東大数理院試過去問解答例(2018B05)

$C^{\mathrm{\infty }}$級写像
$$\begin{array}{rl}f:S^3& \to \mathbb{R}\\ (x,y,z,w)& \mapsto xw-yz\end{array}$$
を考える。まず$f(\frac{1}{\sqrt{2}},0,0,\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{2}$かつ$f(\frac{1}{\sqrt{2}},0,0,-\frac{1}{\sqrt{2}})=-\frac{1}{2}$であるから、中間値の定理より$f$は$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$の任意の値を取る。ここで$\alpha \in (0,\frac{1}{2}]$及び$f(p)=\alpha$なる$p=(s,t,u,r)\in S^3$を考える。ここで$S^3$を自然に${\mathbb{R}}^4$の部分多様体と見做したとき、$p$に於ける$S$に直交する法線は$s\frac{\partial }{\partial x}+t\frac{\partial }{\partial y}+u\frac{\partial }{\partial z}+r\frac{\partial }{\partial w}$であるから、$T_p{\mathbb{R}}^4$の元のうち
$$g:=t\frac{\partial }{\partial x}-s\frac{\partial }{\partial y}$$
は$T_p{S}^3$の元を定めている。ここで$f$は$S^3$の近傍に$xw-yz$の型で拡張できるから
$$(df{)}_{p}g=t(\frac{\partial f}{\partial x}{)}_p-s(\frac{\partial f}{\partial y}{)}_p=tr-su=\alpha \ne 0$$
であるから、正則値定理より任意の$\alpha \in (0,\frac{1}{2}]$に対して$M_{\alpha }=f^{-1}(\alpha )$は$S$の閉部分多様体を定めている。また$\alpha \in (\frac{1}{2},\mathrm{\infty })$に対して$xw-yz=\alpha$が成り立っているとすると、
$$(x-w{)}^2+(y+z{)}^2=1-2\alpha <0$$
であるから$f^{-1}(\alpha )=\mathrm{\varnothing }$であり、特に閉部分多様体である。以上から任意の$\alpha \in (0,\mathrm{\infty })$について$M_{\alpha }$は$S^3$の閉部分多様体である。また微分同相
$$\begin{array}{rl}{S}^3& \to S^3\\ (x,y,z,w)& \mapsto (x,-y,z,-w)\end{array}$$
によって$M_{\alpha }$は$M_{-\alpha }$に移されるから、$\alpha \in (-\mathrm{\infty },0)$に対しても$M_{\alpha }$は閉部分多様体である。