院解10 京大数学系H26 基礎II 7 対角成分の評価から正則性

$0$を固有値に持つと仮定し,${}^t(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$を$0$に対応する固有ベクトルとする.$x_1,\dots ,x_n$の中で絶対値が最大のものを$x_i$とすると,固有ベクトルだから$x_i\ne 0$.また,$A^t(x_1,\dots ,x_n)=0$で両辺の第$i$成分に着目して$a_{i1}{x}_1+\cdots +a_{in}{x}_n=0$.移項して両辺の絶対値を取ると,$x_i$の絶対値が最大であることから
$|a_{ii}|=|-a_{i1}\frac{x_1}{x_i}-\cdots -a_{ii-1}\frac{x_{i-1}}{x_i}-a_{ii+1}\frac{x_{i+1}}{x_i}-\cdots -a_{in}\frac{x_n}{x_i}|$
$\le |a_{i1}|+\cdots +|a_{ii-1}|+|a_{ii+1}|+\cdots +|a_{in}|$
これは仮定の不等式に反する.よって行列が定める線型写像は単射であり行列は正則.