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現代数学解説
文献あり

超Lebesgue積分の定義と基本的な定理

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$$\newcommand{id}[0]{\mathrm{id}} \newcommand{ilim}[1]{\displaystyle \lim_{\stackrel{\longrightarrow}{#1}}} \newcommand{qinteg}[0]{\displaystyle \:\cancel{^{}}\!\!\!\:\:\:\llap{\int}} $$

この記事は, 7777777 氏によるタグ 超微分 に関連しています.

はじめに

前の記事 で超Riemann積分を定義した.超Riemann積分は一般のRiemann積分同様に極限の操作に弱い.そこで極限操作に強いLebesgue積分の構成方法をもとにして超Lebesgue積分を定義してみたいと思う.
さて,外測度の演算のレベルをあげ開区間$I=(a,b)$の測度を$ \frac{b}{a} $と定義したいところだが,明らかに測度空間にならない.ゆえに,測度論の議論は使えない.ただ,ideaはLebesgue積分の構成方法を使う.
後で見るようにLebesgue可測集合に対応したものは$ \sigma $-加法族になる.ゆえに可測関数等の議論はそのまま使える.参考文献[S19]の2B節を参照してほしい.
定義から明らかなとき,通常の測度論での証明と似通った議論となるとき,証明は省略する.

時間がなかったため,メモ書きのようになってしまいましいました.せめて目的の定理25,26を見ていただけると幸いです.時間が空いた時に随時ちゃんとしたものに更新していきます.
$\mathbb{R}_{>0}:=(0,\infty)$とする.

Ratio Measur

Outer Ratio Measure

超積分においては変換$E:(x,y)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow(e^x,e^y)\in\mathbb{R}_{>0}\times\mathbb{R}_{>0}$の図形的な変換ではなく,量的な変換とみなすのが自然であった.そのことをもとに部分集合の演算のレベルをあげたmeasureを定義してみよう.

開区間の比

$I=(a,b)$$ \mathbb{R}_{>0}$の開区間とする. 開区間の比$r(I)$$ \frac{b}{a} $と定義する.
$a=0$または$b=\infty$のとき,$r(I)=\infty$と定め,$I=\emptyset$のとき$r(I)=1$と定める.

比率外測度(Outer ratio measure)

$\mathbb{R}_{>0}$の部分集合$A$の比率外測度(outer ratio measure) $\rho(A)$
$$\varrho (A)=\inf \left\lbrace \prod_{k=1}^{\infty} r(I_k) \mid A\subset \bigcup_{k = 1}^\infty I_k \right\rbrace $$
と定義する.ここで$I_k$$\mathbb{R}_{>0}$の開区間.

$\varrho$は測度にはならないが,通常の外測度と同じような議論が可能である.以下それを見ていく.

$\mathbb{R}_{>0}$のすべての可算集合の比率外測度は$1$である.

$A=\{a_1,a_2, \cdots\}$$\mathbb{R}_{>0}$の可算部分集合とする.任意に$ \varepsilon>1 $を取る.各$k=1,2,\cdots$に対し,$I_k=(a_k,a_k \varepsilon^{ \frac{1}{2^k} })$とおく.
すると,$I_k$の和集合は$A$を含む.また,$\displaystyle \varrho (A) \leq \prod_{k=1}^{\infty} r(I_k) =\varepsilon$であるため,$\varrho (A)=1 $を得る.

$A_1,A_2, \cdots $$\mathbb{R}_{>0}$の部分集合の列とする.このとき,$\displaystyle \varrho \left( \bigcup_{k = 1}^\infty A_k \right) \leq \prod_{k=1}^{\infty} \varrho (A_k) $が成り立つ.

$k \in \mathbb{N} $に対し$\varrho (A_k)=\infty$のとき,不等式は明らかに成り立つので,以下各$k \in \mathbb{N} $に対し$\varrho (A_k)<\infty$と仮定する.
任意に$ \varepsilon>1 $を取る.各$k \in \mathbb{N} $に対し開区間$I_{1,k},I_{2,k},\cdots$を,その開区間の和集合は$A_k$を含み,
$\displaystyle\prod_{j=1}^{\infty} r(I_{j,k}) \leq\varrho (A_k) \varepsilon^{ \frac{1}{2^k} } $
を満たすように取れる.
集合族$\{I_{j,k}\}_{j,k}$を適切に並び替えて,その和集合を$\displaystyle\bigcup_{k = 1}^\infty A_k $を含むようにできて,
$ \displaystyle \varrho \left( \bigcup_{k = 1}^\infty A_k \right) \leq\prod_{k=1}^{\infty}\prod_{j=1}^{\infty} r(I_{j,k}) \leq\prod_{k=1}^{\infty}\varrho (A_k) \varepsilon^{ \frac{1}{2^k} } =\varepsilon\prod_{k=1}^{\infty}\varrho (A_k) $.
となる.
よって$\displaystyle \varrho \left( \bigcup_{k = 1}^\infty A_k \right) \leq \prod_{k=1}^{\infty} \varrho (A_k) $が示せた.

