ヤコビ和の一般化

文章及び数学の書き方がよく分かっていません、
批判いただけると幸いです。

記号の約束

${\mathbb{F}}_q$を$q$の有限体とします。
${\mathbb{F}}_q^{\times }$を位数$q$の有限体の乗法群とします。

ヤコブスタール和

$p$を$4$で割って$1$余る素数
$\theta (x)$をルジャンドル記号としたとき、
次の和をヤコブスタール和といいます。
$$S(a):=\frac{1}{2}\sum _{x\in {\mathbb{F}}_p^{\times }}\theta (x^3+ax)$$
$a$が$p$で平方非剰余なら、次が成り立ちます。[1]
$$J(1{)}^2+J(a{)}^2=p$$

考えたこと

$\rho (x)$を$4$乗剰余記号
$H$を$0$でない${\mathbb{F}}_q$の平方数
$\rho (x^2)=\theta (x)$から

$$S(a)=\frac{1}{2}\sum _{x\in {\mathbb{F}}_p^{\times }}\theta (x^2+a)\rho (x^2)=\sum _{h\in H}\theta (h+a)\rho (h)$$
$$\theta (-1)S(-a)=\sum _{h\in H}\theta (a-h)\rho (h)$$
$\theta (-1)S(-a)$がヤコビ和と似ていると考えました。

$p=4n+1$のため,$\theta (-1)=1$

ヤコビ和とは

$\theta ,\rho$を乗法指標としたとき、
次の和をヤコビ和といいます。
$$J(\theta ,\rho )=\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q}\theta (1-x)\rho (x)$$
$a\ne 0$なら
$$\theta (a)\rho (a)J(\theta ,\rho )=\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q}\theta (a-ax)\rho (ax)=\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q}\theta (a-x)\rho (x)$$
こちらと、$$\theta (-1)S(-a)=\sum _{h\in H}\theta (a-h)\rho (h)$$を比較すると和の範囲と乗法指標が違うだけで、
似ていると思い色々計算してみました。

定義

$a\in {\mathbb{F}}_q$
$\theta ,\rho$を${\mathbb{F}}_q$の乗法指標
$H$を${\mathbb{F}}_q^{\times }$の部分群
$$J_H(\theta ,\rho ,a)=\sum _{x\in H}\theta (a-x)\rho (x)$$
$\psi (x)$を${\mathbb{F}}_q$の加法指標

$$G_H(\theta ,\psi )=\sum _{x\in H}\theta (x)\psi (x)$$

計算$1$ ガウス和との関係

$$G_{{\mathbb{F}}_q}(\theta ,\psi )G_H(\rho ,\psi )=\sum _{y\in {\mathbb{F}}_q}\sum _{x\in H}\theta (y)\rho (x)\psi (x+y)$$
$$=\sum _{y\in {\mathbb{F}}_q}\sum _{x\in H}\theta (y-x)\rho (x)\psi (y)=\sum _{y\in {\mathbb{F}}_q}{J}_H(\theta ,\rho ,y)\psi (y)$$

$$\sum _{\psi \in \widehat{{\mathbb{F}}_q}}{G}_{{\mathbb{F}}_q}(\theta ,\psi )G_H(\rho ,\psi )\frac{\psi (-z)}{p}=J_H(\theta ,\rho ,z)$$

計算$2$ $J_H(\theta ,\rho ,a)$ の絶対値の$2$乗和

[2]をご参照お願いします。

計算$3$ $J_H(\theta ,\overline{\theta },a)$の計算

$\theta$は非自明とする。
$$J_H(\theta ,\overline{\theta },a)=\sum _{x\in H}\theta (a-x)\overline{\theta }(x)=\sum _{x\in H}\theta (a{x}^{-1}-1)$$
$$=\sum _{x\in H}\theta (ax-1)$$
$$\sum _{Ha\in H\mathrm{\setminus }{\mathbb{F}}_q^{\times }}{J}_H(\theta ,\overline{\theta },a)=\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q^{\times }}\theta (x-1)=-\theta (-1)+\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q}\theta (x-1)=-\theta (-1)$$

計算$4$$J_H(\theta ,\rho ,a)$いろいろ

$H$を変えてみる。
$$J_1(\theta ,\rho ,a)=\theta (a-1)$$
$\epsilon$を自明な乗法指標
$\theta$を$H$で非自明な乗法指標
$$\sum _{a\in {\mathbb{F}}_q^{\times }-H}{J}_H(\theta ,\epsilon ,a)=\sum _{a\in {\mathbb{F}}_q^{\times }-H}\sum _{x\in H}\theta (a-x)$$
$$=\sum _{a\in {\mathbb{F}}_q^{\times }}\sum _{x\in H}\theta (a-x)=-\sum _{x\in H}\theta (-x)=0$$