二項定理のmod 4類似

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二項定理は
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} & = (x + 1)^{n} \end{aligned}$
と書くことができる. $x \mapsto - x$ として $(- 1)^{n}$ 倍すると, 符号が交代的である
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} (\binom{n}{k}) x^{k} & = x^{n} - n x^{n - 1} + (\binom{n}{2}) x^{n - 2} - \dots \\ = (x - 1)^{n} \end{aligned}$
を得ることができる. 他にも符号の付き方を変えたもので因数分解が綺麗にできるようなものはあるかを考えてみるという問題が考えられる. いくつか試した結果,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{⌈ \frac{n - k}{2} ⌉} (\binom{n}{k}) x^{k} & = x^{n} - n x^{n - 1} - (\binom{n}{2}) x^{n - 2} + (\binom{n}{3}) x^{n - 3} + (\binom{n}{4}) x^{n - 4} - \dots \end{aligned}$
のように, 符号が $+, -, -, +$ を繰り返すようなものに関して興味深い等式が見つかった. それが次である.

$0 \leq n$ に対して,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{⌈ \frac{n - k}{2} ⌉} (\binom{n}{k}) x^{k} & = \prod_{\begin{array}{c} k = 1 (\mod 4) \\ 0 < k < 4 n \end{array}} (x - \cot \frac{π k}{4 n}) \end{aligned}$
が成り立つ.

まず, $\cot π t$ は $0 < t < 1$ で単調減少であるから $\cot \frac{π k}{4 n}, 0 < k < 4 n$ は相異なる. 左辺の多項式が $k = 1 (\mod 4)$ のときに $x = \cot \frac{π k}{4 n}$ が零点になっていることを示せば, 両辺の最高次の係数がともに $1$ であることから等式が従う. $x$ が実数のとき,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{⌈ \frac{n - k}{2} ⌉} (\binom{n}{k}) x^{k} & = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{⌈ \frac{k}{2} ⌉} (\binom{n}{k}) x^{n - k} \\ = \sum_{0 \leq k \leq n, k : even} (- 1)^{\frac{k}{2}} (\binom{n}{k}) x^{n - k} - \sum_{0 \leq k \leq n, k : odd} (- 1)^{\frac{k - 1}{2}} (\binom{n}{k}) x^{n - k} \\ = \frac{1}{2} (\sum_{k = 0}^{n} (i^{k} + i^{- k}) (\binom{n}{k}) x^{n - k} + i \sum_{k = 0}^{n} (i^{k} - i^{- k}) (\binom{n}{k}) x^{n - k}) \\ = \frac{1}{2} ((1 + i) (x + i)^{n} + (1 - i) (x + i)^{n}) \\ = Re (1 + i) (x + i)^{n} \end{aligned}$
である. よって, $k = 1 (\mod 4), x = \cot \frac{π k}{4 n}$ とすると,
$\begin{aligned} Re (1 + i) {(\cot \frac{π k}{4 n} + i)}^{n} & = Re (1 + i) {(\frac{e^{\frac{i π k}{4 n}}}{\sin \frac{π k}{4 n}})}^{n} \\ = Re \frac{(1 + i)^{k + 1}}{2^{\frac{k}{2}} \sin^{n} \frac{π k}{4 n}} \\ = 0 \end{aligned}$
となるからこれは零点になっている.