東大数理院試過去問解答例(2017B05)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2017B05の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2017B05

$R^{2}$ 上のRiemann計量
$d s^{2} := \frac{4 (d x^{2} + d y^{2})}{(1 + x^{2} + y^{2})^{2}}$
を考える。ここで $ρ \in (0, π)$ に対し
$a := \cot (\frac{ρ}{2}) = \frac{1}{\tan (\frac{ρ}{2})}$
とおき、
$D_{ρ} := {(x, y) \in R^{2} | x^{2} + y^{2} \leq a^{2}}$
$C_{ρ} := {(x, y) \in R^{2} | x^{2} + y^{2} = a^{2}}$
を考える。ここで $R^{2}$ には順序づけられた座標 $(x, y)$ から定まる向きを入れておく。

$d s^{2}$ について $C_{ρ}$ の長さを $ρ$ を用いて表しなさい。
$d s^{2}$ の定める体積形式 $ω$ を求めなさい。
積分
$A (D_{ρ}) := \int_{D_{ρ}} ω$
の値を $ρ$ を用いて表し、極限
$lim_{ρ \to π - 0} \frac{A (D_{ρ})}{(π - ρ)^{2}}$
を求めなさい。

まず
$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \sqrt{d s^{2} ((- 2 a π \sin (2 π r)) \frac{\partial}{\partial x} + (2 a π \cos (2 π r)) \frac{\partial}{\partial x})} d r \\ = \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{16 a^{2} π^{2}}{(1 + a^{2})^{2}}} d r \\ = \frac{4 a π}{1 + a^{2}} \int_{0}^{1} d r \\ = \frac{4 a π}{1 + a^{2}} \end{aligned}$
である。ここで $a = \cot \frac{ρ}{2}$ であったから、これを上の式に代入することで $2 π \sin ρ$ が求める値である。
定義に沿って計算することで
$ω = \frac{4}{(1 + x^{2} + y^{2})^{2}} d x \land d y$
がわかる。
まず
$\begin{aligned} \int_{D_{ρ}} ω & = \int_{D_{ρ}} \frac{4}{(1 + x^{2} + y^{2})^{2}} d x d y \\ = \int_{0}^{a} \int_{0}^{2 π} \frac{4 r}{(1 + r^{2})^{2}} d r d θ \\ = 8 π \int_{0}^{a} \frac{r}{(1 + r^{2})^{2}} d r \\ = 8 π \int_{0}^{\tan^{- 1} a} \frac{\tan θ}{(1 + \tan^{2} θ)^{2}} \frac{d θ}{\cos^{2} θ} \\ = 8 π \int_{0}^{\tan^{- 1} a} \tan θ \cos^{2} θ d θ \\ = 4 π \int_{0}^{\tan^{- 1} a} \sin (2 θ) d θ \\ = 2 π {[1 - 2 \cos^{2} (θ)]}_{0}^{\tan^{- 1} a} \\ = \frac{4 π a^{2}}{1 + a^{2}} \\ = 4 π \cos^{2} (\frac{ρ}{2}) \\ = 4 π \frac{1 + \cos (ρ)}{2} \\ = 2 π (1 + \cos ρ) \end{aligned}$
である。このとき
$\begin{aligned} lim_{ρ \to π - 0} \frac{1 + \cos ρ}{(π - ρ)^{2}} & = lim_{t \to + 0} \frac{1 - \cos t}{t^{2}} = \frac{1}{2} \end{aligned}$
であるから、求める極限値は $π$ である。

投稿日：2024年3月1日

更新日：2024年3月1日

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