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現代数学解説
文献あり

超積分の定義と基本的な定理

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この記事は, 7777777 氏によるタグ 超微分 に関連しています.

はじめに

目標は超積分を厳密に,数学的な意味を持つものを定義することである.
さて,超積分に求められる性質を挙げてみる.

  1. 超積分は超微分の逆にあたる操作である.
  2. 超積分はある範囲の面積である.
  3. 超積分の操作は演算をあまり変えない.

(1)は微分積分学の基本公式の超微分,超積分バージョンである.(2)は定積分は面積を求めることの類似,(3)は積分が加法的であることに関連する.
簡単な証明,計算が複雑になりそうなところは読者に任せたいと思う.
以下R>0:={xRx>0}とし,単純化のため区間を[a,b]R>0からとり,関数をf:R>0[a,b]R>0として話を進める.

追記1:定理2に一つ追加.
追記2(重要):定理2(1)を変更.

超積分の定義

定義のIdea

超微分のモチベーションは演算レベルを上げた微分を考えたいというものであった.[1]
同じように超積分もRiemann積分の演算レベルを上げたものとして定義してみよう.

分割

有界閉区間[a,b]の分割とは,
a=a0<a1<<an1<an=b
を満たす有限個の点列である.これをΔ={a0,a1,,an}と書く.

Δの幅をδ(Δ):=max{ajaj1j=1,2,,n}と定義する.

超Riemann積 (Ratio Riemman Product)

Δ[a,b]の分割とする.ξjを区間[aj1,aj]からとり,それを並べたものをξ=(ξ1,ξ2,,ξn)と表し,Δの代表系という.また,Mj=supx[aj1,aj]f(x)mj=infx[aj1,aj]f(x)とおく.このとき,次の積を定める.
P(f,Δ,ξ):=j=1n(ajaj1)f(ξj)
P(f,Δ):=j=1n(ajaj1)Mj
P(f,Δ):=j=1n(ajaj1)mj
P(f,Δ,ξ)f の分割Δと代表系ξに関する超リーマン積と呼び,P(f,Δ)P(f,Δ)を分割Δに対する上超Riemann積(Upper ratio Riemman product),下超Riemann積(lower ratio Riemman product)と呼ぶ.

定義からP(f,Δ)P(f,Δ,ξ)P(f,Δ)である.
[a,b]の分割Δ={b0,,bm}を任意にとる.ΔΔを合併して得られる[a,b]の分割をΔ=ΔΔ={c0,,cq}と表すことにする.Δの代表系ξを一つとる. いま,ak1=chak=cpであったとすると,[ak1,ak]{ch,ch+1,,cp}で分割され,mkf(ξj)hjpなので,
(akak1)mk=i=h+1p(cici1)mki=h+1p(cici1)f(ξj)
故にP(f,Δ)P(f,Δ,ξ)を得る.同様に考えるとP(f,Δ,ξ)P(f,Δ) となるので,P(f,Δ)P(f,Δ)が言える.
[a,b]の分割Δに対応するP(f,Δ)の全体の集合は上に有界で,P(f,Δ)の全体の集合は下に有界である.
Q(f):=supΔP(f,Δ)Q(f):=infΔP(f,Δ)とおく.Q(f)Q(f)である.

超Riemann積分 (Ratio Riemman Integral)

記号は上記のものとする.Q(f)=Q(f)が成り立つとき,fは区間[a,b]で超Riemann積分可能(Ratio Riemman integrable),単に超積分可能,超可積分といい,値Q(f)=Q(f)=Q(f)を超定積分といい,abf(x) qxで表す.
また,baf(x) qx=(abf(x) qx)1として定める.

任意のε>0に対し,あるδ>0が存在してδ(Δ)<δならばΔのどの代表系ξをとっても|P(f,Δ,ξ)P|<εが成り立つとき,limδ(Δ)0P(f,Δ,ξ)=Pと書かれる.またこのとき,Q(f)PQ(f)である.このことから次のことが直ちに分かる.

fは区間[a,b]で超積分可能であることの必要十分条件はlimδ(Δ)0P(f,Δ,ξ)が収束することである.

f,g は区間[a,b]で超可積分とする.

