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東大数理院試過去問解答例(2023B04)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2023B04の解答例を解説していきます(ただし解説の都合で問題を少し改変しています)。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

個人的な話になりますが私はこの手の問題が非常に苦手です。いつも冒頭で「間違ってるかもしれないから参考にするときは慎重にね」みたいなことを言っていますが、今回に関してはどこかで致命的なミスをしている可能性が特に高いので、参照される際はあまり内容を鵜呑みせずに「徹底的に粗を探してやるぜ、ぐへへ」くらいの心持ちで読んでいただけると幸いです。粗が見つかったときはコメントでご指摘くださいm(_ _)m

2023B04(改)

pを奇素数とする。群G=GL3(Fp)の部分群Hに関する条件

  • Hは極大アーベル部分群(つまりGのアーベル部分群でHを真に含むようなものは存在しない)であり、巡回群である。

を考える。
(1) 条件を満たすHの生成元hの固有多項式は既約3次多項式であることを示せ。
(2) 3次の既約多項式fをうまく選ぶことで、fを固有多項式にもつような行列を任意にとったとき、これによって生成された部分群は条件を満たすことを示せ。
(3) (2)で取ったfについて、任意のHfを固有多項式にもつような元で生成されることを示せ。
(4) 条件を満たすHの個数を求めよ。

  1. まず最小多項式が固有多項式に一致しない行列は中心を含まないから、hFp3で対角化可能である。次にこの固有多項式がFpに根aを持つとする。このときh
    (A00a)
    の型で表されるが、これで生成される巡回群は(1,1)成分と(2,2)成分が等しい対角行列の為す群の任意の元と可換であるが、この群を真に含まないから矛盾。よってhの固有多項式はFpに根を持たない、つまり既約であることが従う。
  2. 乗法群Fp3×を生成するようなα及びそれを根に持つ最小多項式fをとり、fを固有多項式にもつ行列AGをとる。Aで生成される巡回群をHとおく。これは位数p31の巡回群である。いま行列BAと可換であるとする。このときBFp3-係数で対角化可能であり、この対角化は
    B=a0+a1A+a2A2
    の型(aiFp3)の対角化で表されている。ここでBGの元であったから、aiFpである。いま1,A,A2の線型結合で表されるGの元の集合Sを余域にもつ写像
    HSAiAi
    を考えたとき、これは単射であるがBSの濃度は等しいからこれによってこの写像は全単射であること、特にBHがわかる。以上からHは条件を満たす部分群である。
  3. まず上で構成したHを一つ固定する。Fp-係数3次既約多項式の個数は
    (p1)p(p+1)3
    である。ここでHの元のうちFp×以外の元は既約多項式を固有多項式に持ち、同じ固有多項式を持つような元は高々3つであるから、鳩の巣原理により任意の既約多項式はHのある元の固有多項式として実現される。
    いま条件を満たす部分群H<Gをとり、その生成元をhとし、その固有多項式がAiと同じであったとする。ここでAi=PhP1なる行列Pを取ったとき、単射群準同型
    HHhjPhjP1
    を考えることができる。更に条件によってこの群準同型は全射である。よってHP1APによって生成されるから(2)が示せた。
  4. まず(2)で取ったfをここでも固定する。ここで固有多項式fを持つようなGの元の集合T及び条件を満たす部分群の集合Xをとると、(2)から写像
    TXgg
    をwell-definedに定めることができ、(2)からこの写像は全射である。
    次にTに含まれる行列の個数は
    (p31)(p3p)(p3p2)(p31)=p3(p+1)(p1)2
    であり、(3)に於ける議論からXの任意の元の逆像の濃度は3であるから、条件を満たす部分群の個数はp3(p+1)(p1)23であることがわかる。

p=2の場合が除外されているのは、p=2のときは(1)が成り立たない為です。実際p=2のとき、対角行列は自明なものしかなく議論が回りません。具体例を挙げると例えば
(001100010)
によって生成される群や
(110011001)
によって生成される群などが生成元の固有多項式が既約でないのに条件を満たしてしまっていて、これらを数え上げるのは非常に大変です(p=2のとき条件を満たす部分群は58個あります(c.f. https://people.maths.bris.ac.uk/~matyd/GroupNames/163/GL(3,2).html ))。一方で(2)(3)(4)の議論はp=2でも問題なく回るので、条件を元々のものに加えて「生成元の固有多項式が既約」を足したものに代えると、(4)の答えにp=2を代入したもの(つまり8)が答えになります(上記のURLから確認できます)。おそらく作問者が(1)を設けたのは(誘導の意味も多少はあるかもしれないですがそれよりは)p=2のときは議論が回らないことを強調したかったのではないでしょうか?

いつも問題を改変する場合、

  • 基本的すぎて解説するところがない
  • 問題としての意図がわからない
  • 解説が面倒

などの理由で問題を削ることがほとんどですが、今回に関しては誘導を増やしました(元々の設問は(1)と(4)だけでした)。

  • (1)から(4)までギャップが大きいように感じたこと
  • (2)及び(3)を入れた方がHがどのような姿をしているか見通しが良くなること

が主な理由です。

投稿日:20231015
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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