Gessel-Stantonの7F6和公式のq類似
前の記事
で
Gould-Hsuの反転公式
の一般化として, Chuの反転公式
\begin{align}
f(n)&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\psi(\lambda+k;n)\psi(-k;n)\frac{\lambda+2k}{(\lambda+n)_{k+1}}g(k)\\
g(n)&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\frac{a_k+(\lambda+k)b_k}{\psi(\lambda+n;k+1)}\frac{a_k-kb_k}{\psi(-n;k+1)}(\lambda+k)_nf(k)\\
\psi(x;n)&:=\prod_{k=0}^{n-1}(a_k+xb_k)
\end{align}
を示した. Chuはその$q$類似も示しており, それは
Carlitzの反転公式
の一般化になっている. 以下
\begin{align}
\qbinom nk:=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}
\end{align}
とする.
反転公式
\begin{align}
f(n)&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\qbinom nk\psi(\lambda q^k;n)\psi(q^{-k};n)\frac{1-\lambda q^{2k}}{(\lambda q^n;q)_{k+1}}g(k)\\
g(n)&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\qbinom nkq^{\binom{n-k}2}\frac{a_k+\lambda q^kb_k}{\psi(\lambda q^n;k+1)}\frac{a_k+q^{-k}b_k}{\psi(q^{-n};k+1)}(\lambda q^k;q)_nf(k)
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
\psi(x;n)&:=\prod_{k=0}^{n-1}(a_k+xb_k)
\end{align}
である.
証明の方針は 前の記事 と同様である.
下の式に上の式を代入した等式
\begin{align}
g(n)&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\qbinom nkq^{\binom{n-k}2}\frac{a_k+\lambda q^kb_k}{\psi(\lambda q^n;k+1)}\frac{a_k+q^{-k}b_k}{\psi(q^{-n};k+1)}(\lambda q^k;q)_n\\
&\qquad\cdot\sum_{m=0}^k(-1)^m\qbinom km\psi(\lambda q^m;k)\psi(q^{-m};k)\frac{1-\lambda q^{2m}}{(\lambda q^k;q)_{m+1}}g(m)
\end{align}
を示せばよい. これは
\begin{align}
&(1-\lambda q^{2m})\sum_{k=m}^n(-1)^{m+k}\qbinom nk\qbinom kmq^{\binom{n-k}2}\frac{\psi(\lambda q^m;k)\psi(q^{-m};k)}{\psi(\lambda q^n;k+1)\psi(q^{-n};k+1)}\\
&\qquad\cdot\frac{(\lambda q^k;q)_n}{(\lambda q^k;q)_{m+1}}(a_k+\lambda q^kb_k)(a_k+q^{-k}b_k)=\delta_{m,n}
\end{align}
と同値である. 左辺は
\begin{align}
&(1-\lambda q^{2m})\sum_{k=m}^n(-1)^{m+k}\qbinom nk\qbinom kmq^{\binom{n-k}2}\frac{\psi(\lambda q^m;k)\psi(q^{-m};k)}{\psi(\lambda q^n;k+1)\psi(q^{-n};k+1)}\\
&\qquad\cdot\frac{(\lambda q^k;q)_n}{(\lambda q^k;q)_{m+1}}(a_k+\lambda q^kb_k)(a_k+q^{-k}b_k)\\
&=\qbinom nm\frac{(\lambda;q)_{n}}{(\lambda;q)_{m}}(1-\lambda q^{2m})\sum_{k=m}^n(-1)^{m+k}\qbinom{n-m}{k-m}q^{\binom{n-k}2}\frac{\psi(\lambda q^m;k)\psi(q^{-m};k)}{\psi(\lambda q^n;k+1)\psi(q^{-n};k+1)}\\
&\qquad\cdot\frac{(\lambda q^n;q)_{k}}{(\lambda q^{m+1};q)_{k}}(a_k+\lambda q^kb_k)(a_k+q^{-k}b_k)
\end{align}
と書き換えられ,
\begin{align}
&(1-\lambda q^{n+m})\qbinom{n-m}{k-m}q^{\binom{n-k}2}\frac{\psi(\lambda q^m;k)\psi(q^{-m};k)}{\psi(\lambda q^n;k+1)\psi(q^{-n};k+1)}\frac{(\lambda q^n;q)_{k}}{(\lambda q^{m+1};q)_{k}}(a_k+\lambda q^kb_k)(a_k+q^{-k}b_k)\\
&=\qbinom{n-m-1}{k-m}q^{\binom{n-k}2}\frac{\psi(\lambda q^m;k+1)\psi(q^{-m};k+1)}{\psi(\lambda q^n;k+1)\psi(q^{-n};k+1)}\frac{(\lambda q^n;q)_{k+1}}{(\lambda q^m;q)_{k+1}}\\
&\qquad+\qbinom{n-m-1}{k-m-1}q^{\binom{n-k+1}2}\frac{\psi(\lambda q^m;k)\psi(q^{-m};k)}{\psi(\lambda q^n;k)\psi(q^{-n};k)}\frac{(\lambda q^n;q)_{k}}{(\lambda q^m;q)_{k}}
\end{align}
となるから, 望遠鏡和によって示すべき等式が得られる.