$A$$B$$\mathbb{R}_{>0}$の部分集合とし、$A \subset B$を満たすとする.この時,$\varrho (A) \leq \varrho (B) $である.

Scaling

$\mathbb{R}_{>0}$の部分集合$A$と非負実数$t$が与えられたとき,$A$$t$による拡大を
$ tA:=\{ta\mid a\in A \}$
で定義する.

$A\subset \mathbb{R}_{>0}$$t\in \mathbb{R}_{>0}$が与えられている時,$\varrho (tA)=\varrho (A)$である.

$a,b\in \mathbb{R}_{>0}$$a< b$となるように取る時,$\varrho ([a,b])= \frac{b}{a} $を満たす.

次の定理の証明には選択公理を使う.

次を満たす$\mathbb{R}_{>0}$の交わりを持たない部分集合$A$$B$ が存在する.
$\varrho (A\cup B)\not=\varrho (A)\cdot\varrho (B)$

$a\in[1,2]$に対し,集合$C_a$$C_a:=\{c\in[1,2]\mid \frac{a}{c}\in \mathbb{Q} \}$と定義する.もし$a,b\in[1,2]$かつ$C_a\cap C_b\not=\emptyset$なら$C_a=C_b$である.明らかに$\displaystyle [1,2]= \bigcup_{a\in[1,2]}C_a $.
$V$を各$a\in[1,2]$に対して,集合$V\cap C_a$の要素がただ一つになるようにとる.この集合の存在は選択公理から従う.
$r_1,r_2,\cdots\in[1,3]\cap \mathbb{Q}$を取ると,$\displaystyle [1,2]\subset \bigcup_{k=1}^\infty r_kV $を満たす.すなわち$\displaystyle 2 \leq \prod_{k=1}^{\infty} \varrho (V) $なので$\varrho (V)>1$である.
集合$r_1V,r_2V,\cdots$は交わりを持たず,$V\subset [1,2]$であることに注意する.
任意の$n\in \mathbb{N} $に対し,明らかに$\displaystyle \bigcup_{k=1}^n r_kV\subset [1,6]$となるので$\displaystyle\varrho \left( \bigcup_{k=1}^n r_kV \right) \leq 6$が言える.
よって$n\in \mathbb{N} $$ \varrho (V)^n>6$となるように取ると,
$\displaystyle\varrho \left( \bigcup_{k=1}^n r_kV \right) < \varrho (V)^n=\prod_{k=1}^{n} \varrho (r_kV)$
が従う.

通常の外測度も任意の交わりを持たない部分集合に対して加法性が成り立たなかった.そこで加法性が成り立つように集合を集めるというのがLebesgue可測の考え方だった.このideaに則る.

Lebesgue Ratio Measurable Set

$\mathbb{R}_{>0}$の位相は実数での通常の位相の相対位相として定める.

$A$$G$を互いに素な$\mathbb{R}_{>0}$ の部分集合で,$G$は開集合とする.この時,$\varrho (A\cup G)=\varrho (A)\cdot\varrho (G)$を満たす.

$A$$F$を互いに素な$\mathbb{R}_{>0}$ の部分集合で,$F$は開集合とする.この時,$\varrho (A\cup F)=\varrho (A)\cdot\varrho (F)$

集合族
$ \mathcal{R}:=\{D\subset \mathbb{R}_{>0}\mid \text{for every } \varepsilon>1\text{, there exists a closed set }F\subset D \text{ such that }\varrho (D\setminus F)<\varepsilon \} $
$\sigma$加法族である.

$\emptyset\in\mathcal{R}$$\displaystyle D_1,D_2,\cdots\in\mathcal{R} \Longrightarrow \bigcup_{k=1}^\infty D_k\in\mathcal{R}$は簡単に示せるため.$\mathcal{R}$の元の補集合も$\mathcal{R}$に属することを示す.
まず$D\in\mathcal{R}$$\varrho(D)<\infty$を満たすとする.このとき,任意の$\varepsilon>1 $に対し,ある閉集合$ F\subset D$が存在して$\varrho (D\setminus F)<\sqrt{\varepsilon} $を満たす.比率外測度の定義から$D\subset G$なる開集合$G$が存在して$ \varrho(G) \leq \varrho(D) \sqrt{\varepsilon} $となる.$\mathbb{R}_{>0}\setminus G\subset\mathbb{R}_{>0}\setminus D$は閉集合で,$(\mathbb{R}_{>0}\setminus D)\setminus(\mathbb{R}_{>0}\setminus G)\subset G\setminus F$なので,
$ \varrho ((\mathbb{R}_{>0}\setminus D)\setminus(\mathbb{R}_{>0}\setminus G)) \leq \varrho(G\setminus F)= \frac{\varrho(G)}{\varrho(F)}= \frac{\varrho(G)}{\varrho(D)}\frac{\varrho(D)}{\varrho(F)}=\frac{\varrho(G)}{\varrho(D)}\varrho(D\setminus F)<\varepsilon$
となる.$\varrho(D)=\infty$の時は$D_k:=D\cap[ \frac{1}{k} ,k]$と置けば,比率外測度が有限の場合に帰着できる.

