東大数理院試過去問解答例(2018B05)

$C^\infty$級写像
$$ \begin{split} f:S^3&\to\mathbb{R}\\ (x,y,z,w)&\mapsto xw-yz \end{split} $$
を考える。まず$f\left(\frac{1}{\sqrt{2}},0,0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{2}$かつ$f\left(\frac{1}{\sqrt{2}},0,0,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\frac{1}{2}$であるから、中間値の定理より$f$は$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$の任意の値を取る。ここで$\alpha\in\left(0,\frac{1}{2}\right]$及び$f(p)=\alpha$なる$p=(s,t,u,r)\in S^3$を考える。ここで$S^3$を自然に$\mathbb{R}^4$の部分多様体と見做したとき、$p$に於ける$S$に直交する法線は$s\frac{\partial}{\partial x}+t\frac{\partial}{\partial y}+u\frac{\partial}{\partial z}+r\frac{\partial}{\partial w}$であるから、$T_p\mathbb{R}^4$の元のうち
$$ g:=t\frac{\partial}{\partial x}-s\frac{\partial}{\partial y} $$
は$T_pS^3$の元を定めている。ここで$f$は$S^3$の近傍に$xw-yz$の型で拡張できるから
$$ (df)_pg=t(\frac{\partial f}{\partial x})_p-s(\frac{\partial f}{\partial y})_p=tr-su=\alpha\neq0 $$
であるから、正則値定理より任意の$\alpha\in(0,\frac{1}{2}]$に対して$M_\alpha=f^{-1}(\alpha)$は$S$の閉部分多様体を定めている。また$\alpha\in (\frac{1}{2},\infty)$に対して$xw-yz=\alpha$が成り立っているとすると、
$$ (x-w)^2+(y+z)^2=1-2\alpha<0 $$
であるから$f^{-1}(\alpha)=\emptyset$であり、特に閉部分多様体である。以上から任意の$\alpha\in(0,\infty)$について$M_\alpha$は$S^3$の閉部分多様体である。また微分同相
$$ \begin{split} S^3&\to S^3\\ (x,y,z,w)&\mapsto(x,-y,z,-w) \end{split} $$
によって$M_\alpha$は$M_{-\alpha}$に移されるから、$\alpha\in(-\infty,0)$に対しても$M_{\alpha}$は閉部分多様体である。