$a_k=1, b_k=-bp^k,\lambda=a/b$とすると, 以下を得る.
\begin{align} f(n)&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\qbinom nk(aq^k,bq^{-k};p)_n\frac{1-aq^{2k}/b}{(aq^n/b;q)_{k+1}}g(k)\\ g(n)&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\qbinom nkq^{\binom{n-k}2}\frac{1-ap^kq^k}{(aq^n;p)_{k+1}}\frac{1-bp^kq^{-k}}{(bq^{-n};p)_{k+1}}(aq^k/b;q)_nf(k) \end{align}
Gessel-Stantonの和公式1
系1を用いることで, 前の記事 と全く同様の方針で, 以下が示される.
非負整数$n$に対し,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{3k}}{1-a}\frac{(a,b,q/b;q)_k(a/d,adq^{2n+1},q^{-2n};q^2)_k}{(dq,q^{-2n}/d,aq^{2n+1};q)_k(q^2,abq,aq^2/b;q^2)_k}q^k\\
&=\frac{(aq;q)_{2n}(bdq,dq^2/b;q^2)_n}{(dq;q)_{2n}(abq,aq^2/b;q^2)_n}
\end{align}
が成り立つ.
Jacksonの${}_8\phi_7$和公式
より,
\begin{align}
&\Q87{adq^{\frac 12},\sqrt{ad}q^{\frac 54},-\sqrt{ad}q^{\frac 54},dq/b,bdq^{\frac 12},aq^{\frac n2},aq^{\frac{n+1}2},q^{-n}}{\sqrt{ad}q^{\frac 14},-\sqrt{ad}q^{\frac 14},abq^{\frac 12},aq/b,dq^{\frac{3-n}2},dq^{\frac{2-n}2},adq^{n+\frac 32}}{q}\\
&=\frac{(a/d,adq^{\frac 32};q)_n}{(aq/b,abq^{\frac 12};q)_n}\frac{(b,q^{\frac 12}/b;q^{\frac 12})_n}{(dq,q^{-\frac 12}/d;q^{\frac 12})_n}
\end{align}
となる. ここで, 左辺は
\begin{align}
&\Q87{adq^{\frac 12},\sqrt{ad}q^{\frac 54},-\sqrt{ad}q^{\frac 54},dq/b,bdq^{\frac 12},aq^{\frac n2},aq^{\frac{n+1}2},q^{-n}}{\sqrt{ad}q^{\frac 14},-\sqrt{ad}q^{\frac 14},abq^{\frac 12},aq/b,dq^{\frac{3-n}2},dq^{\frac{2-n}2},adq^{n+\frac 32}}{q}\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{1-adq^{2k+\frac 12}}{1-adq^{\frac 12}}\frac{(aq^{\frac n2};q^{\frac 12})_{2k}(q^{-n};q)_k}{(dq^{\frac{2-n}2};q^{\frac 12})_{2k}(adq^{n+\frac 32};q)_k}\\
&\qquad\cdot\frac{(adq^{\frac 12},dq/b,bdq^{\frac 12};q)_k}{(q,abq^{\frac 12},aq/b;q)_k}q^k\\
&=\frac{1-adq^{n+\frac 12}}{1-adq^{\frac 12}}\frac{(dq;q^{\frac 12})_{-n}}{(a;q^{\frac 12})_n}\sum_{k=0}^n(-1)^k\qbinom nkq^{-nk}\frac{(aq^k;q^{\frac 12})_{n}}{(dq^{k+1};q^{\frac 12})_{-n}}\frac{1-adq^{2k+\frac 12}}{(adq^{n+\frac 12};q)_{k+1}}\\
&\qquad\cdot\frac{(a,aq^{\frac 12},adq^{\frac 12},dq/b,bdq^{\frac 12};q)_k}{(dq,dq^{\frac 32},abq^{\frac 12},aq/b;q)_k}q^{\binom{k+1}2}\\
