級数•積分botの級数を示してみる①
問題
今回示す級数はこれです。
series 3-6
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\begin{aligned} \displaystyle\int_0^1 x^{2n}(\log x)^2dx&=\dfrac{2}{(2n+1)^3} \end{aligned}
\begin{aligned} \displaystyle\int_0^1 x^{2n}(\log x)^2dx&= \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(2n+1)t}t^2dt\quad\left(x\to e^{-t}\right)\\ &= \dfrac{1}{(2n+1)^3} \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-u}u^2du\quad\left((2n+1)t\to u\right)\\ &=\dfrac{\Gamma(3)}{(2n+1)^3}\\ &=\dfrac{2}{(2n+1)^3} \end{aligned}
\begin{aligned} \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\log\sin\theta)^2d\theta&= \dfrac{\pi^3}{24}+\dfrac{\pi\log(2)^2}{2} \end{aligned}
まめけびさんの記事で証明されています。
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これらの補題を用いて、始めの等式を示していきます。
\begin{aligned}
S=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}
\frac{\binom{2n}{n}}
{2^{2n}(2n+1)^3}
\end{aligned}
とします。
補題1,2より
\begin{aligned}
S&=\dfrac{1}{2}
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}{n}}{4^n}
\displaystyle\int_0^1
x^{2n}(\log x)^2dx\\
&=
\dfrac{1}{2}
\displaystyle\int_0^1(\log x)^2
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}
\binom{2n}{n}
\left(\frac{x^2}{4}\right)^ndx\\
&=
\dfrac{1}{2}
\displaystyle\int_0^1
\frac{(\log x)^2}{\sqrt{1-x^2}}dx\quad※\\
&=
\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\log\sin\theta)^2d\theta\quad(x\to\sin\theta)\\
&=
\dfrac{\pi^3}{48}+\dfrac{\pi\log(2)^2}{4}
\end{aligned}
※の変形では中央二項係数の母関数を用いています。
\begin{aligned}
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}
\binom{2n}{n}x^n&=\dfrac{1}{\sqrt{1-4x}}\\
\end{aligned}
感想
初投稿ですので、仕様を全て使いこなせていないため、読みにくなってしまっているかもしれません。また、この記事とは異なる手法での示し方も見てみたいです。
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