$B\subset \mathbb{R}_{>0}$をBorel集合とする.任意の$ \varepsilon>1 $に対して,ある閉集合$F\subset B $ が存在し,$\varrho (B\setminus F)<\varepsilon $を満たす.

$A$$B$を互いに素な$\mathbb{R}_{>0}$ の部分集合で,$B$をBorel集合とする.この時, $\varrho (A\cup B)=\varrho (A)\cdot\varrho (B)$を満たす.

Lebesgue ratio measurable set

集合$A\subset\mathbb{R}_{>0}$が超Lebesgue可測(Lebesgue ratio measurable)または単に超可測であるとは,あるBorel集合$B\subset A$が存在して$\varrho (B\setminus A)=1 $を満たす時をいう.

集合族$ \mathcal{R}$は超可測な集合を集めた集合族と等しい.

$A\subset\mathbb{R}_{>0}$が超可測のとき,$A\in \mathcal{R}$であることは明らかなので,その逆を示す.
$A\in \mathcal{R}$とする.各$n\in \mathbb{N} $に対し,ある閉集合$F_n\subset A$が存在して$\varrho (A\setminus F_n)<1+ \frac{1}{n} $を満たす.すると
$\displaystyle \varrho\left(A \setminus\bigcup_{k=1}^\infty F_k \right) \leq \varrho (A\setminus F_n)<1+ \frac{1}{n}$
が任意の$n\in \mathbb{N} $で成り立つため,$\displaystyle \varrho\left(A \setminus\bigcup_{k=1}^\infty F_k \right) =0$.閉集合の可算個の和集合はBorel集合なので,$A\subset\mathbb{R}_{>0}$は超可測となる.

$A_1,A_2, \cdots $を互いに交わりを持たない$\mathbb{R}_{>0}$の超可測集合とする.このとき,
$\displaystyle \varrho \left( \bigcup_{k = 1}^\infty A_k \right) = \prod_{k=1}^{\infty} \varrho (A_k) $
を満たす.

$B_1,B_2, \cdots $を互いに交わりを持たない$\mathbb{R}_{>0}$のBorel集合とする.定理9系2から各$n\in \mathbb{N} $に対し,
$\displaystyle \varrho \left( \bigcup_{k = 1}^\infty B_k \right) \geq \varrho \left( \bigcup_{k = 1}^n B_k \right) = \prod_{k=1}^{n} \varrho (B_k) $
なので,$ n\rightarrow \infty$と極限を取り,定理2から$\displaystyle \varrho \left( \bigcup_{k = 1}^\infty B_k \right) = \prod_{k=1}^{\infty} \varrho (B_k) $が分かる.
定義から各$k\in \mathbb{N} $に対し,あるBorel集合$B_k\subset A_k$が存在して$\varrho (B_k\setminus A_k)=1 $を満たす.$B_1,B_2, \cdots $は互いに交わりを持たず,$ \varrho(A_k)=\varrho(B_k\cup(A_k\setminus B_k)) \leq \varrho(B_k)\varrho(A_k\setminus B_k)=\varrho(B_k)$から次が分かる.
$\displaystyle \varrho \left( \bigcup_{k = 1}^\infty A_k \right) \geq \varrho \left( \bigcup_{k = 1}^\infty B_k \right) = \prod_{k=1}^{\infty} \varrho (B_k)= \prod_{k=1}^{\infty} \varrho (A_k) $
よって示された.

Lebesgue ratio measurable space

$\mathbb{R}_{>0}$の超Lebesgue可測集合全体を$\mathcal{R}$とする.組$(\mathbb{R}_{>0},\mathcal{R})$のことを超Lebesgue可測空間(Lebesgue ratio measurable space)または単に超可測空間と呼ぶ.

上で見たように超可測空間は可測空間になるため,可測関数等の議論はそのまま適用できる.

Ratio space

三つの組$(\mathbb{R}_{>0},\mathcal{R},\varrho )$Ratio space と呼ぶ.


