院解12 京大数学系 H25 数学I 5 複素関数の広義積分

この積分がわからんくて近所の人に当たり散らしてもうた。どないしよう
「積分はさておき、当たり散らしたことは謝って周るしかないな。ほな、積分みていこか。教えて、㌧㌧〜」

$f (z) = \frac{exp i a (z - i b)}{(z - i b)^{n}}$ とおく. $R > 4 b$ として図のような積分路をとる.

経路のうち実軸上の部分,円周の一部になっている部分をそれぞれ $L_{1}, L_{2}$ とおく.
$| \int_{L_{2}} f (z) d z | \leq \int_{L_{2}} | f (z) | | d z | = \int_{0}^{1} | \frac{exp (i a (R e^{i π t} - i b))}{(R e^{i π t} - i b)^{n}} | \cdot R d t$
$\leq \int_{0}^{1} \frac{e^{a b} e^{- a R sin π t}}{(R^{2} - 2 b R sin π t + b^{2})^{\frac{n}{2}}} \cdot R d t \leq \frac{e^{a b}}{{(\frac{\sqrt{3}}{2} R)}^{n - 1}} \to 0, (R \to \infty)$ .
留数定理から
$\int_{L_{1}} f (z) d z + \int_{L_{2}} f (z) d z = 2 π i Res (f, i b)$ ここで $R \to \infty$ として
$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{exp (i a (x - i b))}{(x - i b)^{n}} d x = 2 π i Res (f, i b)$ . $i b$ は $n$ 位の極だから
$Res (f, i b) = lim_{z \to i b} \frac{d^{n - 1}}{d z^{n - 1}} exp (i a (z - i b)) = (i a)^{n - 1}$ .よって
$(与式) = 2 π i (i a)^{n - 1}$ . $◻$