トレース作用素の全射性(円盤バージョン)
トレース作用素とは
ユークリッド空間$\mathbb{R}^n$内のなめらかな境界を持つ有界領域$\Omega$とその境界$S$を考える。
このとき、$C^1(\overline{\Omega})$の各元$u$に対して、その境界の値$u|_S$を考えることができる。
この作用素$T\colon C^1(\overline{\Omega}) \to C(S)$は次の性質を満たしている:
ある定数$C>0$が存在して、
\begin{equation}
\int_S |u|^2 \leq C \lVert u \rVert_{H^1(\Omega)}
\end{equation}
が成り立つ。
ただしここで$H^1(\Omega)$を$1$階のSobolev空間
\begin{equation}
H^1(\Omega) = \left\{ u \in L^2(\Omega);\, \partial_j u \in L^2(\Omega) \quad (1\leq \forall j \leq n) \right\}
\end{equation}
として、$u, v \in H^1(\Omega)$に対して内積およびノルムを
\begin{align}
\langle u| v\rangle_{H^1(\Omega)} &= \langle u| v\rangle_{L^2(\Omega)} + \int_\Omega \nabla u \cdot \overline{\nabla v}, \\
\lVert u \rVert_{H^1(\Omega)} &= \langle u| u\rangle_{H^1(\Omega)},
\end{align}
で定めているものとする(これにより$H^1(\Omega)$はHilbert空間となる)
この性質により、$T$は$H^1(\Omega) \to L^2(S)$という作用素に連続拡張できることが知られている。
これはトレース作用素と呼ばれている。
このトレース作用素は、その定義からもわかるように、ある程度の正則性をもった関数の境界値を与えているとも言えよう。
トレース作用素の全射性(半空間バージョン)
よく知られているトレース作用素の全射性の結果のみを、全空間上$s$階のSobolev空間の定義等を省いて紹介する:
$n\geq 2,\, s>1/2$に対して、制限写像
\begin{equation}
\gamma \colon \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\to \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n-1}); \, \varphi \mapsto \varphi((0, \bullet_1 , \cdot, \bullet_{n-1}))
\end{equation}
は全射$H^s(\mathbb{R}^n) \to H^{s-1/2}(\mathbb{R}^{n-1})$へ連続に拡張される。
ここで$\mathcal{S}$はSchwartz空間を表す
これはPDEで境界値問題を考える際に重要である。
この定理の証明では、フーリエ変換の基本的な性質である投影・切断の関係性を用いて$\gamma$のSobolevノルムにおける有界性を示し、全射性は$C_c^\infty(\mathbb{R})$を用いて$H^{s-1/2}(\mathbb{R}^{n-1})$の元から周波数領域上で具体的に構成する。
主張
以降では$\Omega$を$\mathbb{R}^2$内の単位円盤$\mathbb{D}$として、その境界$S$は円周$\mathbb{T}$であるものとする。
本題に入る前にある空間の定義を加える:
$L^2(\mathbb{T})$の元$f$のフーリエ係数を$\hat{f}(\kappa) \quad (\kappa \in \mathbb{Z})$で表すものとする。
実数$s>0$に対して、$L^2(\mathbb{T})$の部分空間$H^s(\mathbb{T})$を
\begin{equation}
H^s(\mathbb{T}) = \left\{ f \in L^2(\mathbb{T}) ;\, \sum_{\kappa \in \mathbb{Z}} (1+|\kappa|^2)^s |\hat{f}(\kappa)|^2 < \infty \right\}
\end{equation}
として定めて、その内積を$f, g \in H^s(\mathbb{T})$に対して
\begin{equation}
\langle f| g \rangle_{H^s(\mathbb{T})} = \sum (1+|\kappa|^2)^s \hat{f}(\kappa) \overline{\hat{g}(\kappa)}
\end{equation}
で定める。
このとき、以下が成り立つ:
トレース作用素は作用素$H^1(\mathbb{D}) \to H^{1/2}(\mathbb{T})$を定め、これは全射である。
これを示す際に重要な要素として、以下の調和関数からなる直交系がある:
$m \in \mathbb{Z}$に対して