習慣的に演算のレベルを上げて考えるものを“超”と付けて読んでいるが,測度の演算のレベルを上げると“Ratio,比率,比”と呼ぶほうが適切に思える.いい呼び方はないだろうか.

Properties of Ratio Space

Ratio spaceの性質を簡単に見ていく.定理12,13,14は通常の測度空間と同じように議論できるため,証明を省略する.

$\mathcal{R}$内の拡大列$E_1\subset E_2\subset\cdots$が与えられている時,
$\displaystyle \varrho \left( \bigcup_{k = 1}^\infty E_k \right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\varrho(E_k) \ $
を満たす.

$\mathcal{R}$内の縮小列$E_1\supset E_2 \supset \cdots$が与えられている時.
$\displaystyle \varrho \left( \bigcap_{k = 1}^\infty E_k \right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\varrho(E_k) \ $
が成り立つ.

$a_1,a_2,\cdots,a_m,b_1,b_2,\cdots,b_n\in(0,\infty]$$A_1,A_2,\cdots,A_m,B_1,B_2,\cdots,B_n\in\mathcal{R}$ が次を満たすように取る.
$\displaystyle \sum_{k=1}^{m}a_k\chi_{A_k}=\sum_{k=1}^{n}b_k\chi_{B_k}$
この時,
$\displaystyle \prod_{k=1}^{m}a_k\varrho(A_k)=\prod_{k=1}^{n}b_k\varrho(B_k)$
となる.

Almost Every

集合$E\in\mathcal{R}$がratio spaceの意味で,$\mathbb{R}_{>0}$$\varrho_r$-almost everyであるとは,$\varrho(X \setminus E)=1$を満たす時である.

次の定理はEgorov's Theoremに相当するものである.証明は同じように議論できるが載せておく.

$E\in\mathcal{R}$$\varrho(E)<\infty$となるように取る.関数の列$ f_1, f_2,\cdots$$E\in\mathcal{R}$から$(0,\infty)$に写る$\mathcal{R}$-可測関数とし,関数$f:E\rightarrow(0,\infty)$$E$上ほとんどいたるところで各点収束すると仮定する.このとき,任意の$ \varepsilon >1$に対し,ある集合$A\in\mathcal{R}$が存在し,$\varrho(E\setminus A)<\varepsilon$を満たす.さらに$ f_1, f_2,\cdots$$A$$f$に一様収束する.

任意に$ \varepsilon >1$を与える.一時的に$n\in \mathbb{N} $を固定する.
$\displaystyle B_n=\bigcap_{m = 1}^\infty \bigcup_{k = m}^\infty \left\{x\in E\mid f_k(x)-f(x) \geq \frac{1}{n} \right\} $
とおく.各点収束の定義から$\varrho(B_n)=1$となる.各$m\in \mathbb{N} $に対し,
$\displaystyle B_{n,m}= \bigcup_{k = m}^\infty \left\{x\in E\mid f_k(x)-f(x)\geq \frac{1}{n} \right\} $
とおく.明らかに$B_{n,1}\supset B_{n,2}\supset\cdots$であるので定理13から$\displaystyle \lim_{m\rightarrow\infty}\varrho(B_{n,m})=\varrho(B_{n})=1 \ $である.なので,ある$N_n\in \mathbb{N} $が存在して$\varrho(B_{n,N_n})<\varepsilon^{ \frac{1}{2^n} }$となる.
今,$\displaystyle B=\bigcup_{n = 1}^\infty B_{n,N_n}$とおく.すると
$\displaystyle\varrho(B)=\varrho \left(\bigcup_{n = 1}^\infty B_{n,N_n} \right) \leq \prod_{k=1}^{\infty} \varrho (B_{n,N_n})=\varepsilon$
である.$A=E\setminus B$とおく.$ f_1, f_2,\cdots$$f$$A$上一様収束することを示そう.
任意に$\varepsilon'>0$をおく.$ \frac{1}{n}<\varepsilon' $を満たす$n\in \mathbb{N} $をとる.すると$A\subset E\setminus B_{n,N_n}$から各$k \geq N_n$で任意の$x\in A$$ f_k(x)-f(x)<\frac{1}{n}<\varepsilon'$が言える.よって$ f_1, f_2,\cdots$$f$$A$上一様収束する.

Ratio Integral

ようやく超Lebesgue積分を定義できる.ここでは超Lebesgue積分の簡単な性質と目標の極限操作に強い性質があることを見ていく.

Definition and Properties of Ratio Integral

Partition

$\mathbb{R}_{>0}$の分割(partition)とは,有限個の$\mathcal{R}$内の互いに素な集合からなり,$A_1\cup\cdots\cup A_m=\mathbb{R}_{>0}$ を満たすようなものである.

