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Berndt-Chan-Liu-Yesilyurtの恒等式

Berndt-Chan-Liu-Yesilyurt(2004)

$\begin{aligned} 32 (q; q)_{\infty}^{10} & = 9 (\sum_{n \in Z} (- 1)^{n} (2 n + 1)^{3} q^{\frac{3 n (n + 1)}{2}}) (\sum_{n \in Z} (- 1)^{n} (2 n + 1) q^{\frac{n (n + 1)}{6}}) \\ - (\sum_{n \in Z} (- 1)^{n} (2 n + 1) q^{\frac{3 n (n + 1)}{2}}) (\sum_{n \in Z} (- 1)^{n} (2 n + 1)^{3} q^{\frac{n (n + 1)}{6}}) \end{aligned}$

Jacobiの三重積の系
$\begin{aligned} (q; q)_{\infty}^{3} & = \frac{1}{2} \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} (2 n + 1) q^{\frac{n (n + 1)}{2}} \end{aligned}$
の両辺を $q$ に関して微分すると,
$\begin{aligned} - 3 (q; q)_{\infty}^{3} \sum_{0 < n} \frac{n q^{n - 1}}{1 - q^{n}} & = \frac{1}{16} \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} ((2 n + 1)^{3} - (2 n + 1)) q^{\frac{n (n + 1) 2}{-} 1} \end{aligned}$
を得る. これより,
$\begin{aligned} 2 (q; q)_{\infty}^{3} (1 - 24 \sum_{0 < n} \frac{n q^{n}}{1 - q^{n}}) & = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} (2 n + 1)^{3} q^{\frac{n (n + 1)}{2}} \end{aligned}$
が成り立つ. よって,
$\begin{aligned} 9 (\sum_{n \in Z} (- 1)^{n} (2 n + 1)^{3} q^{\frac{3 n (n + 1)}{2}}) (\sum_{n \in Z} (- 1)^{n} (2 n + 1) q^{\frac{n (n + 1)}{6}}) \\ - (\sum_{n \in Z} (- 1)^{n} (2 n + 1) q^{\frac{3 n (n + 1)}{2}}) (\sum_{n \in Z} (- 1)^{n} (2 n + 1)^{3} q^{\frac{n (n + 1)}{6}}) \\ = 4 (q^{3}; q^{3})_{\infty} (q^{\frac{1}{3}}; q^{\frac{1}{3}})_{\infty}^{3} (9 (1 - 24 \sum_{0 < n} \frac{n q^{3 n}}{1 - q^{3 n}}) - (1 - 24 \sum_{0 < n} \frac{n q^{\frac{n}{3}}}{1 - q^{\frac{n}{3}}})) \\ = 32 (q^{3}; q^{3})_{\infty}^{3} (q^{\frac{1}{3}}; q^{\frac{1}{3}})_{\infty}^{3} (1 + 3 \sum_{0 < n} \frac{n q^{\frac{n}{3}}}{1 - q^{\frac{n}{3}}} - 27 \sum_{0 < n} \frac{n q^{3 n}}{1 - q^{3 n}}) \end{aligned}$
となる. ここで, Borwein-Garvanの恒等式
$\begin{aligned} 1 + 3 \sum_{0 < n} \frac{n q^{n}}{1 - q^{n}} - 27 \sum_{0 < n} \frac{n q^{9 n}}{1 - q^{9 n}} & = \frac{(q^{3}; q^{3})_{\infty}^{10}}{(q; q)_{\infty}^{3} (q^{9}; q^{9})_{\infty}^{3}} \end{aligned}$
を用いると,
$\begin{aligned} 32 (q^{3}; q^{3})_{\infty}^{3} (q^{\frac{1}{3}}; q^{\frac{1}{3}})_{\infty}^{3} (1 + 3 \sum_{0 < n} \frac{n q^{\frac{n}{3}}}{1 - q^{\frac{n}{3}}} - 27 \sum_{0 < n} \frac{n q^{3 n}}{1 - q^{3 n}}) & = 32 (q; q)_{\infty}^{10} \end{aligned}$
となって定理を得る.

定理の応用として, 以下のmod 11でのRamanujanの合同式を示すことができる.

Ramanujanの合同式

$p (n)$ を分割数とする. 非負整数 $n$ に対し, $p (11 n + 6) \equiv 0 (\mod 11)$ が成り立つ.

$\begin{aligned} (q; q)_{\infty}^{10} & = \frac{1}{32} \sum_{m, n \in Z} (- 1)^{m + n} (9 (2 m + 1)^{3} (2 n + 1) - (2 m + 1) (2 n + 1)^{3}) q^{(9 m^{2} + 9 m + n^{2} + n) / 6} \\ = \frac{1}{32} \sum_{\begin{array}{c} u, v \in Z \\ u, v = 1 (\mod 2) \end{array}} (- 1)^{(u + v - 2) / 2} u v (9 u^{2} - v^{2}) q^{(9 u^{2} + v^{2} - 10) / 24} \\ =: \sum_{0 \leq n} α (n) q^{n} \end{aligned}$
とすると,
$\begin{aligned} α (n) & = \frac{1}{32} \sum_{\begin{array}{c} u, v \in Z \\ u, v = 1 (\mod 2) \\ 9 u^{2} + v^{2} - 10 = 24 n \end{array}} (- 1)^{(u + v - 2) / 2} u v (9 u^{2} - v^{2}) \end{aligned}$
である. $n = 6 (\mod 11)$ のとき,　条件 $9 u^{2} + v^{2} - 10 = 24 n$ より $9 u^{2} + v^{2} = 0 (\mod 11)$ となり, そのような場合をmod 11で全て調べると, 常に $u, v = 0 (\mod 11)$ が成り立っていることが分かる. よって,
$\begin{array}{r} α (11 n + 6) = 0 (\mod 11^{4}) \end{array}$
であるから,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} p (n) q^{n} & = \frac{1}{(q; q)_{\infty}} \\ = \frac{(q; q)_{\infty}^{10}}{(q; q)_{\infty}^{11}} \\ \equiv \frac{\sum_{0 \leq n} α (n) q^{n}}{(q^{11}; q^{11})_{\infty}} (\mod 11) \end{aligned}$
であるから, $q^{11 n + 6}$ の係数を集めて,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} p (11 n + 6) q^{11 n + 6} & \equiv \frac{\sum_{0 \leq n} α (11 n + 6) q^{11 n + 6}}{(q^{11}; q^{11})_{\infty}} \equiv 0 (\mod 11) \end{aligned}$
となって定理が示される.

参考文献

[1]

Bruce C. Berndt, Song Heng Chan, Zhi-Guo Liu, Hamza Yesiyurt, A new identity for $(q;q)_{\infty}^10$ with an application to Ramanujan's partition congruence modulo 11., Q. J. Math., 2004, 13-30

投稿日：29日前

更新日：29日前