&=\frac{1-adq^{n+\frac 12}}{1-adq^{\frac 12}}\frac{1}{(a,q^{-\frac 12}/d;q^{\frac 12})_n}\sum_{k=0}^n(-1)^k\qbinom nk(aq^k,q^{-k-\frac 12}/d;q^{\frac 12})_{n}\frac{1-adq^{2k+\frac 12}}{(adq^{n+\frac 12};q)_{k+1}}\\
&\qquad\cdot\frac{(a,aq^{\frac 12},adq^{\frac 12},dq/b,bdq^{\frac 12};q)_k}{(dq,dq^{\frac 32},abq^{\frac 12},aq/b;q)_k}q^{\binom{k+1}2}
\end{align}
となるから,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n(-1)^k\qbinom nk(aq^k,q^{-k-\frac 12}/d;q^{\frac 12})_{n}\frac{1-adq^{2k+\frac 12}}{(adq^{n+\frac 12};q)_{k+1}}\\
&\qquad\cdot\frac{(a,aq^{\frac 12},adq^{\frac 12},dq/b,bdq^{\frac 12};q)_k}{(dq,dq^{\frac 32},abq^{\frac 12},aq/b;q)_k}q^{\binom{k+1}2}\\
&=\frac{(a/d,adq^{\frac 12};q)_n}{(aq/b,abq^{\frac 12};q)_n}\frac{(a,b,q^{\frac 12}/b;q^{\frac 12})_n}{(dq;q^{\frac 12})_n}
\end{align}
と書き換えられる. ここで, 系1を用いると,
\begin{align}
&\frac{(a,aq^{\frac 12},adq^{\frac 12},dq/b,bdq^{\frac 12};q)_n}{(dq,dq^{\frac 32},abq^{\frac 12},aq/b;q)_n}q^{\binom{n+1}2}\\
&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\qbinom nkq^{\binom{n-k}2}\frac{1-aq^{\frac{3k}2}}{(aq^n;q^{\frac 12})_{k+1}}\frac{1-q^{-\frac{k+1}2}/d}{(q^{-n-\frac 12}/d;q^{\frac 12})_{k+1}}(adq^{k+\frac 12};q)_n\\
&\qquad\cdot\frac{(a/d,adq^{\frac 12};q)_k}{(aq/b,abq^{\frac 12};q)_k}\frac{(a,b,q^{\frac 12}/b;q^{\frac 12})_k}{(dq;q^{\frac 12})_k}\\
&=\frac{(adq^{\frac 12};q)_n}{(1-aq^n)(1-q^{-n-\frac 12}/d)}\sum_{k=0}^nq^{\binom{n-k}2-\binom k2+nk}(1-aq^{\frac{3k}2})(1-q^{-\frac{k+1}2}/d)\\
&\qquad\cdot\frac{(a/d,adq^{n+\frac 12},q^{-n};q)_k}{(q,aq/b,abq^{\frac 12};q)_k}\frac{(a,b,q^{\frac 12}/b;q^{\frac 12})_k}{(dq,aq^{n+\frac 12},q^{-n}/d;q^{\frac 12})_k}\\
&=-\frac{(1-a)(1-dq^{\frac 12})(adq^{\frac 12};q)_nq^{-\frac 12}/d}{(1-aq^n)(1-q^{-n-\frac 12}/d)}q^{\binom n2}\sum_{k=0}^n\frac{(1-aq^{\frac{3k}2})(a/d,adq^{n+\frac 12},q^{-n};q)_k}{(1-a)(q,aq/b,abq^{\frac 12};q)_k}\frac{(a,b,q^{\frac 12}/b;q^{\frac 12})_k}{(dq^{\frac 12},aq^{n+\frac 12},q^{-n}/d;q^{\frac 12})_k}q^{\frac k2}\\