Lower Lebesgue Product

$f:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow (0,\infty]$$\mathcal{R}$-可測関数とし,$P$$\mathbb{R}_{>0}$の分割$A_1,A_2,\cdots,A_m$を取る.下Lebesgue積(lower Lebesgue product)$\mathscr{P}(f,P)$を次で定義する.
$\displaystyle\mathscr{P}(f,P):= \prod_{j=1}^{n}\varrho (A_j)^{\inf_{A_j}f} $.

Ratio Integral of a Function

$f:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow (0,\infty]$$\mathcal{R}$-可測関数とする.この時,$f$$\varrho $による超Lebesgue積分,$ \qinteg f\ \mathrm{q}\varrho $と書く,を次で定義する.
$ \qinteg f\ \mathrm{q}\varrho :=\sup\{\mathscr{P}(f,P)\mid P\text{ is a partition of }\ \mathbb{R}_{>0}\}$.

$\chi_E$を部分集合$E$の定義関数とする.

$E\in\mathcal{R}$に対して,
$ \qinteg \chi_E\ \mathrm{q}\varrho =\varrho(E)$.

$E_1,E_2,\cdots,E_m$を互いに素な$\mathcal{R}$の元とし,$c_1,c_2,\cdots,c_m\in(0,\infty]$が与えられている時,
$ \qinteg \left( \sum_{k=1}^{m}c_k\chi_{E_k} \right) \ \mathrm{q}\varrho =\prod_{k=1}^{m}\varrho (E_k)^{c_k}$
を満たす.

$c_1,c_2,\cdots,c_m\in(0,\infty]$$E_1,E_2,\cdots,E_m\in\mathcal{R}$が与えられているとする.この時,
$ \qinteg \left( \sum_{k=1}^{m}c_k\chi_{E_k} \right) \ \mathrm{q}\varrho =\prod_{k=1}^{m}\varrho (E_k)^{c_k}$
を満たす.

$f:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow (0,\infty]$$\mathcal{R}$-可測関数とする.この時次を満たす.
$\begin{align} \qinteg f \ \mathrm{q}\varrho=\sup\{ \prod_{j=1}^{m}\varrho(A_j)^{c_j}\mid A_1,A_2,\cdots,A_m \text{ are disjoint sets in }\mathcal{R},\\ c_1,c_2,\cdots,c_m\in(0,\infty),\text{and}\\ f(x) \geq \sum_{j=1}^{m}c_j\chi_{A_j}(x) \text{ for every }x\in\mathbb{R}_{>0} \}. \end{align}$

$f,g:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow (0,\infty]$$\mathcal{R}$-可測関数とし,$c\in\mathbb{R}_{>0}$を取る.この時次を満たす.

  1. $ 1\leq \qinteg f \ \mathrm{q}\varrho $
  2. $ \qinteg f \ \mathrm{q}\varrho\leq \qinteg g \ \mathrm{q}\varrho $
  3. $ \qinteg f+g \ \mathrm{q}\varrho=\qinteg f \ \mathrm{q}\varrho\cdot \qinteg g \ \mathrm{q}\varrho $
  4. $ \qinteg cf \ \mathrm{q}\varrho= \left( \qinteg f \ \mathrm{q}\varrho\right)^c $

$\mathbb{R}_{>0}$ から$(0,\infty]$に向かう$\mathcal{R}$-可測関数の増加列$0\leq f_1\leq f_2\leq\cdots$が与えられているとする.
$f:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow (0,\infty]$$\displaystyle f(x)=\lim_{k\rightarrow\infty}f_k(x)$とした時,次を満たす.
$\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}\qinteg f_k \ \mathrm{q}\varrho =\qinteg f \ \mathrm{q}\varrho$

互いに素な$\mathcal{R} $の元$A_1,A_2,\cdots,A_m$$c_1,c_2,\cdots,c_m\in(0,\infty)$が任意の点$x\in\mathbb{R}_{>0}$$\displaystyle f(x) \geq \sum_{j=1}^{m}c_j\chi_{A_j}(x)$を満たすように取る.
$t\in(0,1)$を取る.各$k\in \mathbb{N} $に対し,
$\displaystyle E_k= \lbrace x\in\mathbb{R}_{>0} \mid f_k(x) \geq t\sum_{j=1}^{m}c_j\chi_{A_j}(x) \rbrace $
と置く.すると,$E_1\subset E_2\subset\cdots$$\mathcal{R}$の元の増加列で,その和集合は$\mathbb{R}_{>0}$と等しい.なので各$k\in \mathbb{N} $に対して$\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}\varrho(A_j\cap E_k)= \varrho(A_j)\ $ が成り立つ.
また,各$k\in \mathbb{N} $に対し$ \displaystyle\qinteg f_k \ \mathrm{q}\varrho \geq \left( \prod_{j=1}^{m}\varrho(A_j \cap E_k)^{c_j} \right)^t $を得る.
この不等式の両辺に$k\to \infty$と極限を取ると,
$ \displaystyle\lim_{k\rightarrow\infty}\qinteg f_k \ \mathrm{q}\varrho \geq \left( \prod_{j=1}^{m}\varrho(A_j)^{c_j} \right)^t $
を得る.今,$t$を下から$1$に近づける極限を取ると,
$ \displaystyle\lim_{k\rightarrow\infty}\qinteg f_k \ \mathrm{q}\varrho \geq \prod_{j=1}^{m}\varrho(A_j)^{c_j} $
を得る.よって$ \displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}\qinteg f_k \ \mathrm{q}\varrho \geq \qinteg f \ \mathrm{q}\varrho$を得るので,証明が完了する.

