完備な非アルキメデス付値体の有限拡大と代数閉包への拡張

　初めに拡張の存在を示す。まず$L/K$はガロア拡大として良い。$x\in L$を取り、
$$ |x|_L:=\left|\prod_{\sigma\in\mathrm{Gal}(L/K)}\sigma(x)\right|^{\frac{1}{[L:K]}} $$
と置く。また$x,y\in L$に対して
$$ \begin{split} |xy|_L&:=\left|\prod_{\sigma\in\mathrm{Gal}(L/K)}\sigma(xy)\right|^{\frac{1}{[L:K]}}\\ &=\left|\prod_{\sigma\in\mathrm{Gal}(L/K)}\sigma(x)\right|^{\frac{1}{[L:K]}}\left|\prod_{\sigma\in\mathrm{Gal}(L/K)}\sigma(y)\right|^{\frac{1}{[L:K]}}\\ &=|x|_L|y|_L\\ \end{split} $$
が従う。また$\mathrm{Gal}(L/K)$の元を$\{\sigma_{1},\cdots,\sigma_{[L:K]}\}$とナンバリングすると
$$ \begin{split} |x+y|_L&:=\left|\prod_{\sigma\in\mathrm{Gal}(L/K)}\sigma(x+y)\right|^{\frac{1}{[L:K]}}\\ &=\left|\left(\sigma_1(x)+\sigma_1(y)\right)\cdots\left(\sigma_{[L:K]}(x)+\sigma_{[L:K]}(y)\right)\right|^{\frac{1}{[L:K]}}\\ &=\max\{|x|_L,|y|_L\} \end{split} $$
である。$x=0$と$|x|=0$の同値性と$|\cdot|$の$K$への制限が元の非アルキメデス絶対値に等しいことは$|\cdot|_L:L\to\mathbb{R}_{\geq0}$の定義よりすぐに従う。以上から$L$への拡張の存在が分かった。
　次に拡張の一意性を示す。$L$に二つの拡張$|\cdot|_1,|\cdot|_2$が取れたとすると、これらは次の補題の条件(i)(ii)(iii)を満たしているから、補題より$|\cdot|_1,|\cdot|_2$は$L$に対して同じ位相を定めている。よって更に次の補題から任意の$x\in L$に対して
$$ |x|_1^r=|x|_2 $$
であるような$r$が存在することがわかる。ここで$K$の絶対値は非自明であったから、これにより$r=1$が従う。
　最後に拡張した$|\cdot|_L$が完備であることを示す。$L$の$K$上の基底を取りそれによって$L$上のノルム$\|\cdot\|_\infty$を定めると、補題から$|\cdot|_L$と$\|\cdot\|_\infty$は同じ位相を定めている。後者の定める位相は$K$の有限直積位相(特に完備)であるから、$|\cdot|_L$の完備性が従う。

$\dim V$に関する帰納法で示す。$\dim V=1$の場合示すことは何もない。次に次元$< N$の場合に成り立つことを仮定して$\dim V=N$に成り立つことを示す。まず$V$の基底$x_1,\cdots,x_N$を取り、$V_m$をこの基底のうち$x_m$以外で生成される$N-1$次元$K$線型空間とする。ここで写像$\|\cdot\|_\infty:V\to\mathbb{R}_{\geq0}$を
$$ \left\|\sum_{n=1}^{N}a_nx_n\right\|_\infty:=\max\{|a_n|\}_{n=1}^N $$
で定義する。これは上の条件(i)(ii)(iii)を満たしている。ここで帰納法の仮定から$\|\cdot\|_1,\|\cdot\|_2,\|\cdot\|_\infty$は各$V_m$に対して同じ位相を定め、よってこの位相は完備位相である。特に各$V_n$は$V$の閉部分集合である。特に
$$ x_m+V_m:=\{x_m+a|a\in V_m\} $$
も$V$の閉部分集合である。また$0\notin x_m+V_m$である。これによって充分小さい$\delta_1>0$をとれば
$$ (x_m+V_m)\cap\{x\in V|\|x\|_1<\delta_1\}=\varnothing $$
が満たされている。いま
$$ A_1:=\min\{\delta_n\}_{n=1}^N $$
$$ B_1:=\sum_{n=1}^N\|x_n\|_1 $$
と置く。このとき任意に取った$x=\sum_{n=1}^Na_nx_n\in V$に対して
$$ A_1\leq \delta_n\leq \|x_m^{-1}x\|_1=\frac{\|x\|_1}{|x_m|} $$
であるから、これにより任意の$x\in V$に対して
$$ A_1\|x\|_\infty\leq \|x\|_1\leq B_1\|x\|_\infty $$
が従う。同様にして任意の$x\in V$に対して
$$ A_2\|x\|_\infty\leq \|x\|_2\leq B_2\|x\|_\infty $$
であるような正定数$A_1,B_2$も存在する。$A=\frac{A_2}{B_1}$及び$B=\frac{B_2}{A_1}$と置けば、ここまでの議論から、任意の$x\in V$に対して
$$ A\|x\|_1\leq \|x\|_2\leq B\|x\|_1 $$
が成り立っていることがわかる。