&=\frac{(1-a)(1-dq^{\frac 12})(adq^{\frac 12};q)_n}{(1-aq^n)(1-dq^{n+\frac 12})}q^{\binom{n+1}2}\sum_{k=0}^n\frac{(1-aq^{\frac{3k}2})(a/d,adq^{n+\frac 12},q^{-n};q)_k}{(1-a)(q,aq/b,abq^{\frac 12};q)_k}\frac{(a,b,q^{\frac 12}/b;q^{\frac 12})_k}{(dq^{\frac 12},aq^{n+\frac 12},q^{-n}/d;q^{\frac 12})_k}q^{\frac k2}
\end{align}
となるから,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n\frac{(1-aq^{\frac{3k}2})(a/d,adq^{n+\frac 12},q^{-n};q)_k}{(1-a)(q,aq/b,abq^{\frac 12};q)_k}\frac{(a,b,q^{\frac 12}/b;q^{\frac 12})_k}{(dq^{\frac 12},aq^{n+\frac 12},q^{-n}/d;q^{\frac 12})_k}q^{\frac k2}\\
&=\frac{(aq,aq^{\frac 12},dq/b,bdq^{\frac 12};q)_n}{(dq,dq^{\frac 12},abq^{\frac 12},aq/b;q)_n}\\
&=\frac{(aq^{\frac 12};q^{\frac 12})_{2n}(dq/b,bdq^{\frac 12};q)_n}{(dq^{\frac 12};q^{\frac 12})_{2n}(abq^{\frac 12},aq/b;q)_n}
\end{align}
となって示すべき等式を得る.
Gessel-Stantonの和公式2
系1を用いることで, 前の記事 と全く同様の方針で, 以下が示される.
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{3k}}{1-a}\frac{(q/d,adq^n,q^{-n};q)_k(a,b,aq/b;q^2)_k}{(q,b,aq/b;q)_k(adq,aq^{n+2},q^{2-n}/d;q^2)_k}q^k\\ &=\begin{cases} \displaystyle\frac{(q,aq^2,bd,adq/b;q^2)_m}{(bq,d,adq,aq^2/b;q^2)_m} && n=2m\\ 0 && n:\mathrm{odd} \end{cases} \end{align}
Jacksonの${}_8\phi_7$和公式
より,
\begin{align}
&\Q87{ad,\sqrt{ad}q^2,-\sqrt{ad}q^2,bd,adq/b,aq^{2n},q^{-n},q^{1-n}}{\sqrt{ad},-\sqrt{ad},aq^2/b,bq,dq^{2-2n},adq^{n+2},adq^{n+1}}{q^2;q^2}\\
&=\frac{(b,aq/b;q^2)_n(1/d,adq;q)_n}{(1/d,adq;q^2)_n(b,aq/b;q)_n}
\end{align}
である. 左辺は
\begin{align}
&\Q87{ad,\sqrt{ad}q^2,-\sqrt{ad}q^2,bd,adq/b,aq^{2n},q^{-n},q^{1-n}}{\sqrt{ad},-\sqrt{ad},aq^2/b,bq,dq^{2-2n},adq^{n+2},adq^{n+1}}{q^2;q^2}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{1-adq^{4k}}{1-ad}\frac{(aq^{2n};q^2)_k(q^{-n};q)_{2k}}{(dq^{2-2n};q^2)_k(adq^{n+1};q)_{2k}}\\
&\qquad\cdot\frac{(ad,bd,adq/b;q^2)_k}{(q^2,aq^2/b,bq;q^2)_k}q^{2k}\\
&=\frac{1-adq^n}{1-ad}\sum_{0\leq k}\qbinom n{2k}q^{-2nk}\frac{(aq^{2n};q^2)_k}{(dq^{2-2n};q^2)_k}\frac{1-adq^{4k}}{(adq^n;q)_{2k+1}}\\
&\qquad\cdot\frac{(q,ad,bd,adq/b;q^2)_k}{(aq^2/b,bq;q^2)_k}q^{\binom{2k+1}2}\\
&=\frac{1-adq^n}{1-ad}\frac{(dq^2;q^2)_{-n}}{(a;q^2)_n}\sum_{0\leq k}\qbinom n{2k}q^{-2nk}\frac{(aq^{2k};q^2)_n}{(dq^{2k+2};q^2)_{-n}}\frac{1-adq^{4k}}{(adq^n;q)_{2k+1}}\\