Dominated Convergence Theorem of Ratio Integral

Ratio Integral on a Subset

Suppose $f:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow (0,\infty]$ is an$\mathcal{R}$-measurable function and$E\in\mathcal{R}$.$ \qinteg_{E} f\ \mathrm{q}\varrho $, is defined by
$ \qinteg_{E} f\ \mathrm{q}\varrho :=\qinteg \chi_Ef\ \mathrm{q}\varrho $
if the right side of the equation above is defined; otherwise$ \qinteg_{E} f\ \mathrm{q}\varrho $ is undefined.

Suppose $E\in\mathcal{R}$ and$f:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow (0,\infty]$ is a function such that $ \qinteg_{E} f\ \mathrm{q}\varrho $ is defined. Then
$ \qinteg_{E} f\ \mathrm{q}\varrho \leq \varrho(E)^{\inf_{E}f}$

Suppose $g:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow (0,\infty]$is an$\mathcal{R}$-measurable function such that $ \qinteg g\ \mathrm{q}\varrho <\infty$. Then for every$ \varepsilon >1$, there exists$\delta>1$ such that$ \qinteg_{B} g\ \mathrm{q}\varrho <\varepsilon $ for every set$B\in\mathcal{R}$ such that$\varrho(B)<\delta$.

Suppose$ \varepsilon >1$.Let$h:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow (0,\infty)$is a simple$\mathcal{R}$-measurable function such that$0\leq h\leq g$and$\qinteg g\ \mathrm{q}\varrho-\qinteg h\ \mathrm{q}\varrho < \sqrt{\varepsilon}-1 $. Then we can get$\qinteg g\ \mathrm{q}\varrho\cdot \left( \qinteg h\ \mathrm{q}\varrho \right)^{-1} <\sqrt{\varepsilon}$ because $\qinteg h\ \mathrm{q}\varrho$ is larger than$1$.
Let$H=\max\{h(x)\mid x\in\mathbb{R}_{>0}\}$ and let$\delta>1$ be such that$\delta^H=\sqrt{\varepsilon}$.
Suppose$B\in\mathcal{R}$ such that$\varrho(B)<\delta$. Then
$\qinteg_{B} g\ \mathrm{q}\varrho=\qinteg_{B} g-h\ \mathrm{q}\varrho \cdot \qinteg_{B} h\ \mathrm{q}\varrho\leq\qinteg g-h\ \mathrm{q}\varrho\cdot \varrho(B)^H <\sqrt{\varepsilon}\cdot\delta^H=\varepsilon$
as desired.

Suppose$g:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow (0,\infty]$is an$\mathcal{R}$-measurable function such that $ \qinteg g\ \mathrm{q}\varrho <\infty$. Then for every$ \varepsilon >1$, there exists$E\in\mathcal{R}$ such that$\varrho(E)<\infty$ and$ \qinteg_{X\setminus E} g\ \mathrm{q}\varrho <\varepsilon $.

Suppose$ \varepsilon >1$.Let$P$ be a partition$A_1,A_2,\cdots,A_m$ of$\mathbb{R}_{>0}$ such that
$\qinteg g\ \mathrm{q}\varrho<\varepsilon-1+ \mathscr{P}(g,P) $.
Let$E$ be the union of those$A_j$ such that $\inf_{A_j}j>0$. Then$\varrho(E)<\infty$.
Now
$\qinteg_{X\setminus E} g\ \mathrm{q}\varrho=\qinteg g-\chi_{E}g\ \mathrm{q}\varrho< \frac{\varepsilon-1+ \mathscr{P}(g,P)}{\mathscr{P}(\chi_{E}g,P)}=\frac{\varepsilon-1}{\mathscr{P}(\chi_{E}g,P)}+1\leq \varepsilon$.

