東大数理院試過去問解答例(2012B08)

1. $x$軸・$y$軸・$z$軸をそれ自身に移すことから、ある一変数関数$s,t,u$を用いて$F(x,t,z)=(s(x),t(y),u(z))$と書ける。次にヤコビアンの条件から
   $$s^{\prime }(x)t^{\prime }(y)u^{\prime }(z)$$
   が定数であることが分かる。これにより$s^{\prime },t^{\prime },u^{\prime }$は全て定数であることが従い、それらを$a,b,c$とおくと$F(x,y,z)=(ax,by,cz)$と表記できる。
2. 初めに平面$H$をとり、制限$G_H:H\to H^{\prime }$を考える。条件(i)(ii)(iv)より$G_H$は補題1の条件を全て満たしているから、補題1より$G_H$は直線をある直線全体に移しかつ直線の平行を保つ。あとは適切な線型写像を合成することで、問題は$G$が$x$軸・$y$軸・$z$軸をそれ自身に移しかつそれぞれに平行な直線をそれぞれに平行な直線に移すとき、$G(x,y,z)=(ax,by,cz)$と表せるのを示すことに帰着されるが、これは(1)で示したことである。

初めに$a,b$をとおる直線を$\overline{ab}$、$a,b$を結ぶ線分を$[ab]$とおく。直線$L$への制限$g{|}_L:L\to L^{\prime }$を考える。$a,b\in L$及び$g(a),g(b)$以外の$u\in L^{\prime }$を任意にとる。ここでの$g$の連続単射性から$g({\mathbb{R}}^2)\mathrm{\setminus }{L}^{\prime }\ne \varnothing$であるから、この集合の点$g(d)$を一つとる。ここで$u$を通り、$[g(a)g(d)],[g(b)g(d)]$と交わる直線$L^{″}$を一つとり、それぞれの交点を$g(p),g(q)$とする。このとき$g(\overline{pq})\subseteq L^{″}$である。このとき$g$の単射性から$\overline{pq}$と$L$は平行でなく、特に交点$c$を持つ。このとき$g(c)=u$を満たしている。以上から任意の$L$に対して$g(L)=L^{\prime }$である。$g$の単射性とこの写像の直線への制限の全射性を合わせて、直線$L_1,L_2$が平行なとき$g(L_1),g(L_2)$は平行であるか捩れの関係であることが従う。特に$n=2$の場合直線が捩れの関係になることはないから、このとき$g$は平行を保つことがわかる。(2012B08の補題としてはここまで示せば充分)。

最後にここまでの議論から$g$の線型性を示す。初めに$f(x)+f(y)=f(x+y)$であることを示す。$0,x,y$を通る平面を$H$とする。$g{|}_H$は条件(x)(y)(z)を満たす平面上の写像でその像は$0,f(x),f(y)$を含む平面に含まれるから、前半の議論から平行を保つことがわかる。よって$\overline{0f(x)}$と$\overline{f(y)f(x+y)}$、$\overline{0f(y)}$と$\overline{f(x)f(x+y)}$は平行であるから、特に$f(x+y)=f(x)+f(y)$であることが従う。よって$f$は$\mathbb{Q}$-線型であり、$f$の連続性から$\mathbb{R}$-線型性が従う。