Hodge双対とPlücker座標
$[r]:=\{1,\dots,r\}$とする.
Hodge双対
$V$をベクトル空間とする. 非退化な対称双線形形式を不定値内積という.
これは通常の内積の定義において, 正定値であるという条件を除いたものである. 以下この記事では不定値内積を$\langle\cdot,\cdot\rangle$で表し, 単に内積ということにする.
内積を備えたベクトル空間$V$に対し, $V$上の外積代数$\wedge V$を考える. $\wedge V$の元であって, $v_1\wedge\cdots\wedge v_n, v_1,\dots,v_n\in V$と表されるものから生成されるベクトル空間を$\wedge^n V$と表し, その元を$n$ベクトルという.
2つの$n$ベクトル$v=v_1\wedge\cdots \wedge v_n, w=w_1\wedge\cdots\wedge w_n$に対し,
\begin{align}
\langle v,w\rangle:=\det((\langle v_i,w_j\rangle)_{1\leq i,j\leq n})
\end{align}
として双線形に拡張することで, $\wedge^n V$の内積を定める. また, $V$の次元を$r$として, $e_1,\dots,e_r$をその標準基底とする. 線形写像$\star:\wedge^n V\to\wedge^{r-n}V$を$\{i_1,\dots,i_n\}\sqcup\{j_1,\dots,j_{r-n}\}=[r]$を満たすようなものに対する標準基底
\begin{align}
e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_k}
\end{align}
に対して,
\begin{align}
\star(e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_n}):=\sgn\left(\begin{matrix}1&\cdots&n&n+1&\cdots&r\\i_1&\cdots&i_n&j_1&\cdots&j_{r-n}\end{matrix}\right)e_{j_1}\wedge\cdots \wedge e_{j_{r-n}}
\end{align}
によって定める. $\star$をHodgeスター作用素という.
$S\subset[r]$に対し, $S$の元を$s_1<\cdots< s_n$として
\begin{align}
e_S:=e_{s_1}\wedge \cdots \wedge e_{s_n}
\end{align}
と定める. このとき, $S\sqcup T=[r]$であるようなものに対して, 標準基底に対するHodge双対は
\begin{align}
\star e_S=\varepsilon (S,T)e_T
\end{align}
で与えられる. ここで, $T$の要素を$t_1,\dots,t_{r-n}$として,
\begin{align}
\varepsilon(S,T):=\sgn\left(\begin{matrix}1&\cdots&n&n+1&\cdots&r\\s_1&\cdots &s_k&t_1&\cdots&t_{r-n}\end{matrix}\right)
\end{align}
によって定義される. この$T$を補集合の記法$S^c$で表すことにする. $r$列の行列$A$と$S\subset [r]$に対し, $S$の元の列以外を除いた行列を$A_S$と表すことにする. このとき, 以下が成り立つ.
$0\leq n,\quad v_1,\dots,v_k\in V$に対し, $v_i$を標準基底に関する行ベクトルと見なして$n\times r$行列$A$を
\begin{align}
A=\left(\begin{matrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{matrix}\right)
\end{align}
とする. このとき,
\begin{align}
v_1\wedge\cdots\wedge v_n=\sum_{\substack{S\subset[r]\\|S|=n}}\det(A_S)e_S
\end{align}
が成り立つ.
$A$の$(i,j)$成分を$a_{ij}$とする. このとき, 定義から
\begin{align}
v_i=\sum_{j=1}^ra_{ij}e_j
\end{align}
である. よって, これを代入すると
\begin{align}
v_1\wedge\cdots\wedge v_n&=\sum_{1\leq j_1,\dots,j_n\leq r}a_{1j_1}\cdots a_{nj_n} e_{j_1}\wedge\cdots\wedge e_{j_n}\\
&=\sum_{1\leq j_1<\cdots< j_n\leq r}\left(\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n}a_{1\sigma(j_1)}\cdots a_{n\sigma(j_n)} \right)e_{j_1}\wedge\cdots\wedge e_{j_n}\\
&=\sum_{1\leq j_1<\cdots< j_n\leq r}\det(A_{\{j_1,\dots,j_n\}})e_{j_1}\wedge\cdots\wedge e_{j_n}\\
&=\sum_{\substack{S\subset[r]\\|S|=n}}\det(A_S)e_S
\end{align}
となって示すべき等式を得る.
$V$を内積を備えた$r$次元ベクトル空間とする. $e_1,\dots,e_r$を$V$の標準基底とするとき, $n$ベクトル$v,w$に対し
\begin{align}
v\wedge \star w=\langle v,w\rangle e_1\wedge\cdots\wedge e_r
\end{align}
が成り立つ.