  1. abf(x) qx1
  2. c>0のとき,cf[a,b]で超可積分でabcf qx=(abf qx)c
  3. f+g[a,b]で超可積分でabf(x)+g(x) qx=abf(x) qxabg(x) qx
  4. a<c<bのとき,f[a,c][c,b]で超可積分でabf(x) qx=acf(x) qxcbg(x) qx
  5. [a,b]上でfgならばabf(x) qxabg(x) qx

(3)を指数性,(4)を区間乗法性,(5)を単調性と呼ぶことにする.

区間[a,b]f(x)=cが定数であるとき,超定積分abc qxを定義から求めよ.次に定理1を使い求めよ.

f は有界閉区間[a,b]で連続とすると,fは超可積分.

limδ(Δ)0P(f,Δ)P(f,Δ)=0を示せばよい.
任意のε>0をとる.ε>0(ba)ε1<εとなるようにとる.f は有界閉区間[a,b]で連続なので,[a,b]上で一様連続かつ有界.よってあるδ>0があって|xy|<δならば|f(x)f(y)|<εとできる.また,あるKが存在してすべてのx[a,b]f(x)K.
このδに対し,分割Δ={a0,a1,,an}δ(Δ)<δを満たすならMjmj=supx,y[aj1,aj]|f(x)f(y)|<εである.よって
0P(f,Δ)P(f,Δ)=j=1n(ajaj1)mj(j=1n(ajaj1)Mjmj1)<j=1n(ajaj1)K(j=1n(ajaj1)ε1)=(ba)K((ba)ε1)<(ba)Kε
が成立する.以上よりlimδ(Δ)0P(f,Δ)P(f,Δ)=0であることが言えた.

微分積分学の基本公式の超微分,超積分バージョンを述べよう.

超積分の平均値の定理

f は有界閉区間[a,b]で連続とする.このとき次を満たすp(a,b)が存在する.
logba(abf(x) qx)=f(p)

証明は通常の積分の平均値の定理と同様にしてできる.
超積分の平均値の定理から次のことが分かる.

超微分積分学の基本公式

f[a,b]で連続とする.

  1. 任意のx(a,b)に対してF(x)=axf(t) qtと定めると,F(x)=f(x)が成り立つ.
  2. GG=fとなるように一つ取るとき,a<α<β<bならばαβf(x) qx=G(β)G(α)
  1. x(a,b)を固定する.xh(a,b)なるh>1に対して区間乗法性と超積分の平均値の定理から
    logh(F(xh)F(x))=logh(xxhf(x) qx)=f(p)
    となるp[x,xh]が存在する.h1のとき,pxなので,fの連続性から
    F+(x)=limh1logh(F(xh)F(x))=limpxf(p)=f(x)
    h<1の場合も同様にしてF(x)=f(x)が示され,F(x)=f(x)を得る.

  2. 定数Cが存在してG(x)=CF(x)と書けるので区間乗法性より
    αβf(x) qx=aβf(x) qx(aαf(x) qx)1=F(β)F(α)=G(β)G(α)

最後に

この超積分は通常の積分の定義と同じような道筋で定義されている.
fに対し,F:[log(a),log(b)]RF(x):=log(f(ex))と定義する.変換をE:(x,y)R×R(ex,ey)R>0×R>0とおき,グラフ
Γ(f):={(x,y)R>0×R>0|y=f(x)}
Γ(F):={(x,y)R×R|y=F(x)}
を考えると,Γ(F)=E1(Γ(f))という関係があり,超微分においてF(log(a))=f(a)が成り立つのであった.
超積分の場合も同じような解釈ができるかを次の記事でまとめたい.


この記事は深夜テンション論法を使っている可能性があるため間違いを指摘してください.

参考文献

[2]
鈴木紀明, 解析学の基礎 ―高校の数学から大学の数学へ―, 学術図書出版社, 2020
[3]
小平邦彦, 軽装版 解析入門 I, 岩波書店, 2020
投稿日:2024127
更新日:20241228
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