逆行列の変わった求め方

299

$a, b$ を実数とする．対角成分が $a$ ，その他の成分が $b$ であるような $n$ 次正方行列
$M = (\begin{matrix} a & b & \dots & b \\ b & a & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b & b & \dots & a \end{matrix})$
が正則であるとき，その逆行列 $M^{- 1}$ を求めよ．

$| M |$ を求めさせる問題に比べて，演習書などでこの問題を見る機会がほとんどない気がします．

$A$ を実正方行列， $I$ を単位行列， $k$ を実数， $m$ を $A$ の最小多項式の次数とする. $k I - A$ が正則ならば，次の等式を満たす実数 $x_{0}, x_{1}, \dots, x_{m - 1}$ が存在する．
$(k I - A)^{- 1} = x_{0} I + x_{1} A + \dots + x_{m - 1} A^{m - 1}$

仮定から， $a_{0} I + a_{1} A + \dots + a_{m - 1} A^{m - 1} + A^{m} = O$ をみたす実数 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{m - 1}$ が存在する．ここで，次の方程式を考える．
$(\begin{matrix} k & 0 & 0 & \dots & 0 & a_{0} \\ - 1 & k & 0 & \dots & 0 & a_{1} \\ 0 & - 1 & k & \dots & 0 & a_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & k & a_{m - 2} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & - 1 & k + a_{m - 1} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{0} \\ x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{m - 2} \\ x_{m - 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$
この方程式の係数行列の行列式は
$| \begin{matrix} k & 0 & \dots & 0 & a_{0} \\ - 1 & k & \dots & 0 & a_{1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & k & a_{m - 1} \\ 0 & 0 & \dots & - 1 & 1 \end{matrix} | = a_{0} + a_{1} k + \dots + a_{m - 1} k^{m - 1} + k^{m}$ に等しく，これは $| k I - A |$ の因数だから， $k I - A$ が正則ならばこの係数行列は正則である．よって，上記の方程式は一意的な解を持つ．また，そのような $x_{0}, x_{1}, \dots, x_{m - 1}$ に対して
$\begin{aligned} (k I - A) (x_{0} I + x_{1} A + \dots + x_{m - 1} A^{m - 1}) \\ = k x_{0} I + k x_{1} A + \dots + k x_{m - 1} A^{m - 1} - x_{0} A - x_{1} A^{2} - \dots - x_{m - 1} A^{m} \\ = (k x_{0} + a_{0} x_{m - 1}) I + (- x_{0} + k x_{1} + a_{1} x_{m - 1}) A + \dots + (- x_{m - 2} + k x_{m - 1} + a_{m - 1} x_{m - 1}) A^{m - 1} \\ = I \end{aligned}$
が成り立つ．

上の補題の $k I - A$ を $k I + A$ に置き換えても同様のことが言えるので，こちらを使う．まず，
$| M | = | \begin{matrix} a + (n - 1) b & b & \dots & b \\ a + (n - 1) b & a & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a + (n - 1) b & b & \dots & a \end{matrix} | = | \begin{matrix} a + (n - 1) b & b & \dots & b \\ 0 & a - b & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & a - b \end{matrix} | = (a + (n - 1) b) (a - b)^{n - 1}$
であるから， $M$ が正則となるのは $a \neq b$ かつ $a + (n - 1) b \neq 0$ のとき．また，すべての成分が $b$ である $n$ 次正方行列を $X$ とすると
$\begin{aligned} M = (a - b) I + X, \\ X^{2} = n b X \end{aligned}$
が成り立つ．よって， $M$ が正則ならば，補題１により
$((a - b) I + X) (x_{0} I + x_{1} X) = I$
を満たす $x_{0}, x_{1}$ が存在する．左辺を展開すると
$(a - b) x_{0} I + (a - b) x_{1} X + x_{0} X + x_{1} X^{2} = (a - b) x_{0} I + (x_{0} + (a + (n - 1) b) x_{1}) X .$
ゆえに
$x_{0} = \frac{1}{a - b}, x_{1} = - \frac{1}{(a - b) (a + (n - 1) b)}$
とわかる．以上から
$\begin{aligned} M^{- 1} & = \frac{1}{a - b} I - \frac{1}{(a - b) (a + (n - 1) b)} X \\ = \frac{1}{(a - b) (a + (n - 1) b)} (\begin{array}{c} a + (n - 2) b & - b & \dots & - b \\ - b & a + (n - 2) b & \dots & - b \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ - b & - b & \dots & a + (n - 2) b \end{array}) \end{aligned}$
を得る．

上の問題のように，補題１は $A$ の最小多項式が求めやすいとき（ $A$ がべきゼロのときなど）に活躍します．以下に，関連する問題をいくつか載せておきます．

正方行列 $A$ が $A^{3} = 2 A + I$ を満たすとき， $I - A$ の逆行列を $I, A, A^{2}$ の線形結合で表せ．

解答

$(I - A) (\frac{1}{2} I - \frac{1}{2} A - \frac{1}{2} A^{2}) = I$ より
$(I - A)^{- 1} = \frac{1}{2} I - \frac{1}{2} A - \frac{1}{2} A^{2} .$

$A$ をべき等行列（ $A^{2} = A$ が成り立つ）とする．
（１） $A \neq O$ ならば $I - A$ は正則でないことを示せ．
（２） $- 1$ を除くすべての実数 $k$ に対して $I + k A$ が正則であることを示し，逆行列 $(I + k A)^{- 1}$ を $I, A, k$ で表せ．

解答

（１） $I - A$ が正則ならば，ある行列 $X$ が存在して $I = (I - A) X$ を満たす．この両辺に左から $A$ をかければ， $A = (A - A^{2}) X$ つまり $A = O$ がいえる．
（２） $(I + k A) (I - \frac{k}{k + 1} A) = I$ より $I + k A$ は正則で， $(I + k A)^{- 1} = I - \frac{k}{k + 1} A .$

$A$ の最小多項式（最高次の係数が１のもの）に $k$ を代入したものを $p (k) = a_{0} + a_{1} k + \dots + a_{m - 1} k^{m - 1} + a_{m} k^{m}$ とする． $k I - A$ が正則ならば
$(k I - A)^{- 1} = \sum_{0 \leq i \leq j \leq m - 1} \frac{a_{j + 1} k^{j - i}}{p (k)} A^{i}$
が成り立つことを示せ．