Feynman's trickについて
今回初めて記事を書きます。
最近, 積分の中に偏微分を登場させて計算するテクニックを学び, 調べてみると名前がついていたので, 備忘録がわりに紹介したいと思います。
誤っているところなどあったら教えていただけると嬉しいです。
問題
いきなりですが, 次の積分を考えて見ましょう。
$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x-1}{\log x} dx$$
分母に対数があるため, 不定積分を求めるのは難しそうです。
そこで, 積分に次のようなパラメータ$t$を導入してみようと思います。
$$ I(t)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^t-1}{\log x} dx$$
すると, 求める積分値は$I(1)$です。
$I(t)$を微分してみると,
$$I'(t) = \frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int_0^1 \frac{x^t-1}{\log x}dx = \displaystyle\int_0^1 \frac{\partial}{\partial t} \frac{x^t-1}{\log x}dx = \displaystyle\int_0^1 x^tdx = \frac{1}{1+t}$$
となります。
また, $I(0) = 0$であることもわかります。これで準備が整いました!
$I(1) = [I(t)]_0^1 = \displaystyle\int_0^1 I'(t) dt = [\log (t+1) ]_0^1 = \log 2$
以上より,
$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x-1}{\log x}dx = \log 2$$
とわかりました!
Feynman's trick
前節の問題が解けたのは, 非積分関数にパラメータ$t$を導入すると, その$t$に関する偏微分が積分しやすい(できる)関数になったことがポイントでした。一般に, このような積分の計算方法をFeynman's trickというようです。
この計算ができることは, 次の定理によって保証されています(証明は省略しますし, 上の積分は広義積分になっていますが見なかったことにします)。
$f(x,\ y)$が$y$に関して偏微分可能で, その偏導関数も連続ならば,
$$ \frac{\partial}{\partial y}\displaystyle\int_a^b f(x,\ y) dx = \displaystyle\int_a^b \frac{\partial}{\partial y} f(x,\ y)dx$$
が成り立つ。
他にも計算してみる
次は, ディリクレ積分と呼ばれる有名な積分です。
$$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx =\frac{\pi}{2}$$
$$I(t) = \displaystyle\int_0^\infty e^{-tx}\frac{\sin x}{x}dx$$
とおくと, 求める積分は$I(0)$である。
$$I'(t) = \displaystyle\int_0^\infty -e^{-tx}\sin x dx = -\frac{1}{1+t^2}$$
である。また, $\displaystyle\lim_{t \to \infty}I(t) =0 $より,
$$-I(0) = \displaystyle\left[I(t)\displaystyle\right]_0^\infty = \displaystyle\int_0^\infty -\frac{1}{1+t^2} = -\frac{\pi}{2}$$
以上より,
$$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx =\frac{\pi}{2}$$
である。
3行目は, $\sin x$のラプラス変換を知っていると楽に計算できますね。
パラメータ$t$がそのまま登場するわけではないので思いつくのは難しいですが, うまくいきました。次の注意が示すように, パラメータの取り方はなんでもいいわけではありません。
$$J(t) = \int_0^\infty \frac{\sin {tx}}{x}dx$$
とおく。
$$J'(t) = \int_0^\infty \cos {tx}dx$$
となるが, この積分は発散する。
繰り返しになりますが, $t$に関する偏微分が積分しやすい(できる)関数になったことがポイントです。
他にも例を書きたかったのですが, 簡単に計算できるものが思いつかなかったので終わります。この方法が効く積分を, コメントで教えていただけるとすごく喜びます!
ここまで読んでいただいてありがとうございました。
