メモ
河田敬義『ホモロジー代数』のメモ
第1版を読んでいるときに誤りを見つけたので共有します。
$R$を環とする。以下は$R$加群の図式とする。
$$
\label{z11}
\tag{図式 1.1}
\begin{array}{ccc}
M_1 & \overset{f}{\to} & M_2 \\
\quad\downarrow\tiny\varphi_1 & & \quad\downarrow\tiny\varphi_2 \\
N_1 & \overset{g}{\to} & N_2
\end{array}
$$
が可換ならば
$$
\label{z12}
\tag{図式 1.2}
\begin{array}{cccccccccccc}
0 & \to & \Ker f & \overset{i}{\to} & M_1 & \overset{f}{\to} & M_2 & \overset{p}{\to} & \Coker f & \to & 0 & \text{(完全)} \\
& & \quad\downarrow\tiny\varphi_0 & & \quad\downarrow\tiny\varphi_1 & & \quad\downarrow\tiny\varphi_2 & & \quad\downarrow\tiny\varphi_3 & & & \\
0 & \to & \Ker g & \overset{i}{\to} & N_1 & \overset{g}{\to} & N_2 & \overset{p}{\to} & \Coker g & \to & 0 & \text{(完全)}
\end{array}
$$
を可換にする$\varphi_0, \varphi_3$が唯1つ存在する、ただし$i$は包含写像、$p$は自然な全射。
可換な\ref{z11}が与えられているとき、$\varphi_1$(または$\varphi_2$)が全単射ならば$\varphi_2$(または$\varphi_1$)も全単射となるための必要十分条件は、\ref{z12}において、$\varphi_0$および$\varphi_3$が全単射となることである。
この命題において、必要性は成立しない。
$R$を自明でない環とする。$\id: R \to R$を恒等写像とする。$o: R \to R$をすべての$x \in R$を$0$に写す定数関数とする。$M_1 = M_2 = N_1 = N_2 = R$とし、$f = g = \varphi_1 = \varphi_2 = o$とする。
このとき$\varphi_1$も$\varphi_2$も全単射ではないから、「$\varphi_1$(または$\varphi_2$)が全単射ならば$\varphi_2$(または$\varphi_1$)も全単射」が成立する。
しかし、$\Ker o = R$であり、$\Im o = \{0\}$ ゆえ$\Coker o = R/\Im o = R/\{0\} \cong R$となるので$i = p = \id$となり、$\varphi_0 = \varphi_3 = o$とすると\ref{z12}は可換になるのでそれが$\varphi_0$および$\varphi_3$である。この$\varphi_0, \varphi_3$は全単射でない。
中岡宏行『圏論の技法』のメモ
証明が省略されている箇所を理解のため自分なりに証明しました。
$\CC$を零射を持つ圏とする。$X_1, X_2, X'_1, X'_2 \in \Ob{\CC}, f_1 \in \CC(X_1, X'_1), f_2 \in \CC(X_2, X'_2)$とし、$X_1$と$X_2$の積$(X_1 \times X_2, p_1, p_2)$が存在し、$(X_1 \times X_2, \iota_1, \iota_2)$は$X_1$と$X_2$の余積をなすとする。$X'_1$と$X'_2$に関しても同様の仮定をする。
このとき$f_1 \times f_2 = f_1 \amalg f_2$。
2つの射$s, t:W \to X_1 \times X_2$が等しいことを示したいとき、$p_i \o s = p_i \o t\; (i = 1, 2)$を示すと、$s$と$t$はともに$p_i \o s = p_i \o s\; (i = 1, 2)$, $p_i \o t = p_i \o s\; (i = 1, 2)$をみたすので積$X_1 \times X_2$の普遍性から$s = t$となる。
$$
p_1' \o (f_1 \times f_2) \o \iota_1 = f_1 \o p_1 \o \iota_1 = f_1 \o 1_{X_1} = f_1 = 1_{X_1'} \o f_1 = p_1' \o \iota_1' \o f_1
$$
$$
p_2' \o (f_1 \times f_2) \o \iota_1 = f_2 \o p_2 \o \iota_1 = f_2 \o 0 = 0 = 0 \o f_1 = p_2' \o \iota_1' \o f_1
$$
なので積$X_1' \times X_2'$の普遍性から$(f_1 \times f_2) \o \iota_1 = \iota_1' \o f_1$。
$$
p_1' \o (f_1 \times f_2) \o \iota_2 = f_1 \o p_1 \o \iota_2 = f_1 \o 0 = 0 = 0 \o f_2 = p_1' \o \iota_2' \o f_2
$$
$$
p_2' \o (f_1 \times f_2) \o \iota_2 = f_2 \o p_2 \o \iota_2 = f_2 \o 1_{X_2} = f_2 = 1_{X_2'} \o f_2 = p_2' \o \iota_2' \o f_2
$$
なので積$X_1' \times X_2'$の普遍性から$(f_1 \times f_2) \o \iota_2 = \iota_2' \o f_2$。
以上から図式
$$
\begin{array}{ccccc}
X_1 & \overset{\iota_1}{\to} & X_1 \times X_2 & \overset{\iota_2}{\gets} & X_2 \\
\quad\downarrow\tiny f_1 & & \qquad\downarrow\tiny f_1 \times f_2 & & \quad\downarrow\tiny f_2 \\
X_1' & \overset{\iota_1'}{\to} & X_1' \times X_2' & \overset{\iota_2'}{\gets} & X_2'
\end{array}
$$
は可換になる。従って余積$X_1 \times X_2$の普遍性から$f_1 \times f_2 = f_1 \amalg f_2$。