\begin{align}
e_m(x, y) =
\left\{
\begin{array}{l}
(x+iy)^m \quad &(m \geq 0)\\
(x-iy)^{|m|} \quad &(m < 0)
\end{array}
\right. \quad ((x, y) \in \mathbb{D}),
\end{align}
と定義する。ただし$i$は虚数単位を表す
これらはいずれも$z=x+iy$と複素変数で考えた際に、正則関数であるか複素共役が正則関数であるため、すべて$\mathbb{D}$上調和である。
簡単な計算(極座標変換)により、これらが$H^1(\mathbb{D})$内で直交系であることと、
\begin{align}
\lVert e_m \rVert_{L^2(\mathbb{D})} &= \sqrt{\frac{\pi}{|m|+1}} \\
\nabla e_m &= \left\{
\begin{array}{l}
me_{m-1} \left(
\begin{array}{c}
1 \\
i
\end{array}
\right) \quad &(m > 0)\\
0 \quad &(m=0) \\
|m|e_{-(|m|-1)} \left(
\begin{array}{c}
1 \\
-i
\end{array}
\right) \quad &(m < 0)
\end{array}
\right. \\
\lVert e_m \rVert_{H^1(\mathbb{D})} &\simeq \sqrt{|m|}
\end{align}
であることがわかる。
とくに、以下が成り立つ:
$ \sum_m c_m e_m$の$H^1(\mathbb{D})$内での収束と$\sum_m (1+|m|^2)^{1/2} |c_m|^2<\infty$は同値である。
ここで(Dirichlet原理に関係する)一つの事実を認める:
$H^1(\mathbb{D})$内の調和関数全体を$W$とあらわす。
また、$H^1(\mathbb{D})$における$C_c^\infty(\mathbb{D})$の閉包を$H^1_0(\mathbb{D})$とあらわす。
このとき、$H^1(\mathbb{D}) = H^1_0(\mathbb{D}) + W$がなりたつ。
$H^1_0(\mathbb{D})$の定義とトレース作用素の定義から、$H^1_0(\mathbb{D})$の元のトレースはすべて$0$である点に注目されたい。
よって、トレース作用素の像について考える場合、調和関数の空間$W$のみを考えれば十分となる。
この$W$については、今しがた定義した$(e_m)_m$によって張られることがわかる:
\begin{equation} W \subset \overline{ \operatorname{span}\{ e_m\}_m } \end{equation}
各$w \in W$について、($H^1(\mathbb{D})$のノルムの定め方と、調和関数の定義より)$\Re(w), \Im(w) \in W$であるため、$w$が実数値の場合のみ示せば十分である。
$\mathbb{D}$を複素平面内の領域とみなしたとき、単連結領域$\mathbb{D}$上の実調和関数の性質により、$\mathbb{D}$上の正則関数$f=f(x+iy)$で$w = \Re(f)$となるものが存在する。
$f$はその正則性より、$\mathbb{D}$上$f$に広義一様収束するTaylor級数展開
\begin{equation}
f(x+iy) = \sum_{m \geq 0} c_m e_m \quad (c_m \in \mathbb{C})
\end{equation}
をもつ。
また、その微分
\begin{equation}
\nabla f(x+iy) = \sum_{m \geq 0} c_m \nabla e_m
\end{equation}
についても$\mathbb{D}$上広義一様収束していることに注意する。
すると、
\begin{equation}
\begin{split}
\langle w| e_m \rangle_{L^2(\mathbb{D})}
&=\iint_{\mathbb{D}} w(x+iy) e_m(x+iy)dxdy \\
&=\iint_{\mathbb{D}} \frac{f(x+iy)+\overline{f(x+iy)}}{2} \overline{e_m(x+iy)} dxdy \\
&= \int_0^1 \int_0^{2\pi} \frac{f(re^{i\theta})+\overline{f(re^{i\theta})}}{2} \overline{e_m(re^{i\theta})} rd\theta dr \\
&= \int_0^1 \int_0^{2\pi} \sum_{k \geq 0} \frac{c_k r^k e^{ik\theta}+\overline{c_k} r^k e^{-ik\theta}}{2} r^m e^{im\theta} rd\theta dr \\
