可換環の単元と冪零元からなるイデアル (松村可換環論 問題1.1)

$(a+N{)}^{-1}=b+N$とする. $(a+N)(b+N)=ab+N=1+N$だから, ある$x\in N$が存在して$ab=1-x$となる. $(1-x{)}^{-1}=1+x+x^2+\cdots$であり, $x$は冪零だから$1+x+x^2+\cdots$は有限和, よって$A$の元である. したがって$ab(1-x{)}^{-1}=1$であり, $a^{-1}=b(1-x{)}^{-1}\in A$となる.