　初めに(i)から(ii)を示す。$i=1,2$に対して
$$ U_i:=\{x\in k||x|_i<1\} $$
とおく。$x\in U_1$を任意にとる。このとき点列$\{x^n\}_{n=0}^\infty$は$0$に収束する。ここで$U_2$は、(i)を考慮すると、$|\cdot|_1$の定める位相の下で$0$の開近傍なので、充分大きな$n$に対して$x^n\in U_2$であり、このとき
$$ |x|_2=\left(|x|_2^n\right)^{\frac{1}{n}}<1 $$
つまり$x\in U_2$であることが従う。以上から$U_1\subseteq U_2$が示た。また$1,2$を入れ替えれば$U_2\subseteq U_1$も示せるから、(ii)が従う。
　次に(ii)から(iii)を示す。自明ノルムの場合はすぐに示せるから、$\|\cdot\|_1,\|\cdot\|_2$は共に非自明なノルムとする。このとき$0<|y|_1<1$なる$y\in k$が取れる。このとき(ii)より$0<|y|_2<1$も成り立っている。これにより
$$ r:=\frac{\log|y|_1}{\log|y|_2} $$
は正実数である。以下任意の$x\in k$に対して$|x|_1^r=|x|_2$であることを背理法で示していく。この等式を満たさない$x$が存在すると仮定する。必要であれば逆数を取ることで
$$ |x|_1^r<|x|_2 $$
となるように取ることができる。ここで写像$\mathbb{Q}\to \mathbb{R}_{\geq0}$を$q\mapsto|y|_2^q$で定義したとき、この写像の像は$\mathbb{R}_{\geq0}$に於いて稠密なので、特に
$$ |x|_1^r<|y|_1^r=|y|_2^q<|x|_2 $$
を満たすような$q\in\mathbb{Q}$が存在する。$q=\frac{s}{t}$を既約分数表示とする。このとき
$$ \left|\frac{x^t}{y^s}\right|_1<1 $$
$$ 1<\left|\frac{x^t}{y^s}\right|_2 $$
が同時に従い(ii)に矛盾する。よって(iii)が従う。
　(iii)から(i)は位相の定義からすぐに従う。
　以上から(i)(ii)(iii)は同値である。

　$|\cdot|$は$K$の有限拡大上に一意的に拡張でき、かつその拡張は一意的であった。よって、$\overline{K}$が$K$の有限拡大たちの和集合であることを考慮すれば、$|\cdot|$の拡張可能性・一意性・非アルキメデス性が示せる。
　最後に完備ではない例を挙げることで、一般には完備でないことを示す。$\mathbb{Q}$の元$q$が素数$p$及びそれと互いに素な整数$m,n$、そして整数$v$を用いて$q=\frac{m}{n}p^v$と表せるとき、$v$を$q$の$p$進付値と呼ぶ。ここで$\mathbb{Q}$のノルム$|\cdot|_p:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}_{\geq0}$を
$$ |q|_p:=e^{-v} $$
で定める。このノルムに関する$\mathbb{Q}$の完備化を${\color{red}\mathbb{Q}_p}$と表記する。このときノルム$|\cdot|_p:\mathbb{Q}_p\to\mathbb{R}_{\geq0}$の像は自然対数の整数乗で表される実数全体$e^\mathbb{Z}$であるから、拡張$|\cdot|_p:\overline{\mathbb{Q}}_p\to\mathbb{R}_{\geq0}$の像は自然対数の有理数乗で表される実数全体$e^\mathbb{Q}$であり、これは$\mathbb{R}_{\geq0}$に於いて稠密である。ここで点列$\{x_n\}_{n=1}^\infty$を$\log|x_n|=\frac{[10^n\pi]}{10^n}$であるように取ると、これは$\overline{\mathbb{Q}}_p$のコーシー列である一方収束はしない。よってこれが所望の例になっている。