Feynman's trickについて

積分

2045

今回初めて記事を書きます。
最近, 積分の中に偏微分を登場させて計算するテクニックを学び, 調べてみると名前がついていたので, 備忘録がわりに紹介したいと思います。
誤っているところなどあったら教えていただけると嬉しいです。

問題

いきなりですが, 次の積分を考えて見ましょう。

$\int_{0}^{1} \frac{x - 1}{\log x} d x$

分母に対数があるため, 不定積分を求めるのは難しそうです。
そこで, 積分に次のようなパラメータ $t$ を導入してみようと思います。

$I (t) = \int_{0}^{1} \frac{x^{t} - 1}{\log x} d x$

すると, 求める積分値は $I (1)$ です。
$I (t)$ を微分してみると,
$I^{'} (t) = \frac{\partial}{\partial t} \int_{0}^{1} \frac{x^{t} - 1}{\log x} d x = \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial t} \frac{x^{t} - 1}{\log x} d x = \int_{0}^{1} x^{t} d x = \frac{1}{1 + t}$
となります。
また, $I (0) = 0$ であることもわかります。これで準備が整いました!

計算する

$I (1) = [I (t)]_{0}^{1} = \int_{0}^{1} I^{'} (t) d t = [\log (t + 1)]_{0}^{1} = \log 2$

以上より,
$\int_{0}^{1} \frac{x - 1}{\log x} d x = \log 2$
とわかりました!

Feynman's trick

前節の問題が解けたのは, 非積分関数にパラメータ $t$ を導入すると, その $t$ に関する偏微分が積分しやすい(できる)関数になったことがポイントでした。一般に, このような積分の計算方法をFeynman's trickというようです。
この計算ができることは, 次の定理によって保証されています(証明は省略しますし, 上の積分は広義積分になっていますが見なかったことにします)。

偏微分と積分の順序交換

$f (x, y)$ が $y$ に関して偏微分可能で, その偏導関数も連続ならば,
$\frac{\partial}{\partial y} \int_{a}^{b} f (x, y) d x = \int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial y} f (x, y) d x$
が成り立つ。

他にも計算してみる

次は, ディリクレ積分と呼ばれる有名な積分です。

$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} d x = \frac{π}{2}$

$I (t) = \int_{0}^{\infty} e^{- t x} \frac{\sin x}{x} d x$
とおくと, 求める積分は $I (0)$ である。
$I^{'} (t) = \int_{0}^{\infty} - e^{- t x} \sin x d x = - \frac{1}{1 + t^{2}}$
である。また, $lim_{t \to \infty} I (t) = 0$ より,
$- I (0) = {[I (t)]}_{0}^{\infty} = \int_{0}^{\infty} - \frac{1}{1 + t^{2}} = - \frac{π}{2}$
以上より,
$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} d x = \frac{π}{2}$
である。