&= \int_0^1 \sum_{k \geq 0} \int_0^{2\pi} \frac{c_k r^k e^{ik\theta}+\overline{c_k} r^k e^{-ik\theta}}{2} r^m e^{im\theta} rd\theta dr \\
&= \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle{2\pi \int_0^1 \frac{c_m}{2} r^{2m+1} dr} \quad &(m > 0)\\
\displaystyle{2\pi \int_0^1 \frac{c_0 + \overline{c_0}}{2}rdr} \quad &(m=0)\\
\displaystyle{2\pi \int_0^1 \frac{\overline{c_{-m}}}{2} r^{2|m|+1} dr} \quad &(m < 0)
\end{array}
\right. \\
&= \frac{\pi}{|m|+1}\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle{\frac{c_m}{2}} \quad &(m > 0)\\
\displaystyle{\frac{c_0 + \overline{c_0}}{2}} \quad &(m=0)\\
\displaystyle{\frac{\overline{c_{-m}}}{2}} \quad &(m < 0)
\end{array}
\right. \\
&= \lVert e_m \rVert_{L^2(\mathbb{D})}^2 \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle{\frac{c_m}{2}} \quad &(m > 0)\\
\displaystyle{\frac{c_0 + \overline{c_0}}{2}} \quad &(m=0)\\
\displaystyle{\frac{\overline{c_{-m}}}{2}} \quad &(m < 0)
\end{array}
\right.
\end{split}
\end{equation}
(途中の積分と無限和の交換は広義一様収束性を用いた)である。
よってPythagorasの定理を用いた標準的な議論により
\begin{equation}
\sum_{m\geq 0} \frac{c_m e_m + \overline{c_m}e_{-m}}{2}
\end{equation}
の$L^2(\mathbb{D})$内での収束がわかる。
全く同様の計算を$\nabla f$に対して行うことにより、$H^1(\mathbb{D})$内での収束もわかる。
$f$のTaylor級数展開より、これは$w$に$\mathbb{D}$上広義一様収束するため、$H^1(\mathbb{D})$内での収束先も$w$である。
よって$w \in \overline{ \operatorname{span}\{ e_m\}_m }$である。
この$(e_m)_m$とそれにより張られる空間の元について、トレースが$L^2(\mathbb{T})$におけるフーリエ級数となる点が今回のポイントの一つである:
$\displaystyle\sum_m c_m e_m \quad (c_m \in \mathbb{C})$が$H^1(\mathbb{D})$内で収束しているとき、その収束先のトレースは$\displaystyle\sum_m c_m e^{im\theta}$であり、さらにこれは$H^{1/2}(\mathbb{T})$の元である。
トレース作用素は$C^1(\overline{\mathbb{D}})$上の制限写像の連続拡張で定義していたため、
\begin{equation}
\left.\left( \sum_{|m|\leq N} c_m e_m \right)\right|_{\mathbb{T}} = \sum_{|m|\leq N} c_m e^{im\theta} \to \left. \left( \sum_m c_m e_m \right)\right|_{\mathbb{T}} \quad (N\to\infty , \, \text{in $L^2(\mathbb{T})$})
\end{equation}
で、convergeequiより
\begin{equation}
\sum_{|m|\leq N} c_m e^{im\theta} \to (N\to\infty , \, \text{in $L^2(\mathbb{T})$})
\end{equation}
であるため、前半の主張を得る。再びconvergeequiより二つ目の主張を得る。
harmonicspanとtraceseriesより、$W$の元のトレースはすべて$H^{1/2}(\mathbb{T})$の元である。
するとAboutDirichletPriより$H^1(\mathbb{D})$の元のトレースについてもこれが言える。
traceseriesとconvergeequiより、全射性がわかる。
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