermite多項式は
\begin{align}
H_n(\cos\theta|q):=\sum_{k=0}^n\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}
\end{align}
によって定義される. これはRogers多項式
\begin{align}
C_n(\cos\theta;a|q):=\sum_{k=0}^n\frac{(a;q)_k(a;q)_{n-k}}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}
\end{align}
を用いて
\begin{align}
H_n(x|q)=(q;q)_nC_n(x;0|q)
\end{align}
と表される. Hermite多項式にはMehlerの公式と呼ばれる以下の公式が知られている.
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{H_n(x)H_n(y)}{2^nn!}t^n&=\frac 1{\sqrt{1-t^2}}\exp\left(\frac{2txy-(x^2+y^2)t^2}{1-t^2}\right)
\end{align}
今回はその$q$類似として連続$q$-Hermite多項式に関する以下の公式を示す.
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{H_n(\cos\theta|q)H_n(\cos\phi|q)}{(q;q)_n}t^n&=\frac{(t^2;q)_{\infty}}{(te^{i(\theta+\phi)},te^{-i(\theta+\phi)},te^{i(\theta-\phi)},te^{-i(\theta-\phi)};q)_{\infty}}
\end{align}
が成り立つ.
まず, $q$二項定理を用いると
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{H_n(\cos\theta|q)}{(q;q)}t^n&=\sum_{0\leq n}t^n\sum_{k=0}^n\frac{1}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}\\
&=\sum_{0\leq j,k}\frac{(te^{-i\theta})^j(te^{i\theta})^k}{(q;q)_j(q;q)_k}\\
&=\frac 1{(te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}
\end{align}
となる. 次に,
前の記事
で示したRogers多項式の線形化公式
\begin{align}
&C_n(x;a|q)C_m(x;a|q)\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(1-aq^{n+m-2k})(a;q)_{n-k}(a;q)_{m-k}(a;q)_k(a^2;q)_{n+m-k}(q;q)_{n+m-2k}}{(q;q)_{n-k}(q;q)_{m-k}(q;q)_k(a;q)_{m+n-k+1}(a^2;q)_{m+n-2k}}C_{m+n-2k}(x;a|q)
\end{align}
において$a=0$とすることによって
\begin{align}
H_n(x|q)H_m(x|q)&=\sum_{0\leq k}\frac{(q;q)_{n}(q;q)_m}{(q;q)_{n-k}(q;q)_{m-k}(q;q)_k}H_{m+n-2k}(x|q)
\end{align}
を得る. これに$x=\cos\theta$として
\begin{align}
\frac{s^nt^m}{(q;q)_n(q;q)_m}
\end{align}
を掛けて足し合わせると
\begin{align}
\frac 1{(se^{i\theta},se^{-i\theta},te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}&=\sum_{0\leq n,m,k}\frac{s^nt^m}{(q;q)_{n-k}(q;q)_{m-k}(q;q)_k}H_{m+n-2k}(\cos\theta|q)\\
&=\sum_{0\leq n,m,k}\frac{s^{n+k}t^{m+k}}{(q;q)_{n}(q;q)_{m}(q;q)_k}H_{m+n}(\cos\theta|q)\\
&=\frac 1{(st;q)_{\infty}}\sum_{0\leq N}\frac{H_N(\cos\theta|q)}{(q;q)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(q;q)_N}{(q;q)_n(q;q)_{N-n}}s^nt^{N-n}
\end{align}
ここで, $s\mapsto te^{-i\phi},t\mapsto te^{i\phi}$とすると
\begin{align}
\frac{1}{(te^{i(\theta+\phi)},te^{-i(\theta+\phi)},te^{i(\theta-\phi)},te^{-i(\theta-\phi)};q)_{\infty}}&=\frac 1{(t^2;q)_{\infty}}\sum_{0\leq N}\frac{H_N(\cos\theta|q)H_N(\cos\phi|q)}{(q;q)_N}t^N
\end{align}
となって示すべき等式を得る.
証明からも分かるように, 定理1は線形化公式
\begin{align}
H_n(x|q)H_m(x|q)&=\sum_{0\leq k}\frac{(q;q)_{n}(q;q)_m}{(q;q)_{n-k}(q;q)_{m-k}(q;q)_k}H_{m+n-2k}(x|q)
\end{align}
と同値である.
前の記事
におけるRogers多項式の線形化公式の証明はある程度計算が必要だったが, 連続$q$-Hermite多項式の線形化公式は比較的シンプルな形をしているので, より簡潔な証明が得られそうである.