両辺は$v,w$に対して線形であるから, $|S|=|T|=n$として, $v=e_S,w=e_T$の場合を示せば十分である. まず,
\begin{align}
v\wedge \star w=e_S\wedge \star e_T=\varepsilon(T,T^c)e_S\wedge e_{T^c}
\end{align}
であるから, これは$S\neq T$のとき$0$になる. $S=T$のときは
\begin{align}
v\wedge \star w=\varepsilon(S,S^c)e_S\wedge e_{S^c}=e_1\wedge\cdots \wedge e_r
\end{align}
となる. 一方, $S\neq T$の場合に
\begin{align}
\langle v,w\rangle=0
\end{align}
となることは, 全てが$0$の行が存在することから分かり, $S=T$の場合に$\langle v,w\rangle=1$となることはそれが単位行列の行列式にあることから分かる. よって,
\begin{align}
v\wedge \star w=\langle v,w\rangle e_1\wedge\cdots\wedge e_r
\end{align}
が成り立つことが分かる.
任意の$n$ベクトル$v$に対し
\begin{align}
v\wedge u=\langle v,w\rangle e_1\wedge\cdots\wedge e_r
\end{align}
となるならば,
\begin{align}
v\wedge u=v\wedge (\star w)
\end{align}
となって, $v$が任意であったことにより$u=\star w$であることが分かるので, 命題2は$\star$を特徴づけている.
Plücker座標
$V$を内積を備えた$r$次元ベクトル空間とする. $V$の$n$次元部分空間$W$とその基底$w_1,\dots,w_n$に対し, $w_i$を標準基底に関する行ベクトルと見なして$n\times r$行列$A$を
\begin{align}
A=\left(\begin{matrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{matrix}\right)
\end{align}
とする. このとき, 同次座標
\begin{align}
[\det(A_S)]_{|S|=n}
\end{align}
は$W$の基底の取り方によらない. これを$W$のPlücker座標という.
Plücker座標
\begin{align}
[\det(A_S)]_{|S|=n}
\end{align}
が基底の取り方によらないことは, 別の基底に対応する行列を$B$として, 基底の変換行列を$P$とすると, $B=PA$と表されるので,
\begin{align}
\det(B_S)=\det(PA_S)=\det(P)\det(A_S)
\end{align}
となることから,
\begin{align}
[\det(B_S)]_{|S|=n}=[\det(A_S)]_{|S|=n}
\end{align}
と分かる. 命題1から, $W$の基底$w_1,\dots,w_n$に対する
\begin{align}
w_1\wedge\cdots\wedge w_n
\end{align}
が$W$のPlücker座標の情報を持っていることが分かる.
$V$を内積を備えた$r$次元ベクトル空間とする. $V$の$n$次元部分空間$W$に対し, その直交補空間を$W^{\perp}$として, その次元を$m$とする($r=n+m$である). $V$の基底を行に持つ$n\times r$行列$A$と$V^{\perp}$の基底を行に持つ$m\times r$行列をとる. $S\subset [r],|S|=n$として, $T$をその補集合とする. このとき,
\begin{align}
\det (B_T)=C\varepsilon(S,T)\det(A_S)
\end{align}
となるような$S$によらない定数$C$が存在する.
与えられている$W$の基底を$w_1,\dots,w_n$とするとき,
\begin{align}
w_1\wedge\cdots\wedge w_n
\end{align}
は定数倍(基底の変換行列の行列式)の違いしかない. よって, $W$の基底$w_1,\dots,w_n$, $W^{\perp}$の基底$w_1',\dots,w_m'$を取り換えることによって, それぞれが正規直交基底であると仮定して示せばよい. このとき, $w_1,\dots,w_n,w_1',\dots,w_m'$は$V$の正規直交基底であり,
\begin{align}
w_1\wedge\cdots\wedge w_n\wedge w_1'\wedge\cdots\wedge w_m'=\pm e_1\wedge\cdots \wedge e_r
\end{align}
が成り立つ. 適当に$-1$倍することによって,
\begin{align}
w_1\wedge\cdots\wedge w_n\wedge w_1'\wedge\cdots\wedge w_m'=e_1\wedge\cdots \wedge e_r
\end{align}
であると仮定してよい. このとき,
\begin{align}
\star(w_1\wedge\cdots\wedge w_n)=w_1'\wedge\cdots\wedge w_m'
\end{align}
である. これに命題1を用いると
\begin{align}
\star\left(\sum_{\substack{S\subset [r]\\|S|=n}}\det(A_S)e_S\right)=\sum_{\substack{T\subset [r]\\|T|=m}}\det(B_T)e_T
\end{align}
となる. 左辺は
\begin{align}
&\star\left(\sum_{\substack{S\subset [r]\\|S|=n}}\det(A_S)e_S\right)=\sum_{\substack{S\subset[r]\\|S|=n}}\det(A_S)\varepsilon(S,S^c)e_{S^c}
\end{align}
となるので, 両辺の$e_T$の係数を比較すると
\begin{align}
\det(B_T)=\varepsilon(S,T)\det(A_S)
\end{align}
を得る.
これはPlücker座標として
\begin{align}
[\det(B_T)]_{|T|=m}=[\varepsilon(S,T)\det(A_S)]_{|S|=n}
\end{align}
が(同次座標を適切に並び替えると)成り立っていることを意味する.
