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大学数学基礎解説
文献あり

級数•積分botの級数を示してみる①

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問題

今回示す級数はこれです。
series 3-6 series 3-6
リンク

\begin{aligned} \displaystyle\int_0^1 x^{2n}(\log x)^2dx&=\dfrac{2}{(2n+1)^3} \end{aligned}

\begin{aligned} \displaystyle\int_0^1 x^{2n}(\log x)^2dx&= \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(2n+1)t}t^2dt\quad\left(x\to e^{-t}\right)\\ &= \dfrac{1}{(2n+1)^3} \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-u}u^2du\quad\left((2n+1)t\to u\right)\\ &=\dfrac{\Gamma(3)}{(2n+1)^3}\\ &=\dfrac{2}{(2n+1)^3} \end{aligned}

\begin{aligned} \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\log\sin\theta)^2d\theta&= \dfrac{\pi^3}{24}+\dfrac{\pi\log(2)^2}{2} \end{aligned}

まめけびさんの記事で証明されています。
リンク

これらの補題を用いて、始めの等式を示していきます。

\begin{aligned} S=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\binom{2n}{n}} {2^{2n}(2n+1)^3} \end{aligned}
とします。
補題1,2より
\begin{aligned} S&=\dfrac{1}{2} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}{n}}{4^n} \displaystyle\int_0^1 x^{2n}(\log x)^2dx\\ &= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^1(\log x)^2 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n} \left(\frac{x^2}{4}\right)^ndx\\ &= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{\sqrt{1-x^2}}dx\quad※\\ &= \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\log\sin\theta)^2d\theta\quad(x\to\sin\theta)\\ &= \dfrac{\pi^3}{48}+\dfrac{\pi\log(2)^2}{4} \end{aligned}


※の変形では中央二項係数の母関数を用いています。
\begin{aligned} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n}x^n&=\dfrac{1}{\sqrt{1-4x}}\\ \end{aligned}

感想

初投稿ですので、仕様を全て使いこなせていないため、読みにくなってしまっているかもしれません。また、この記事とは異なる手法での示し方も見てみたいです。

参考文献

投稿日:27日前
更新日:21日前
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お湯
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