文献あり

開円盤の閉包が開集合に含まれていたら，ちょっとだけ大きな開円盤もまた含まれるという話

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

示したいこと．

$Ω \subset C$ を開集合， $c \in Ω$ と $R > 0$ に対して $B = B (c, R)$ とおいて， $\overset{―}{B} \subset Ω$ とする．このときある正の実数 $ε$ が存在して $B (c, R + ε) \subset Ω$ となる．

　ここで $B (c, R) = {z \in C ∣ | c - z | < R}$ と定めている．これを点 $c$ を中心とする半径 $R$ の開円盤と呼んだりする．
　今回は $C$ で考えているけれど，証明を見れば分かるように $R^{n}$ とかでも成り立つ．距離空間とかまで一般化できたら気持ちいいだろうな～～～．

方針

　閉円盤 $\overset{―}{B}$ と開集合の境界 $\partial Ω$ の間がちょっと開いてるね、っていうのが今回の主張だから， $\overset{―}{B}$ と $\partial Ω$ の距離を測りたい．それが $0$ にならないことを示せばあとは何とでもなりそう．

準備

　距離空間 $(X, d)$ に対して，一点 $x \in X$ と $X$ の部分集合 $A$ の間の距離 $d (x, A)$ を次式で定義する(定義は内田集合位相のp61による)．
$\begin{array}{r} d (x, A) = inf {d (x, a) ∣ a \in A} \end{array}$

　注意として， $d (x, A) = 0$ であることと次の二つの条件を満たすことと同値．

任意の $a \in A$ に対して $0 \leq d (x, a)$ となる．
任意の正の実数 $ε > 0$ に対してある $a \in A$ が存在して $d (x, a) < ε$ となる．

　1.に関しては距離関数の正値性から常に成り立つから，2.が成り立つことが重要．例えば $x \in A$ だったら当たり前だし，もう少し広げて $A$ を $R^{n}$ の開球として $x$ をその触点とすれば， $x$ を中心とする任意の開球は $A$ と共通部分を持つから，この場合でも2.が成り立つ．これは逆も然りで，したがって次が成り立つ．

$(X, d)$ を距離空間， $A \subset X$ を $X$ の空でない部分集合とする．このとき $x$ が $A$ の触点，つまり任意の $ε > 0$ に対して $B (x, ε) \cap A \neq \emptyset$ であることと $d (x, A) = 0$ となることは同値．

　思ったんだけど，最初に作った証明よりずっと簡単に示せそうな気がしてきた．

証明

命題1の証明(前半)

任意の $x \in \overset{―}{B}$ に対して $d (x, Ω^{c}) > 0$ である．実際もし $0$ なら $x$ は $Ω^{c}$ の触点だが $Ω^{c}$ は閉集合だから $x \in Ω^{c}$ となる．一方で $x \in Ω$ だからこれは矛盾．「するとある正の実数 $ε$ であって $d (x, Ω^{c}) > ε > 0$ となるものが~~取れる~~」(コメント欄を見て)．

　最初は $d (-, Ω^{c}) : \overset{―}{B} \to R, x \mapsto d (x, Ω^{c})$ が連続写像で $\overset{―}{B}$ がコンパクトだから $d (-, Ω^{c})$ は最小値を持って，この最小値が $0$ じゃないことを示してた．~~難しいこと考えられて偉いね～．~~

　はい．

命題1の証明(後半)

　この $ε$ に対して $B (c, R + ε) \subset Ω$ が成り立つ．実際，もし $y \in B (c, R + ε)$ であって $y \notin Ω$ となるものが存在すると仮定すると， $y \in Ω^{c}$ となるので， $c$ から $y$ への線分を考えると， $R < d (c, y)$ となるからこの線分は必ず $\partial \overset{―}{D}$ の一点 $x$ を通る．すると $d (c, y) = d (c, x) + d (x, y)$ が成り立つ．また
$\begin{array}{r} ε < d (x, Ω^{c}) = inf {d (x, z) ∣ z \in Ω^{c}} \leq d (x, y) \end{array}$
が成り立つから
$\begin{array}{r} R + ε < R + d (x, y) = d (c, x) + d (x, y) = d (c, y) \end{array}$
となるので， $y \notin D (c, R + ε)$ が成り立ってしまいこれは矛盾．したがって $D (c, R + ε) \subset Ω$ となる．

　お絵描きしながら考えたら何やってるかも分かるから，まぁ良さそう．

　強調した部分を補完しておく．例えば $R^{2}$ でお絵描きすれば明らかだけど. 点 $c$ から $y$ への線分は次式で表される： $φ (t) = c t + (1 - t) y (t \in [0, 1])$ ．また $z = c$ から $z = φ (s) (s \in [0, 1])$ までの長さ $Φ (s)$ は $\int_{0}^{s} | φ^{'} (t) | d t$ で表されて，これも連続関数． $Φ (0) = 0, Φ (1) = d (c, y) > R$ となるから中間値の定理を用いればよい．またこのような点は $Φ (s)$ が単調増加であることからただ一つしかないことも分かる．

一般化への方針．

　前半は良さそう～．つまり次が成り立つ．

$(X, d)$ を距離空間とし，開集合 $Ω \subset X$ をとる．また点 $c \in X$ と正の実数 $R \in R_{> 0}$ をとり， $\overset{―}{B (c, R)} \subset Ω$ であるとする．このとき任意の $x \in \overset{―}{B (c, R)}$ に対して $d (x, Ω^{c}) > 0$ となる．