二項定理のmod 4類似
二項定理は
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\binom nkx^k&=(x+1)^n
\end{align}
と書くことができる. $x\mapsto -x$として$(-1)^n$倍すると, 符号が交代的である
\begin{align}
\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom nkx^k&=x^n-nx^{n-1}+\binom n2x^{n-2}-\cdots\\
&=(x-1)^n
\end{align}
を得ることができる. 他にも符号の付き方を変えたもので因数分解が綺麗にできるようなものはあるかを考えてみるという問題が考えられる. いくつか試した結果,
\begin{align}
\sum_{k=0}^n(-1)^{\lceil\frac{n-k}2\rceil}\binom nk x^k&=x^n-nx^{n-1}-\binom n2x^{n-2}+\binom n3x^{n-3}+\binom n4x^{n-4}-\cdots
\end{align}
のように, 符号が$+,-,-,+$を繰り返すようなものに関して興味深い等式が見つかった. それが次である.
$0\leq n$に対して,
\begin{align}
\sum_{k=0}^n(-1)^{\lceil\frac{n-k}2\rceil}\binom nkx^k&=\prod_{\substack{k=1\pmod 4\\0< k<4n}}\left(x-\cot\frac{\pi k}{4n}\right)
\end{align}
が成り立つ.
まず, $\cot\pi t$は$0< t<1$で単調減少であるから$\cot\frac{\pi k}{4n},0< k<4n$は相異なる. 左辺の多項式が$k=1\pmod 4$のときに$x=\cot\frac{\pi k}{4n}$が零点になっていることを示せば, 両辺の最高次の係数がともに$1$であることから等式が従う. $x$が実数のとき,
\begin{align}
\sum_{k=0}^n(-1)^{\lceil\frac{n-k}2\rceil}\binom nkx^k&=\sum_{k=0}^n(-1)^{\lceil \frac k2\rceil}\binom nkx^{n-k}\\
&=\sum_{0\leq k\leq n, k:\mathrm{even}}(-1)^{\frac k2}\binom n{k}x^{n-k}-\sum_{0\leq k\leq n,k:\mathrm{odd}}(-1)^{\frac{k-1}2}\binom{n}kx^{n-k}\\
&=\frac 12\left(\sum_{k=0}^n(i^k+i^{-k})\binom nkx^{n-k}+i\sum_{k=0}^n(i^k-i^{-k})\binom nkx^{n-k}\right)\\
&=\frac 12((1+i)(x+i)^n+(1-i)(x+i)^n)\\
&=\Re(1+i)(x+i)^n
\end{align}
である. よって, $k=1\pmod 4,x=\cot\frac{\pi k}{4n}$とすると,
\begin{align}
\Re(1+i)\left(\cot\frac{\pi k}{4n}+i\right)^n&=\Re(1+i)\left(\frac{e^{\frac{i\pi k}{4n}}}{\sin\frac{\pi k}{4n}}\right)^n\\
&=\Re\frac{(1+i)^{k+1}}{2^{\frac k2}\sin^n\frac{\pi k}{4n}}\\
&=0
\end{align}
となるからこれは零点になっている.
他にこのように綺麗に因数分解できる例を探してみるというのは面白いかもしれない.
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