2つのRamanujan型の1/πの公式のq類似
今回は, 2つのRamanujan型の円周率公式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(6n+1)\binom{2n}n^3}{2^{8n}}&=\frac{4}{\pi}\\
\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(6n+1)\binom{2n}n^3}{2^{9n}}&=\frac{2\sqrt 2}{\pi}
\end{align}
の以下のような$q$類似を示す.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(1-q^{6n+1})(q;q^2)_n^2(q^2;q^4)_n}{(q^4;q^4)_n^3}q^{n^2}&=\frac{(q^2;q^4)_{\infty}^2}{(q^4;q^4)_{\infty}^2}\\ \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(1-q^{6n+1})(q;q^2)_n^3}{(q^4;q^4)_n^3}&=\frac{(q;q^2)_{\infty}}{(q^4;q^4)_{\infty}^2} \end{align}
Gessel-Stantonの和公式(
前の記事
の定理1)
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{3k}}{1-a}\frac{(a,b,q/b;q)_k(a/d,adq^{2n+1},q^{-2n};q^2)_k}{(dq,q^{-2n}/d,aq^{2n+1};q)_k(q^2,abq,aq^2/b;q^2)_k}q^k\\
&=\frac{(aq;q)_{2n}(bdq,dq^2/b;q^2)_n}{(dq;q)_{2n}(abq,aq^2/b;q^2)_n}
\end{align}
において, $n\to\infty$とすると,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1-aq^{3k}}{1-a}\frac{(a,b,q/b;q)_k(a/d;q^2)_k}{(dq;q)_k(q^2,abq,aq^2/b;q^2)_k}d^kq^{\binom{k+1}2}\\
&=\frac{(aq;q)_{\infty}(bdq,dq^2/b;q^2)_{\infty}}{(dq;q)_{\infty}(abq,aq^2/b;q^2)_{\infty}}
\end{align}
となる. ここで, $q\mapsto q^2$としてから, $a=b=q$とすると
\begin{align}
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1-q^{6k+1}}{1-q}\frac{(q;q^2)_k^3(q/d;q^4)_k}{(dq^2;q^2)_k(q^4;q^4)_k^3}d^kq^{k^2+k}=\frac{(q^3;q^2)_{\infty}(dq^3;q^2)_{\infty}^2}{(dq^2;q^2)_{\infty}(q^4;q^4)_{\infty}^2}
\end{align}
つまり,
\begin{align}
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(1-q^{6k+1})(q;q^2)_k^3(q/d;q^4)_k}{(dq^2;q^2)_k(q^4;q^4)_k^3}d^kq^{k^2+k}=\frac{(q;q^2)_{\infty}(dq^3;q^2)_{\infty}^2}{(dq^2;q^2)_{\infty}(q^4;q^4)_{\infty}^2}
\end{align}
を得る. ここで, $d=q^{-1}$とすると,
\begin{align}
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(1-q^{6k+1})(q;q^2)_k^2(q^2;q^4)_k}{(q^4;q^4)_k^3}q^{k^2}=\frac{(q^2;q^2)_{\infty}^2}{(q^4;q^4)_{\infty}^2}
\end{align}
となって1つ目の式が得られる. また, $d\to 0$とすると,
\begin{align}
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(1-q^{6k+1})(q;q^2)_k^3}{(q^4;q^4)_k^3}q^{3k^2}=\frac{(q;q^2)_{\infty}}{(q^4;q^4)_{\infty}^2}
\end{align}
となって2つ目の式が得られる.
これらの式は両辺を$1-q$で割ってから$q\to 1$とすることによって, 最初に紹介したRamanujan型の円周率公式に一致することが確かめられる. 他のRamanujan型の円周率公式の$q$類似がどこまで得られているのかは気になるところである.
