特殊関数を初等関数に近似する式
絶対値
max関数
$$max(a_1,a_2,⋯,a_n)=\lim_{m \to \infty}(\log_{m}\sum_{k=1}^{n}m^{a_k})$$
$$max(a_1,a_2,⋯,a_n)=\lim_{m \to \infty}(\log_{m}\sum_{k=1}^{n}m^{a_k})-\log_{m}(n)$$
式2は式1では近似できない特定の関数を近似できるようにします。
$$\lim_{m \to \infty}-\log_{m}(n)=0$$
なので、式1だけを証明すれば良い。
式1は対称式なので、$a_n≧a_k$の場合を考える。
$a_n≧a_k$
$$\hspace{10pt}\lim_{m \to \infty}(\log_{m}\sum_{k=1}^{n}m^{a_k})$$
$$=\lim_{m \to \infty}(\log_{m}m^{a_n}\sum_{k=1}^{n}m^{a_k-a_n})$$
$$=\lim_{m \to \infty}(\log_{m}m^{a_n})+(\log_{m}\sum_{k=1}^{n}m^{a_k-a_n})$$
$$=\lim_{m \to \infty}a_n+(\log_{m}\sum_{k=1}^{n}m^{a_k-a_n})$$
$$=a_n$$
$$max(a,0)=\frac{a+|a|}{2}$$
$$|a|=2max(a,0)-a$$
言われないと気づかないやつ。
$a\geq0,a\lt0$の場合を考える。
$$a\geq0$$
$$\hspace{10pt}\frac{a+|a|}{2}$$
$$=\frac{a+a}{2}$$
$$=a$$
$$a\lt0$$
$$\hspace{10pt}\frac{a+|a|}{2}$$
$$=\frac{a-a}{2}$$
$$=0$$
公式2に公式1式2を代入すると
$$|a|=\lim_{n \to \infty}2(\log_{n}n^a+1)-a-(\log_{n}2)$$
$$\hspace{10pt}2(\lim_{n \to \infty}(\log_{n}n^a+1))-a-(\log_{n}2)$$
$$=\lim_{n \to \infty}2(\log_{n}n^a+1)-a-(\log_{n}2)$$
床関数
定義関数
$$\lim_{n \to \infty}\frac{1-0^{|x-a|}}{1+e^{-n(x-a)}}-\frac{1+0^{|x-b|}}{1+e^{-n(x-b)}}=χ_{(a,b)}(x)$$
$$\lim_{n \to \infty}\frac{1-0^{|x-a|}}{1+e^{-n(x-a)}}-\frac{1-0^{|x-b|}}{1+e^{-n(x-b)}}=χ_{(a,b]}(x)$$
$$\lim_{n \to \infty}\frac{1+0^{|x-a|}}{1+e^{-n(x-a)}}-\frac{1+0^{|x-b|}}{1+e^{-n(x-b)}}=χ_{[a,b)}(x)$$
$$\lim_{n \to \infty}\frac{1+0^{|x-a|}}{1+e^{-n(x-a)}}-\frac{1-0^{|x-b|}}{1+e^{-n(x-b)}}=χ_{[a,b]}(x)$$
みんな大好きシグモイド関数の応用です。
$$\lfloor x\rfloor=\lim_{m \to \infty}(\sum_{k=-m}^{m}χ_{[k,\infty]}(x))-m-1$$
$$x\in\mathbb{Z}$$
$$\hspace{10pt}\lim_{m \to \infty}(\sum_{k=-m}^{m}χ_{[k,\infty]}(x))-m-1$$
$$=\lim_{m \to \infty}(\sum_{k=-m}^{m}\lim_{n \to \infty}\frac{1+0^{|x-k|}}{1+e^{-n(x-k)}})-m-1$$
$$=\lim_{m \to \infty}\lim_{n \to \infty}(\sum_{k=-m}^{m}\frac{1+0^{|x-k|}}{1+e^{-n(x-k)}})-m-1$$
$$=\lim_{m \to \infty}\lim_{n \to \infty}(\sum_{k=-m}^{x-1}\frac{1}{1+e^{-n(x-k)}})+1+(\sum_{k=x+1}^{m}\frac{1}{1+e^{-n(x-k)}})-m-1$$
$$=\lim_{m \to \infty}\lim_{n \to \infty}(\sum_{k=-m}^{x-1}\frac{1}{1+e^{-n(x-k)}})+(\sum_{k=x+1}^{m}\frac{1}{1+e^{n(k-x)}})-m$$
$$=\lim_{m \to \infty}(\sum_{k=-m}^{x-1}1)+(\sum_{k=x+1}^{m}0)-m$$
$$=\lim_{m \to \infty}x-1+m+1-m$$
$$=x$$
$$x\notin\mathbb{Z}$$
$$\hspace{10pt}\lim_{m \to \infty}(\sum_{k=-m}^{m}χ_{[k,\infty]}(x))-m-1$$
$$=\lim_{m \to \infty}(\sum_{k=-m}^{m}\lim_{n \to \infty}\frac{1+0^{|x-k|}}{1+e^{-n(x-k)}})-m-1$$
$$=\lim_{m \to \infty}\lim_{n \to \infty}(\sum_{k=-m}^{m}\frac{1}{1+e^{-n(x-k)}})-m-1$$
$$=\lim_{m \to \infty}\lim_{n \to \infty}(\sum_{k=-m}^{\lfloor x\rfloor}\frac{1}{1+e^{-n(x-k)}})+(\sum_{k=\lfloor x\rfloor+1}^{m}\frac{1}{1+e^{-n(x-k)}})-m-1$$
$$=\lim_{m \to \infty}(\sum_{k=-m}^{\lfloor x\rfloor}1)+(\sum_{k=\lfloor x\rfloor+1}^{m}0)-m-1$$
$$=\lim_{m \to \infty}\lfloor x\rfloor+m+1-m-1$$
$$=\lfloor x\rfloor$$
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