オイラーの公式のマクローリン展開を用いた証明

オイラーの公式のテイラー展開を用いた証明

Author: uchgalois

オイラーの等式

この記事では、オイラーの公式
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
を証明します。

方針

この等式の証明方法はいくつかありますが、ここではテイラー展開を用いて証明します。
また、今回は $a=0$ のまわりのテイラー展開、すなわちマクローリン展開を用います。

テイラー展開

テイラー展開とは、関数 $f(x)$ を以下のようにべき級数で表すことです。
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$
今回は $a=0$ とします。

$e^{x}$ のテイラー展開

まず、$f(x) = e^x$ をマクローリン展開します。
$$e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \dots$$
この式に $x = i\theta$ を代入します。
$$e^{i\theta} = 1 + i\theta + \frac{1}{2!}(i\theta)^2 + \frac{1}{3!}(i\theta)^3 + \frac{1}{4!}(i\theta)^4 + \dots$$
$i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1$ であることを使い、式を実部と虚部に分けて整理すると、
$$e^{i\theta} = \left(1 - \frac{1}{2!}\theta^2 + \frac{1}{4!}\theta^4 - \dots\right) + i\left(\theta - \frac{1}{3!}\theta^3 + \frac{1}{5!}\theta^5 - \dots\right)$$
となります。

三角関数のテイラー展開

同様に、$\cos\theta$ と $\sin\theta$ をマクローリン展開すると、以下のようになります。
$$\cos\theta = 1 - \frac{1}{2!}\theta^2 + \frac{1}{4!}\theta^4 - \dots$$
$$\sin\theta = \theta - \frac{1}{3!}\theta^3 + \frac{1}{5!}\theta^5 - \dots$$

証明のまとめ

$\sin\theta$ の展開式の両辺に虚数単位 $i$ をかけ合わせると、
$$i\sin\theta = i\left(\theta - \frac{1}{3!}\theta^3 + \frac{1}{5!}\theta^5 - \dots\right)$$
となります。
これと $\cos\theta$ の展開式の和を考えると、
$$\cos\theta + i\sin\theta = \left(1 - \frac{1}{2!}\theta^2 + \frac{1}{4!}\theta^4 - \dots\right) + i\left(\theta - \frac{1}{3!}\theta^3 + \frac{1}{5!}\theta^5 - \dots\right)$$
この結果は、先ほど計算した $e^{i\theta}$ の展開式と完全に一致します。
したがって、オイラーの公式
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
が成り立つことが証明されました。