方程式x^3-3x=1の解

$f(x)=x^3-3x-1$としてあげると$f(x)=0$の解は$-2\leqq x\leqq 2$の範囲とわかります.
$x=2\cos{\theta}$と置く. $(0\leqq \theta \leqq \pi)$
与式は$8\cos^3{\theta}-6\cos{\theta}=1$となる.

$4\cos^3{\theta}-3\cos{\theta}=\dfrac{1}{2}$

$\cos{3\theta}=\dfrac{1}{2}$ $(0\leqq 3\theta \leqq 3\pi)$

これを満たす$3\theta$は$\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3},\dfrac{7\pi}{3}$

よって$\theta$は$\dfrac{\pi}{9},\dfrac{5\pi}{9},\dfrac{7\pi}{9}$

$$\therefore\quad x=2\cos{\dfrac{\pi}{9}},2\cos{\dfrac{5\pi}{9}},2\cos{\dfrac{7\pi}{9}}$$