&\qquad\cdot\frac{(q,a,ad,bd,adq/b;q^2)_k}{(aq^2/b,bq,dq^2;q^2)_k}q^{\binom{2k+1}2}\\
&=\frac{1-adq^n}{1-ad}\frac{1}{(a,1/d;q^2)_n}\sum_{0\leq k}\qbinom n{2k}(aq^{2k},q^{-2k}/d;q^2)_n\frac{1-adq^{4k}}{(adq^n;q)_{2k+1}}\\
&\qquad\cdot\frac{(q,a,ad,bd,adq/b;q^2)_k}{(aq^2/b,bq,dq^2;q^2)_k}q^{\binom{2k+1}2}
\end{align}
であるから, これは
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}\qbinom n{2k}(aq^{2k},q^{-2k}/d;q^2)_n\frac{1-adq^{4k}}{(adq^n;q)_{2k+1}}\\
&\qquad\cdot\frac{(q,a,ad,bd,adq/b;q^2)_k}{(aq^2/b,bq,dq^2;q^2)_k}q^{\binom{2k+1}2}\\
&=\frac{(a,b,aq/b;q^2)_n(1/d,ad;q)_n}{(adq;q^2)_n(b,aq/b;q)_n}
\end{align}
と書き換えられる. これに系1を用いると,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n(-1)^k\qbinom nkq^{\binom{n-k}2}\frac{1-aq^{3k}}{(aq^n;q^2)_{k+1}}\frac{1-q^{k}/d}{(q^{-n}/d;q^2)_{k+1}}(adq^k;q)_n\\
&\qquad\cdot\frac{(a,b,aq/b;q^2)_k(1/d,ad;q)_k}{(adq;q^2)_k(b,aq/b;q)_k}\\
&=\begin{cases}
\displaystyle\frac{(q,a,ad,bd,adq/b;q^2)_m}{(aq^2/b,bq,dq^2;q^2)_m}q^{\binom{2m+1}2}&& n=2m\\
0&&n:\mathrm{odd}
\end{cases}
\end{align}
となる. ここで左辺は
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n(-1)^k\qbinom nkq^{\binom{n-k}2}\frac{1-aq^{3k}}{(aq^n;q^2)_{k+1}}\frac{1-q^{k}/d}{(q^{-n}/d;q^2)_{k+1}}(adq^k;q)_n\\
&\qquad\cdot\frac{(a,b,aq/b;q^2)_k(1/d,ad;q)_k}{(adq;q^2)_k(b,aq/b;q)_k}\\
&=\frac{(1-a)(ad;q)_n(1-1/d)}{(1-aq^n)(1-q^{-n}/d)}q^{\binom n2}\sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{3k}}{1-a}\frac{(a,b,aq/b;q^2)_k(q/d,adq^n,q^{-n};q)_k}{(adq,aq^{n+2},q^{2-n}/d;q^2)_k(q,b,aq/b;q)_k}\\
&=\frac{(1-a)(ad;q)_n(1-d)}{(1-aq^n)(1-dq^n)}q^{\binom{n+1}2}\sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{3k}}{1-a}\frac{(a,b,aq/b;q^2)_k(q/d,adq^n,q^{-n};q)_k}{(adq,aq^{n+2},q^{2-n}/d;q^2)_k(q,b,aq/b;q)_k}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{3k}}{1-a}\frac{(a,b,aq/b;q^2)_k(q/d,adq^n,q^{-n};q)_k}{(adq,aq^{n+2},q^{2-n}/d;q^2)_k(q,b,aq/b;q)_k}\\
&=\begin{cases}
\displaystyle\frac{(q,aq^2,bd,adq/b;q^2)_m}{(adq,aq^2/b,bq,d;q^2)_m}&& n=2m\\
0&&n:\mathrm{odd}
\end{cases}
\end{align}
となって示すべき等式を得る.
