ヤコビ和の一般化

文章及び数学の書き方がよく分かっていません、
批判いただけると幸いです。

記号の約束

$\mathbb{F}_q $を$q$の有限体とします。
$\mathbb{F}_q^{\times} $を位数$q$の有限体の乗法群とします。

ヤコブスタール和

$p$を$4$で割って$1$余る素数
$θ(x)$をルジャンドル記号としたとき、
次の和をヤコブスタール和といいます。
$$S(a):=\frac{1}{2}\sum_{x\in \mathbb{F}_p^{\times} }θ(x^3+ax)$$
$a$が$p$で平方非剰余なら、次が成り立ちます。1
$$J(1)^2+J(a)^2=p$$

考えたこと

$ρ(x)$を$4$乗剰余記号
$H$を$0$でない$\mathbb{F}_q$の平方数
$ρ(x^2)=θ(x)$から

$$S(a)=\frac{1}{2}\sum_{x\in \mathbb{F}_p^{\times} }θ(x^2+a)ρ(x^2)=\sum_{h\in H}θ(h+a)ρ(h)$$
$$θ(-1)S(-a)=\sum_{h\in H}θ(a-h)ρ(h) $$
$θ(-1)S(-a)$がヤコビ和と似ていると考えました。

$p=4n+1$のため,$θ(-1)=1$

ヤコビ和とは

$θ,ρ$を乗法指標としたとき、
次の和をヤコビ和といいます。
$$ J(θ,ρ)=\sum_{x\in \mathbb{F}_q} θ(1-x)ρ(x)$$
$a \neq 0$なら
$$θ(a)ρ(a)J(θ,ρ)=\sum_{x\in \mathbb{F}_q} θ(a-ax)ρ(ax)=\sum_{x\in \mathbb{F}_q} θ(a-x)ρ(x)$$
こちらと、$$θ(-1)S(-a)=\sum_{h\in H}θ(a-h)ρ(h)$$を比較すると和の範囲と乗法指標が違うだけで、
似ていると思い色々計算してみました。

定義

$a\in\mathbb{F}_q$
$θ,ρ$を$\mathbb{F}_q$の乗法指標
$H$を$\mathbb{F}_q^{\times} $の部分群
$$J_H{(θ,ρ,a)}=\sum_{x\in H} θ(a-x)ρ(x)$$
$ψ(x)$を$\mathbb{F}_q$の加法指標

$$ G_H(θ,ψ)=\sum_{x\in H}θ(x)ψ(x) $$

計算$1$ ガウス和との関係

$$G_{\mathbb{F}_q}(θ,ψ)G_H(ρ,ψ)=\sum_{y\in \mathbb{F}_q}\sum_{x\in H}θ(y)ρ(x)ψ(x+y)$$
$$= \sum_{y\in \mathbb{F}_q}\sum_{x\in H}θ(y-x)ρ(x)ψ(y)=\sum_{y\in \mathbb{F}_q}J_H{(θ,ρ,y)}ψ(y)$$

$$\sum_{ψ\in \widehat{\mathbb{F}_q } }G_{\mathbb{F}_q}(θ,ψ)G_H(ρ,ψ)\frac{ψ(-z)}{p}= J_H{(θ,ρ,z)}$$

計算$2$ $J_H{(θ,ρ,a)}$ の絶対値の$2$乗和

2をご参照お願いします。

計算$3$ $J_H{(θ,\bar{θ},a)}$の計算

$θ$は非自明とする。
$$J_H{(θ,\bar{θ},a)}=\sum_{x\in H} θ(a-x)\bar{θ}(x)=\sum_{x\in H} θ(ax^{-1}-1)$$
$$=\sum_{x\in H} θ(ax-1) $$
$$\sum_{Ha\in H \backslash \mathbb{F}_q^\times } J_H{(θ,\bar{θ},a)}=\sum_{x\in \mathbb{F}_q^\times } θ(x-1)=-θ(-1)+\sum_{x\in \mathbb{F}_q} θ(x-1)=-θ(-1)$$

計算$4$$J_H{(θ,ρ,a)}$いろいろ

$H$を変えてみる。
$$J_{1}{(θ,ρ,a)}=θ(a-1)$$
$ε$を自明な乗法指標
$θ$を$H$で非自明な乗法指標
$$\sum_{a\in\mathbb{F}_q^\times-H}J_H{(θ,ε,a)}=\sum_{a\in\mathbb{F}_q^\times-H}\sum_{x\in H} θ(a-x)$$
$$ =\sum_{a\in\mathbb{F}_q^\times}\sum_{x\in H} θ(a-x)=-\sum_{x\in H} θ(-x)=0$$