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大学数学基礎解説

可換環の単元と冪零元からなるイデアル

可換環論,代数学,環論
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$$\newcommand{Ast}[0]{\operatorname{Ast}} \newcommand{Aut}[0]{\operatorname{Aut}} \newcommand{Hom}[0]{\operatorname{Hom}} \newcommand{Im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{Max}[0]{\operatorname{Max}} \newcommand{Spec}[0]{\operatorname{Spec}} $$

$A$を可換環, $N$を冪零元から成るイデアル (冪零根基) とする. $A$の元$a$が剰余環$A / N$の単元ならば$a$は$A$の単元でもある.

$(a + N)^{-1} = b + N$とする. $(a + N)(b + N) = ab + N = 1 + N$だから, ある$x \in N$が存在して$ab = 1 - x$となる. $(1 - x)^{-1} = 1 + x + x^2 + \cdots$であり, $x$は冪零だから$1 + x + x^2 + \cdots$は有限和だから$A$の元である. したがって$a \cdots b(1 - x)^{-1} = 1$であり, $a^{-1} = b (1 - x)^{-1} \in A$となる.

投稿日：8日前
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