x↑↑nの不定積分は何になるか
動機
ぬるのぬ氏からこんなのが出てた.
これを一般化します
結果
$$
\int x \uparrow \uparrow t dx = \sum_{n_1=0}^\infty\sum_{n_2=0}^\infty \cdots \sum_{n_{t-1}=0}^\infty \biggr( \prod_{k=1}^{t-1}\biggr( \frac{n_k^{n_{k+1}}}{n_k!}\biggr) I_{n_{n-1},\sum^{t-1}_{i=1} (n_i) } \biggr) + C
$$
ここで$I_{n.m}$は
$$
I_{n,m} = \int x^n \log^m(x) dx =^? \sum_{k=0}^m \biggl( \frac{m!x^{n+1}\log^{m-k}(x)}{(n+1)^{k+1}(m-k)!} \biggr)
$$
導出
\begin{eqnarray}
\int x\uparrow\uparrow t dx
&=& \int \exp{(x\uparrow \uparrow (t-1) \cdot \log{(x)})} \\
&=& \int \sum_{n_1=0}^\infty \frac{1}{n_1!} (x\uparrow \uparrow (t-1) \cdot \log{(x)})^{n_1} \\
&=& \int \sum_{n_1=0}^\infty \sum_{n_2=0}^\infty \frac{1}{n_1!n_2!} (x\uparrow \uparrow (t-2) \cdot \log{(x)})^{n_1+n_2}\\
&=& \sum_{n_1=0}^\infty\sum_{n_2=0}^\infty \cdots \sum_{n_{t-1}=0}^\infty \biggr( \prod_{k=1}^{t-1}\biggr( \frac{n_k^{n_{k+1}}}{n_k!}\biggr) I_{n_{n-1},\sum^{t-1}_{i=1} (n_i) } \biggr)\\
&&ここでIを\int x^n \log^m(x) dxとする\\
I_{n,m} &=& \int x^n \log^m(x) dx =^? \sum_{k=0}^m \biggl( \frac{m!x^{n+1}\log^{m-k}(x)}{(n+1)^{k+1}(m-k)!} \biggr) + C
\end{eqnarray}
導出終わり
適当なので間違ってたら教えてくれると嬉しいです
追記:積分定数忘れてた
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