河田敬義 ホモロジー代数 誤り
前書き
河田敬義の『ホモロジー代数』の第1版を読んでいるときに誤りを見つけたので、共有します。
$R$を環とする。以下は$R$加群の図式とする。
$$
\label{z11}
\tag{図式 1.1}
\begin{array}{ccc}
M_1 & \overset{f}{\to} & M_2 \\
\quad\downarrow\tiny\varphi_1 & & \quad\downarrow\tiny\varphi_2 \\
N_1 & \overset{g}{\to} & N_2
\end{array}
$$
が可換ならば
$$
\label{z12}
\tag{図式 1.2}
\begin{array}{cccccccccccc}
0 & \to & \Ker f & \overset{i}{\to} & M_1 & \overset{f}{\to} & M_2 & \overset{p}{\to} & \Coker f & \to & 0 & \text{(完全)} \\
& & \quad\downarrow\tiny\varphi_0 & & \quad\downarrow\tiny\varphi_1 & & \quad\downarrow\tiny\varphi_2 & & \quad\downarrow\tiny\varphi_3 & & & \\
0 & \to & \Ker g & \overset{i}{\to} & N_1 & \overset{g}{\to} & N_2 & \overset{p}{\to} & \Coker g & \to & 0 & \text{(完全)}
\end{array}
$$
を可換にする$\varphi_0$、$\varphi_3$が唯1つ存在する、ただし$i$は包含写像、$p$は自然な全射。
可換な\ref{z11}が与えられているとき、$\varphi_1$(または$\varphi_2$)が全単射ならば$\varphi_2$(または$\varphi_1$)も全単射となるための必要十分条件は、\ref{z12}において、$\varphi_0$および$\varphi_3$が全単射となることである。
この命題において、必要性は成立しない。
$R$を自明でない環とする。$\id: R \to R$を恒等写像とする。$o: R \to R$をすべての$x \in R$を$0$に写す定数関数とする。$M_1 = M_2 = N_1 = N_2 = R$とし、$f = g = \varphi_1 = \varphi_2 = o$とする。
このとき$\varphi_1$も$\varphi_2$も全単射ではないから、「$\varphi_1$(または$\varphi_2$)が全単射ならば$\varphi_2$(または$\varphi_1$)も全単射」が成立する。
しかし、$\Ker o = R$であり、$\Im o = \{0\}$ ゆえ$\Coker o = R/\Im o = R/\{0\} \cong R$となるので$i = p = \id$となり、$\varphi_0 = \varphi_3 = o$とすると\ref{z12}は可換になるのでそれが$\varphi_0$および$\varphi_3$である。この$\varphi_0$、$\varphi_3$は全単射でない。
