文献あり

『桜降る代に決闘を』の双掌繚乱の組合せ数の変遷

桜降る代に決闘を

桜降る代に決闘を（通称ふるよに）とは

BakaFire Partyの製作した２人用ボードゲームです。メガミの力を宿す能力者「ミコト」となり、対戦相手との決闘に臨みます。
双掌繚乱、眼前構築、桜花決闘の３ステップが本作の特徴です。
双掌繚乱―あなたが選ぶのは２キャラの組み合わせ
あなたは両手にメガミの力を宿せるため、メガミ２柱のカードを組み合わせられます。同じメガミでも組み合わせる相方次第で戦略が変化し、より幅広いゲームが楽しめます。
眼前構築―相手のキャラを見てからデッキを組む
相手の宿すメガミ２柱を見てから、２２枚から１０枚を選ぶ形でデッキが組めます。自らの強みを貫くか、相手に合わせて構築を変えるか。意思を決定するのはあなたです。
桜花決闘―ボードとトークンを用いた新しい戦い
ボードに３６個の桜花結晶トークンが置かれ、その個数で戦況が表現されます。例えば「間合」に４個の桜花結晶があれば、彼我の距離は４離れているのです。

(出典: 最初に知っておきたいこと |桜降る代に決闘を／公式攻略ページ )

双掌繚乱

プレイヤーは全 $25$ 柱のメガミのうち $2$ 柱を選び使用する(2023年12月時点)。
つまり $_{25} C_{2} = 300$ 通りの選び方がある $\dots \dots$ ではこの記事が終わってしまうが、話はそう単純ではない。
$25$ 柱のうち $17$ 柱のメガミには「アナザー」と呼ばれる別バージョンがある。さらに、うち6柱は「アナザー」を $2$ 種類持っている。

同じメガミ同士を組み合わせることはできない。つまり、「メガミ甲のオリジンとメガミ甲のアナザー」という組み合わせはできない。

違うメガミ同士なら組み合わせることができる。つまり「メガミ甲のオリジンとメガミ乙のアナザー」や「メガミ甲のアナザーとメガミ乙のアナザー」などは可能である。

この双掌繚乱には何通りの組み合わせがあるのだろうか。
また、何度かの拡張のたびにメガミは増えてきた。それに伴って組合せの数がどのように増えてきたかを見てみよう。

組み合わせの計算

(具体的な数値での計算はこちらの記事をご覧ください。以下の文字による議論よりはわかりやすいと思います。)

バージョンを $i$ 種類持っているメガミの数を $x_{i}$ とする。

バージョン数 $i$ 種類 $\times$ バージョン数 $j$ 種類のメガミで双掌繚乱するときの組合せを考える。

(i) $i \neq j$ のとき
まず、メガミの組合せは $x_{i} x_{j}$ 通りある。このそれぞれに対して、 $i j$ 通りのバージョンの組み合わせがある。よって $i j x_{i} x_{j}$ 通りの組合せがある。

(ii) $i = j$ のとき
メガミの組合せは $_{x_{i}} C_{2}$ 通りあり、このそれぞれに対して、 $i^{2}$ 通りのバージョンの組合せがある。よって $_{x_{i}} C_{2} i^{2}$ 通りの組合せがある。

したがって、現在は3種類のバージョンを持つメガミが最大だから、

$\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{2} \sum_{j = i + 1}^{3} i j x_{i} x_{j} + \sum_{i = 1}^{3}_{x_{i}} C_{2} i^{2} & = 2 x_{1} x_{2} + 3 x_{1} x_{3} + 6 x_{2} x_{3} +_{x_{1}} C_{2} + 4_{x_{2}} C_{2} + 9_{x_{3}} C_{2} 通り \end{aligned}$