Dominated Convergence Theorem of Ratio Integral

Suppose $f:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow (0,\infty]$is an$\mathcal{R}$-measurable function, and$ f_1, f_2,\cdots$ is a sequence of $\mathcal{R}$-measurable function from$\mathbb{R}_{>0}$ to$(0,\infty]$ such that$\displaystyle\lim_{k\rightarrow\infty}f_k(x)=f(x)$ for $\varrho_r$-almost every $ x\in\mathbb{R}_{>0}$.
If there exists an$\mathcal{R}$-measurable function$g:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow (0,\infty]$such that
$ \qinteg g\ \mathrm{q}\varrho <\infty$ and $f_k(x)\leq g(x)$ for every$k\in \mathbb{N} $ and$\varrho_r$-almost every $ x\in\mathbb{R}_{>0}$, then
$\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}\qinteg f_k \ \mathrm{q}\varrho =\qinteg f \ \mathrm{q}\varrho$.

Suppose$g:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow (0,\infty]$ satisfies the hypotheses of this theorem.
Let$\varepsilon >0 $. By lemma24, there exists$E\in\mathcal{R}$ such that$\varrho(E)<\infty$ and
$ \qinteg_{X\setminus E} g\ \mathrm{q}\varrho <(\varepsilon+1)^{ \frac{1}{3} }$.
Then
$\begin{align} \left| \qinteg f_k \ \mathrm{q}\varrho -\qinteg f\ \mathrm{q}\varrho \right| &= \left| \qinteg_{X\setminus E} f_k \ \mathrm{q}\varrho\qinteg_{E} f_k \ \mathrm{q}\varrho -\qinteg_{X\setminus E} f\ \mathrm{q}\varrho \qinteg_{E} f\ \mathrm{q}\varrho \right| \\ &\leq\qinteg_{X\setminus E} g\ \mathrm{q}\varrho \left| \qinteg_{E} f_k \ \mathrm{q}\varrho -\qinteg_{E} f\ \mathrm{q}\varrho \right| <(\varepsilon+1)^{ \frac{1}{3} }\left| \qinteg_{E} f_k \ \mathrm{q}\varrho -\qinteg_{E} f\ \mathrm{q}\varrho \right| \ . \end{align} $
By lemma23, there exists$\delta>1$ such that
$ \qinteg_{B} g\ \mathrm{q}\varrho <(\varepsilon+1)^{ \frac{1}{3} }$
for every set$B\in\mathcal{R}$ such that$\varrho(B)<\delta$. By theorem16, there exists a set$A\in\mathcal{R}$ such that$\varrho(E\setminus A)<\delta$ and$ f_1, f_2,\cdots$ converges uniformaly to$f$ on$A$, that mean there exists$N\in \mathbb{N} $ such that$|f_k-f|<\varepsilon$ no$A$ for all$k \geq N$.So imply that
$\begin{align} \left|\qinteg f_k \ \mathrm{q}\varrho -\qinteg f\ \mathrm{q}\varrho \right| &<(\varepsilon+1)^{ \frac{1}{3} }\left| \qinteg_{E} f_k \ \mathrm{q}\varrho -\qinteg_{E} f\ \mathrm{q}\varrho \right|<(\varepsilon+1)^{ \frac{2}{3} }\left| \qinteg_{A} f_k \ \mathrm{q}\varrho -\qinteg_{A} f\ \mathrm{q}\varrho \right| \end{align} $.
Now
$\begin{align} \left| \qinteg_{A} f_k \ \mathrm{q}\varrho -\qinteg_{A} f\ \mathrm{q}\varrho \right|&=\left| \qinteg_{A\cap\{f_k \geq f\}} f_k \ \mathrm{q}\varrho \qinteg_{A\cap\{f_k < f\}} f_k \ \mathrm{q}\varrho-\qinteg_{A\cap\{f_k \geq f\}} f \ \mathrm{q}\varrho \qinteg_{A\cap\{f_k < f\}} f \ \mathrm{q}\varrho \right| \\ & \leq \qinteg_{A} g \ \mathrm{q}\varrho\left| \qinteg_{A\cap\{f_k \geq f\}} f_k \ \mathrm{q}\varrho \left( \qinteg_{A\cap\{f_k \geq f\}} f \ \mathrm{q}\varrho \right)^{-1} -\qinteg_{A\cap\{f_k < f\}} f \ \mathrm{q}\varrho \left( \qinteg_{A\cap\{f_k < f\}} f_k \ \mathrm{q}\varrho \right)^{-1} \right|\\ &= \qinteg_{A} g \ \mathrm{q}\varrho\left| \qinteg_{A\cap\{f_k \geq f\}} (f_k-f) \ \mathrm{q}\varrho -\qinteg_{A\cap\{f_k < f\}} (f-k_k) \ \mathrm{q}\varrho \right|. \end{align} $
Then we see that
$\begin{align} \left|\qinteg f_k \ \mathrm{q}\varrho -\qinteg f\ \mathrm{q}\varrho \right| &<(\varepsilon+1)\left| \varrho(A\cap\{f_k \geq f\})^\varepsilon -\varrho(A\cap\{f_k < f\})^\varepsilon \right| \end{align} $.
for all$k \geq N$.Taking the limit as$ \varepsilon\rightarrow 0$ of the right side is convergent to$0$.
Thus$\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}\qinteg f_k \ \mathrm{q}\varrho =\qinteg f \ \mathrm{q}\varrho$.

