x↑↑nの不定積分は何になるか

級数,積分

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動機

ぬるのぬ氏からこんなのが出てた.

x^xの不定積分(byぬるのぬ)

これを一般化します

結果

（証明してない）

$\int x ↑↑ t d x = \sum_{n_{1} = 0}^{\infty} \sum_{n_{2} = 0}^{\infty} \dots \sum_{n_{t - 1} = 0}^{\infty} (\prod_{k = 1}^{t - 1} (\frac{n_{k}^{n_{k + 1}}}{n_{k}!}) I_{n_{n - 1}, \sum_{i = 1}^{t - 1} (n_{i})}) + C$
ここで $I_{n . m}$ は
$I_{n, m} = \int x^{n} \log^{m} (x) d x =^{?} \sum_{k = 0}^{m} (\frac{m! x^{n + 1} \log^{m - k} (x)}{(n + 1)^{k + 1} (m - k)!})$

導出

$\begin{array}{rcl} \int x ↑↑ t d x & = & \int \exp (x ↑↑ (t - 1) \cdot \log (x)) \\ = & \int \sum_{n_{1} = 0}^{\infty} \frac{1}{n_{1}!} (x ↑↑ (t - 1) \cdot \log (x))^{n_{1}} \\ = & \int \sum_{n_{1} = 0}^{\infty} \sum_{n_{2} = 0}^{\infty} \frac{1}{n_{1}! n_{2}!} (x ↑↑ (t - 2) \cdot \log (x))^{n_{1} + n_{2}} \\ = & \sum_{n_{1} = 0}^{\infty} \sum_{n_{2} = 0}^{\infty} \dots \sum_{n_{t - 1} = 0}^{\infty} (\prod_{k = 1}^{t - 1} (\frac{n_{k}^{n_{k + 1}}}{n_{k}!}) I_{n_{n - 1}, \sum_{i = 1}^{t - 1} (n_{i})}) \\ ここで I を \int x^{n} \log^{m} (x) d x とする \\ I_{n, m} & = & \int x^{n} \log^{m} (x) d x =^{?} \sum_{k = 0}^{m} (\frac{m! x^{n + 1} \log^{m - k} (x)}{(n + 1)^{k + 1} (m - k)!}) + C \end{array}$
導出終わり