ここでは東大数理の修士課程の院試の2023B04の解答例を解説していきます(ただし解説の都合で問題を少し改変しています)。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
個人的な話になりますが私はこの手の問題が非常に苦手です。いつも冒頭で「間違ってるかもしれないから参考にするときは慎重にね」みたいなことを言っていますが、今回に関してはどこかで致命的なミスをしている可能性が特に高いので、参照される際はあまり内容を鵜呑みせずに「徹底的に粗を探してやるぜ、ぐへへ」くらいの心持ちで読んでいただけると幸いです。粗が見つかったときはコメントでご指摘くださいm(_ _)m
$p$を奇素数とする。群$G=\mathrm{GL}_3(\mathbb{F}_p)$の部分群$H$に関する条件
を考える。
(1) 条件を満たす$H$の生成元$h$の固有多項式は既約$3$次多項式であることを示せ。
(2) $3$次の既約多項式$f$をうまく選ぶことで、$f$を固有多項式にもつような行列を任意にとったとき、これによって生成された部分群は条件を満たすことを示せ。
(3) (2)で取った$f$について、任意の$H$は$f$を固有多項式にもつような元で生成されることを示せ。
(4) 条件を満たす$H$の個数を求めよ。
$p=2$の場合が除外されているのは、$p=2$のときは(1)が成り立たない為です。実際$p=2$のとき、対角行列は自明なものしかなく議論が回りません。具体例を挙げると例えば
$$
\begin{pmatrix}
0&0&1\\
1&0&0\\
0&1&0
\end{pmatrix}
$$
によって生成される群や
$$
\begin{pmatrix}
1&1&0\\
0&1&1\\
0&0&1
\end{pmatrix}
$$
によって生成される群などが生成元の固有多項式が既約でないのに条件を満たしてしまっていて、これらを数え上げるのは非常に大変です($p=2$のとき条件を満たす部分群は$58$個あります(c.f.
https://people.maths.bris.ac.uk/~matyd/GroupNames/163/GL(3,2).html
))。一方で(2)(3)(4)の議論は$p=2$でも問題なく回るので、条件を元々のものに加えて「生成元の固有多項式が既約」を足したものに代えると、(4)の答えに$p=2$を代入したもの(つまり$8$)が答えになります(上記のURLから確認できます)。おそらく作問者が(1)を設けたのは(誘導の意味も多少はあるかもしれないですがそれよりは)$p=2$のときは議論が回らないことを強調したかったのではないでしょうか?
いつも問題を改変する場合、
などの理由で問題を削ることがほとんどですが、今回に関しては誘導を増やしました(元々の設問は(1)と(4)だけでした)。
が主な理由です。