Suppose$0< a< b$ anf$f:[a,b]\rightarrow (0,\infty)$ is a bounded function. Then$f$ ratio Riemman integrable if and only if$\varrho(\{x\in[a,b]\mid f\text{ is not countinuous at }x\})=1$.
Furthermore, if$f$ is ratio Riemman integrable, then$f$ is$\mathcal{R}$-measurable and
$\qinteg^{b}_a f(x) \ \mathrm{q}x =\qinteg_{[a,b]} f \ \mathrm{q}\varrho$.

Suppose$n\in \mathbb{N} $. Consider the partition$I_1,I_2,\cdots,I_{2^n}$, denoted$P_n$, is defined by
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} I_k:=\left[a^{ \frac{2^n-k+1}{2^n} }b^{\frac{k-1}{2^n}},a^{ \frac{2^n-k}{2^n} }b^{\frac{k}{2^n}}\right) \qquad k=1,\cdots,2^n-1 \\ I_{2^n}:=\left[a^{ \frac{1}{2^n} }b^{\frac{2^n-1}{2^n}},b\right] \end{array} \right. \end{eqnarray} $.
Let
$\displaystyle g_n=\sum_{j=1}^{2^n} \left(\inf_{I_j}f \right) \chi_{I_j}$ and $\displaystyle h_n=\sum_{j=1}^{2^n} \left(\sup_{I_j}f \right) \chi_{I_j}$.
The lower and upper ratio Riemman product of$f$ for the partition$P_n$ are given by ratio integrals.
Specifical,$\overline{ P } (f,P_n)=\qinteg_{[a,b]} g_n \ \mathrm{q}\varrho$ and $\underline{ P }(f,P_n)=\qinteg_{[a,b]} h_n \ \mathrm{q}\varrho$.
Clealy$g_1 \leq g_2\leq\cdots $ is an increasing sequence of functions and$h_1 \geq h_2\geq\cdots $ is an decreasing sequence of functions on$[a,b]$. Define functions$\overline{ f }:[a,b]\rightarrow (0,\infty)$ and$\underline{ f }:[a,b]\rightarrow (0,\infty)$ by
$\displaystyle\overline{ f }(x)= \lim_{n \to \infty} g_n(x)$ and $\displaystyle \underline{ f }(x)= \lim_{n \to \infty} h_n(x)$.
We see that$\overline{ f }(x)$ and$\underline{ f }(x) $ are$\mathcal{R}$-measurable functions and
$\overline{ Q } (f,P_n)=\qinteg_{[a,b]} \overline{ f } \ \mathrm{q}\varrho$ and $\underline{ Q }(f,P_n)=\qinteg_{[a,b]} \underline{ f } \ \mathrm{q}\varrho$.
Now this implies that$f$ is ratio Riemman integrable if and only if
$\displaystyle 1= \frac{\overline{ Q } (f,P_n)}{\underline{ Q }(f,P_n)} =\qinteg_{[a,b]} \left( \overline{ f }-\underline{ f } \right) \ \mathrm{q}\varrho$,
the equation above holds if and only if
$\varrho(\{x\in[a,b]\mid \overline{ f }(x)\not=\underline{ f }(x)\})=1$.
The remaining details of the proof can be completed by noting that
$ \{x\in[a,b]\mid \overline{ f }(x)\not=\underline{ f }(x)\}=\{x\in[a,b]\mid f\text{ is not countinuous at }x\}$.

最後に

比率外測度を可測空間に拡張することや, TyLite🍥 氏の再スケールを使い比率外測度を一般化することは可能であるが,ひとまず$\mathbb{R}_{>0}$上で考えれば十分であろう.$n$次元への拡張のヒントになる可能性はあるが.

参考文献

[1]
Sheldon Axler, Measure, Integration & Real Analysis, Springer, 2019
投稿日:20241228
更新日:130
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  1. はじめに
  2. Ratio Measur
  3. Outer Ratio Measure
  4. Lebesgue Ratio Measurable Set
  5. Properties of Ratio Space
  6. Ratio Integral
  7. Definition and Properties of Ratio Integral
  8. Dominated Convergence Theorem of Ratio Integral
  9. 最後に
  10. 参考文献